2025年高考数学二轮复习专项精练15 等差数列、等比数列（真题精练+模拟精练）

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【真题精练】
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）记为等差数列an的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·高考真题）已知等差数列an的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
3．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
4．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
5．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
7．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
二、填空题
8．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
9．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
10．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
参考答案：
1．B
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
2．D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
3．C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
4．C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
5．C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则Sn=na1+n(n-1)2d,Snn=a1+n-12d=d2n+a1-d2,Sn+1n+1-Snn=d2，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即Sn+1n+1-Snn=nSn+1-(n+1)Snn(n+1)=nan+1-Snn(n+1)为常数，设为，
即nan+1-Snn(n+1)=t，则Sn=nan+1-t⋅n(n+1)，有Sn-1=(n-1)an-t⋅n(n-1),n≥2，
两式相减得：an=nan+1-(n-1)an-2tn，即an+1-an=2t，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则Snn=a1+(n-1)2d=d2n+a1-d2，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即Sn+1n+1-Snn=D,Snn=S1+(n-1)D，
即，，
当时，上两式相减得：Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
6．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
7．D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
8．95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
故答案为：.
9．
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【详解】设an的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
10．2
【分析】转化条件为，即可得解.
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
【模拟精练】
一、单选题
1．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，当时，有，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北·一模）设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三下·河南开封·阶段练习）已知等差数列为递增数列，为其前项和，，则（ ）
A．516B．440C．258D．220
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则时最大
C．若，则使为负值的n的值有6个D．若，则
8．（2023·辽宁·一模）设等差数列的前项和是，若，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，则 ．
10．（2024·辽宁·模拟预测）已知公比大于1的等比数列满足，.设，则当时，数列的前项和 .
四、解答题
11．（2023·广东·模拟预测）已知各项都是正数的数列，前项和满足.
(1)求数列的通项公式.
(2)记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.
12．（23-24高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，求证：．
参考答案：
1．B
【分析】
根据等差数列通项及前n项和公式计算化简即可求解.
【详解】，，
则，
，则，
所以
.
故选：B.
2．C
【分析】设出三个角度的大小关系，结合已知条件求得最小角的正切值，再求正弦值即可.
【详解】设，根据题意可得，且，
即，又，则，，
解得，又，则.
故选：C.
3．D
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用前n项和公式求解作答.
【详解】等差数列为递增数列，则，由，得，而，
解得，所以.
故选：D
4．D
【分析】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果.
【详解】因为为等差数列的前项和，所以可设，（等差数列前项和的二级结论）
同理因为为等差数列的前项和，所以可设．
又，所以，即，
整理得，解得．
不妨设，则，则，故，
故选：D．
5．B
【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前项和及数列的单调性即可求解.
【详解】由可得，
故，设的公比为，则，即，
故，
则．
由于时，，
故随着的增大而增大，而，，
故满足的最小正整数的值为6．
故选：B.
6．D
【分析】写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案.
【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率，
所以，
由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即.
显然数列递减，所以当时，，
所以的最小值为.
故选：D.
7．AD
【分析】直接利用等差数列的通项公式和前n项和的基本量计算，结合等差数列的性质的应用，判断各选项的结论.
【详解】选项A：，故A正确；
选项B：，则，当时，，
则，所以，，
则当时最大，故B错误；
选项C：，则当时，，
故，
所以使为负值的n的值有5个，分别为1，2，3，4，5，故C错误；
选项D：若，则，又，即，
于是，，，故D正确．
故选：AD
8．BC
【分析】设等差数列公差为d，由题目条件，可得，由此可得各选项正误.
【详解】设等差数列公差为d，则由题目条件有：
.
A选项，，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，，故C正确；
D选项，注意到，
，又由知为单调递减数列，则
，故D错误.
故选：BC.
9．263
【分析】根据等比中项可判断为等比数列，即可根据等比数列的通项求解，即可根据分组求和，结合等比求和公式即可求解.
【详解】由可得为等比数列，
由知是首项为1，公比的等比数列，所以，
即，所以．
故答案为：263
10．
【分析】根据题意结合等比数列同向公式可得，进而可得，结合等差数列求和公式分析求解.
【详解】由题意可得：，解得或，
注意到，则，可得，
则，
当时，则
，
即当时，.
故答案为：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据裂项相消法，结合等比数列前项和、二项式定理进行求解即可.
【详解】（1）当时，，所以或（舍去），
当时，有
两式相减得，
整理得，
因为的各项都是正数，所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，则，
所以，
由（1）得
所以，
因为，
所以，故，
所以当时，.
12．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系，即，和等比数列的性质进而求出数列的通项公式；
（2）由结合(1)并列项得，再根据裂项求和得，进而即可证明.
【详解】（1）当时，，两式相减得，，
又，，．
所以数列是首项为，公比是的等比数列，所以．
（2）证明：，
因为，
所以
，
因为，所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7



答案
B
D
C
C
C
B
D



题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
C
D
D
B
D
AD
BC