2025年高考数学二轮复习专项精练5 基本初等函数、函数与方程（真题精练+模拟精练）

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【真题精练】
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
4．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空题
5．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ．
6．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
7．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
参考答案：
1．C
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
2．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
3．D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
4．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
5．64
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
6．
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
7． ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
【模拟精练】
一、单选题
1．（2023·四川遂宁·三模）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（ ）
A．一、二象限B．一、三象限C．二、四象限D．三、四象限
6．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
7．（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
9．（2023·北京通州·模拟预测）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·四川雅安·一模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
11．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在实数集单调递减
C．D．或
12．（2023·江西萍乡·二模）已知，则下列关系正确的是（ ）
A．ea-b>1B．
C．D．
13．（2024·山西·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．命题，的否定为，
B．已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．已知函数的值域为，则的取值范围是
14．（2024·江苏南通·三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（ ）
A．B．C． D．
16．（23-24高三下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，如果将函数y=fx的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ）
A．，函数都为“旋转函数”
B．若函数为“旋转函数”，则
C．若函数为“旋转函数”，则
D．当或时，函数不是“旋转函数”
三、填空题
17．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数的定义域是 .
18．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 .
19．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
20．（2022·上海嘉定·模拟预测）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.
【详解】，则的定义域为R，
又，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当时，，故排除A.
故选：B.
2．A
【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值．
【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得，
即，整理得，所以.
故选：A
3．B
【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当时，，符合题意；
当时，因为函数的值域为满足，
由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；
若时，依题意有的最小值，即，
若时，不符合题意；
综上：，
故选：B.
4．B
【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小.
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以.
故选：B
5．D
【分析】由函数过点，分类可解.
【详解】当时，，
则当时，函数图象过二、三、四象限；
则当时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数的图象一定经过三、四象限.
故选：D
6．A
【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.
【详解】因为幂函数在0,+∞上是增函数，
所以，解得.
故选：A.
7．D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，
但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，又为奇函数，
且在上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
8．B
【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若和在上单调递增，在上单调递减，
则有个；
若、和在上单调递增，则有个；
综上所述：共有个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧
（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
9．B
【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数在上递减，故A不符题意；
对于B，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为奇函数，
又函数在单调递增，故B符合题意；
对于C，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为偶函数，故C不符合题意；
对于D，函数，
因为，所以函数不是增函数，故D不符题意.
故选：B.
10．C
【分析】设，设，根据已知作出函数的图象，结合零点存在定理以及函数的增长速度的快慢，即可得出答案.
【详解】

设，
设，则.
又，所以1是函数的一个零点；
因为，，
所以，.
又，，
所以，.
根据零点的存在定理，可知，，使得，
即是函数的一个零点；
因为，，
所以，.
又，，
所以，.
根据零点的存在定理，可知，，使得，
即是函数的一个零点.
结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点.
综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点.
故选：C.
11．AC
【分析】
根据函数的奇偶性可得出关于fx,gx的方程组，即可得fx,gx的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出Fx的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得，即可判断选项C与选项D.
【详解】A，因为为偶函数，所以f-x=fx，又为奇函数，所以，
因为①，所以，即②，
由得：，，所以选项A正确；
B，因为函数在R上均为增函数，
故在R上单调递增，所以选项错误；
C、D，因为，
所以，
又，当，即时等号成立，，
设，对称轴，
当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得或（舍）；
当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.
综上，所以选项C正确，错误.
故选：.
12．AD
【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.
【详解】因为，
所以，
对A选项，，所以，故A正确；
对B选项，，
所以，故B选项不正确；
对C选项，因为，，
所以，
而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确；
对D选项，
,故D正确.
故选：AD
13．AD
【分析】由含有一个量词命题的否定可判断A错误；由扇形面积公式计算可得B正确；由抽象函数定义域求法计算可得C正确；根据对数函数图象及其值域解不等式可得，即D错误.
【详解】命题，的否定为，，故A说法错误；
由，解得，所以扇形的弧长，故B说法正确；
由，得，所以的定义域为，故C说法正确；
因为的值域为R，所以函数的值域满足，
所以，解得，故D说法错误.
故选：AD.
14．AD
【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式即可判断C；利用不等式即可判断D.
【详解】对A，由图可知：与交点，
与的交点，
根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称，
故，，故A正确；
对B，由A知，故B错误；
对C，由知，则，设，，
则，则当时，f'x0，此时单调递增；
当x∈1,+∞时，f'x0时，当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为时，，，所以可得先减后增，不符合题意；
当时，当，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值也是最大值，即，则；
综上得存在时，是“旋转函数”，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
17．
【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域是.
故答案为：
18．
【分析】利用单调性确定最小值后可得．
【详解】是减函数，在时最小值是，
若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意，
时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得，
故答案为：．
19．
【分析】先得到圆心在上，半径为，故PQ的最小值等于的最小值减去半径，由反函数可知，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，求导得到在点处的切线与平行，求出到的距离最小值，得到答案.
【详解】由题意得，即圆心在上，半径为，
故PQ的最小值等于的最小值减去半径，
设，由于与关于对称，
的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，
最小值为，
故的最小值为，
则PQ的最小值等于.
故答案为：
【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：
①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值；
②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.
20．
【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案.
【详解】由已知得：恒成立，则 ，
，
由得，
由于在区间 上恰有3个零点，
故，则， ，
则,
只有当时，不等式组有解，此时，故，
故答案为：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
题号
1
2
3
4






答案
C
D
D
ACD






题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
D
A
D
B
B
C
题号
11
12
13
14
15
16




答案
AC
AD
AD
AD
AD
BCD