2025年高考数学二轮复习专项精练11 平面向量（真题精练+模拟精练）

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【真题精练】
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
2．（2024·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高考真题）已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则（ ）
A．B．C．5D．6
7．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、填空题
8．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
9．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
10．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
3．D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
4．A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
5．D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
6．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：c=3+t,4,csa→,c→=csb,c→,即,解得,
故选：C
7．C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
8．15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，，解得．
故答案为：15．
9．
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
10．
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
【模拟精练】
一、单选题
1．（2024高三·上海·专题练习）已知向量，不共线，实数，满足，则（ ）
A．4B．C．2D．
2．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）

A．1B．2C．4D．
4．（2024·河南·模拟预测）已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A．是一个半径为的圆B．是一条与相交的直线
C．上的点到的距离均为D．是两条平行直线
5．（23-24高三下·北京西城·开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ）

A．10B．13C．18D．26
6．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）

A．B．C．0,4D．0,4
二、多选题
7．（2024·安徽淮北·一模）如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（ ）

A．B．存在点，使
C．若，则点的轨迹长度为2D．的最小值为
8．（2024·贵州·模拟预测）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量是
9．（2023·江苏·一模）已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．（2024·广西南宁·一模）已知向量．若，则实数的值为 ．
11．（23-24高三上·山东聊城·期末）已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围： .
12．（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位）
参考答案：
1．A
【分析】由已知结合平面向量基本定理可求，，进而求出答案.
【详解】由，不共线，实数，满足，
得，解得，，
所以.
故选：A
2．D
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
3．A
【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【详解】因为是的中点，且，
所以.
因为三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
4．C
【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.
【详解】设，由，则，
由在直线上，故，
化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，
上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
5．B
【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论．
【详解】是边的中点，可得，
是的外接圆的圆心，
，
同理可得，
．
故选：B．
6．B
【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】取的中点，连接，如图所示，

所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
7．AD
【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算即可求解A，根据共线即可得矛盾求解B，根据共线即可求解C，根据数量积的运算律，结合图形关系即可求解D.
【详解】设为正六边形的中心，
根据正六边形的性质可得且四边形均为菱形，
，故A正确，
假设存在存在点，使，则,其中点为以为邻边作平行四边形的顶点，
所以在直线上，这与点是内部（包括边界）的动点矛盾，故B错误，
当时，，
取,则,所以点的轨迹为线段,
其中分别为过点作与的交点，
由于为的中点，所以,故点的轨迹长度为1，C错误，
由于,
,
过作于，则,所以此时，
由于分别为上的分量，且点点是内部（包括边界）的动点，所以
当位于时，此时同时最小，故的最小值为
故选：AD

8．AC
【分析】已知向量的坐标，证明向量垂直，求向量的模长、夹角、投影等都比较简单，根据公式求解即可.
【详解】因为，，所以，
则，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
，因为，所以，故C正确；
在方向上的投影向量是，故D错误.
故选:AC.
9．AB
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.
【详解】设，，
，，
，，
对于A，，故选项A正确；
对于B， ，，故选项B正确；
对于C，，
当时，，故选项C错误；
对于D， ，
可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误.
故选:AB.
10．
【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程，解出即可.
【详解】因为，所以.
又，所以，解得.
故答案为：.
11．
【分析】与所成的角为钝角即且与不平行，列式求解即可.
【详解】与所成的角为钝角即且与不平行，
即，
所以.
故答案为：.
12．
【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案.
【详解】由题意知三力平衡得，化简得，
两边同平方得，即，
即，解得.
故答案为：.
题号
1
2
3
4
5
6
7



答案
C
B
D
A
D
C
C



题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9

答案
A
D
A
C
B
B
AD
AC
AB