2025年高考数学二轮复习专项精练9 导数与不等式证明（真题精练+模拟精练）

这是一份2025年高考数学二轮复习专项精练9 导数与不等式证明（真题精练+模拟精练），文件包含2025二轮复习专项精练9导数与不等式证明真题精练+模拟精练原卷版docx、2025二轮复习专项精练9导数与不等式证明真题精练+模拟精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
【真题精练】
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
3．（2021·全国·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
4．（2024·全国·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
5．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
6．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线y=fx在处的切线斜率；
(2)求证：当时，；
(3)证明：．
7．（2021·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
8．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0，即.
所以，故D正确，
故选：D.
3．B
【分析】利用和以及，再进行合理赋值即可.
【详解】，
设，x∈0,+∞，则，
则hx在0,+∞上单调递增，则，则在0,+∞上恒成立，则，即，
设，x∈0,+∞，则在0,+∞上恒成立，
则，则在0,+∞上恒成立，
令，则，则，
设，在上恒成立，
则在上单调递增，则，即在上恒成立，
令，则，则，即，故，
故选：B.
4．C
【分析】由已知可得，则，.然后证明在上恒成立.令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出.令，根据导函数可得在上单调递减，即可推得.
【详解】由已知可得，，则，
且，所以.
又，.
令，，则恒成立，
所以，在上单调递增，所以，所以.
所以，，即.
令，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，
根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以在上单调递减.
又，，所以.
因为在上单调递减，，所以.
又，所以，即.
令，，则恒成立，
所以，在上单调递减.
又，，
所以.
综上可得，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：证明在上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系.
5．C
【分析】构造函数，利用导数证明，进而比较大小，再根据正余弦函数性质比较大小即可得答案.
【详解】解：当，又，所以，故
记，所以，
令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增.
所以，即，当时取等号.
所以，
所以.
故选：C.
6．AC
【分析】依题意可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再令，利用导数说明，即，从而得到，当且仅当时取等号，即可判断.
【详解】解：因为，所以，
因为，所以，则，
令，，则，
所以在上单调递增，
由，可得，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即当且仅当时取等号，
即当且仅当时取等号，
又，所以，当且仅当时取等号，
当时或，
结合与的图象也可得到
所以或.
故选：AC
7．ABD
【分析】由已知可得，，依据每个选项的条件逐项计算可判断每个选项的正确性．
【详解】由题意得，，
，，，
对于A：，因为函数在上单调递增，
，故A正确；
，因为函数在上单调递增，
，故B正确；
由，，，，
，故C错误；
令，则，
当时，，在上单调递增，
因为，则，所以，
，，，故D正确．
故选：ABD．
8．AD
【分析】先由题意可知，由，得，构造函数，得，再对四个选项逐一分析即可.
【详解】由题意可得，
则由，得.
对于A：设，，
则在区间上，，为增函数，
所以由题意可得，所以，故A正确；
对于B：由，得,故B错误；
对于C：由A可知在区间上为增函数，
且，则，即,
则,
由,得,
令,则,
所以在上单调递增,
所以,
所以,故C错误；
对于D：又,
令,
则,
所以在上单调递增,所以，
所以,
又，且,
令，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，
综上可得，故D正确；
故选:AD.
【点睛】关键点睛：
本题关键点在于构造函数，利用导数求其单调性，从而可得.
9．ACD
【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.
【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，故A正确；
对于选项B：因为，
则，
所以，故B错误；
对于选项C：构建，则，
因为，且当时，恒成立，
则，解得，
若，则当时恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意
综上所述：符合题意，故C正确；
对于选项D：因为，
整理得，即，
由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，
不妨设，
构建，
因为在上恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即，
可得，
注意到在上单调递减，且，
所以，即，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
10．BD
【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值；
对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可；
对于D：分析可得，结合的单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为的定义域为R，
且，
当时，f'x