2025年高考数学二轮复习专项精练24 直线与圆（真题精练+模拟精练）

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【真题精练】
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
3．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
4．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
二、填空题
6．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
7．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
8．（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
9．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
10．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，AB的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，AB的最小，
此时.
故选：C
2．C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，
，此时.

故选：C
3．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

4．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的渐近线为，
当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；
当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
5．C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
6．（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
7．
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
8．
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
9．或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
10．或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
【模拟精练】
一、单选题
1．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重庆·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2024·广东韶关·二模）过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（ ）
A．B．C．2D．
4．（23-24高三下·江西赣州·期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）
A．B．1C．2D．
5．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知直线：的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
8．（2024·山东济南·二模）已知圆，若圆C上有且仅有一点P使，则正实数a的取值为（ ）
A．2或4B．2或3C．4或5D．3或5
9．（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
11．（2023·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（ ）
A．、两点的纵坐标之积为定值B．直线的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值D．面积的取值范围为
12．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（ ）
A．C的虚轴长为B．C的离心率为
C．的最小值为2D．直线PF的斜率不等于
13．（2024·全国·模拟预测）已知圆关于直线对称，则下列结论中正确的是（ ）
A．圆的圆心是B．圆的半径是4
C．D．的取值范围是
14．（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，点，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点在圆外，则直线与圆相离B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆上，则直线与圆相切D．若点在直线上，则直线与圆相切
15．（22-23高三上·辽宁大连·期中）已知圆C：，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当时，为圆上任意一点，则的最大值为
D．当时，直线为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，则最小值为4
16．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（ ）
A．直线恒过定点B．最小值为
C．的最小值为D．满足的点有且只有一个
三、填空题
17．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则 .
18．（2024·湖北·模拟预测）若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
19．（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ．
20．（2022·天津河北·模拟预测）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长 ．
21．（2024·天津·一模）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 .
参考答案：
1．C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为,
若,则,
①当时，(当且仅当时，取“”)，
②当时，(当且仅当时，取“”)，
，故，
综上，，
故选：C.
2．A
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求得的值，利用斜率公式可求得的值．
【详解】∵角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，
且，∴，
解得，∴，∴，
∴．
故选：A．
3．D
【分析】如图，根据直线的点斜式方程求出直线PA，进而求出点A，利用反射光线的性质求出直线BA，结合点到直线的距离公式计算即可求解.
【详解】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，
直线，即，
令，解得，即，
又，所以，
所以直线，即，
则点到直线直线的距离为，
即.
故选：D
4．C
【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得.
【详解】易知，，且，
所以直线，
它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，又a>0，
解得.
故选：C
5．B
【分析】首先由题意求得，再根据同角三角函数基本关系式和诱导公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，，
则，解得，或（舍），
所以.
故选：B
6．A
【分析】过O作于C，过N作于D，根据等面积求出，运用在直角三角形等知识求出结果.
【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D，
因为N在直线上且在第二象限内，设，
则，又，即，
所以，在中，由三角形的面积公式得：，
所以，
在中，，所以，
即，
在中，，即，
解得：，因为N在第二象限内，所以，
所，所以，
故选：A.
7．D
【分析】将集合看作是直线的集合，求出定点坐标，即可得出答案.
【详解】集合可以看作是表示直线上的点的集合，
由变形可得，，
由可得，，
所以直线过定点.
集合可看作是直线上的点的集合，
由变形可得，，
由可得，，
所以，直线过定点.
显然，当点与点分别重合，且线段与直线都垂直时，有最大值.
故选：D.
8．D
【分析】根据题意可知：点P的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合两圆的位置关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且，
因为，可知点P的轨迹为以线段的中点为圆心，半径的圆，
又因为点P在圆上，
可知圆与圆有且仅有一个公共点，则或，
即或，解得或.
故选：D.
9．C
【分析】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果.
【详解】因为圆与圆交于A，B两点，
则直线的方程即为两圆相减，可得，
且圆，半径为，
到直线的距离，
所以.
故选：C
10．D
【分析】由两圆的位置关系即可确定公切线的条数.
【详解】由题意圆是以为圆心1为半径的圆；
即是以为圆心3为半径的圆；
圆心距满足，所以两圆相离，
所以两圆的公切线条数为4.
故选：D.
11．BCD
【分析】根据切线方程的定义，利用分类讨论的思想，可得整理切线方程，根据直线垂直可得切点横坐标的乘积，进而可得纵坐标的乘积，利用直线斜率公式，等量代换整理，可得其值，利用切线方程，求得的坐标，可得答案.
【详解】由函数，则，
设，，
当，时，由题意可得，，化简可得，符合题意；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立；
对于A，，故A错误；
对于B，直线的斜率，故B正确；
对于C，易知直线，直线，
令，则，即，同理可得，
，故C正确；
对于D，联立，整理可得，解得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，故D正确.
故选：BCD.
12．AD
【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断即得.
【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得，
对于A，的虚轴长，A正确；
对于B，的离心率，B错误；
对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误；
对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确.
故选：AD
13．ACD
【分析】利用圆的一般方程的定义和性质可判断，利用选项C的结论结合基本不等式可判断D.
【详解】将圆的方程化为标准方程可得，所以该圆的圆心为，半径为2，故选项A正确，选项B不正确．
由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故选项C正确．
由选项C知，所以，所以的取值范围是，故选项D正确．
故选：ACD．
14．AB
【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.
【详解】对于A，因为点在圆外，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，故命题A是假命题；
对于B，因为点在圆内，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，故命题B是假命题；
对于C，因为点在圆上，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，故命题C是真命题；
对于D，因为点在直线上，所以，即，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，故命题D是真命题；
故选：AB.
15．BCD
【分析】根据圆关于直线对称，得得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根据直线与圆相切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定的最值即可判断C；根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判断D.
【详解】解：圆C：，整理得：，
所以圆心，半径，则
对于A，若圆关于直线对称，则直线过圆心，所以，得，又时，，方程不能表示圆，故A是假命题；
对于B，对于圆，圆心为，半径，则，
当直线为时，圆心到直线的距离，
故存在直线，使得与所有的圆相切，故B是真命题；
对于C，当时，圆的方程为，圆心为，半径
由于为圆上任意一点，设，则式子可表示直线，此时表示直线的纵截距，
故当直线与圆相切时，可确定的取值范围,
于是圆心到直线的距离，解得或，
则，所以的最大值为，故C为真命题；
对于D，圆的方程为，圆心为，半径，
如图，连接，
因为直线与圆相切，所以，且可得，又，
所以，且平分，所以，
则，则最小值即的最小值，
即圆心到直线的距离，
所以的最小值为，故D为真命题.
故选：BCD.
16．AC
【分析】根据、与圆相切，得到直线的方程，可判断A选项；由勾股定理得当OP最小时最小，可判断B选项；根据弦长公式，可判断C选项；由可得到，可判断D选项.
【详解】

对于A，圆的圆心为O0,0，半径为，
设Px0,y0，在直线上，，
、为圆的切线，
以为直径的圆的方程为，
，两式作差可得直线的方程为，
将代入得：，
满足，解得，
所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，，当OP最小时，最小，
O0,0，，
，此时，故B错误；
对于C，，
O0,0到的距离，
，
当时，，故C正确；
对于D，若，则，即，
，
存在两个点使，故D错误.
故选：AC.
17．6
【分析】求导得切线斜率，利用直线平行求解即可.
【详解】由题意知，所以，解得.
故答案为：6.
18．
【分析】先对函数求导，得导函数是偶函数，由在A，B两点处切线互相平行，可得，计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有，设，
所以函数在点A处的切线方程为，
所以原点O到点A处切线的距离为，
因为，
所以
当且仅当时等号成立，
因为f'x是偶函数，且在A，B两点处切线互相平行，
所以，即在A，B两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用f'x是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍.
19．
【分析】根据意义可设Px0,y0，求出直线的方程为，且恒过定点，所以点M到直线AB的距离的最大值为.
【详解】设，则满足；
易知圆的圆心为O0,0，半径；
圆的圆心为，半径，如下图所示：
易知，所以，即，整理可得；
同理可得，
即Ax1,y1,Bx2,y2是方程的两组解，
可得直线的方程为，联立，即；
令，可得，即时等式与无关，
所以直线恒过定点，可得；
又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大；
最大值为；
故答案为：
20．
【分析】将圆的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】由题可知：
，即
且
由两圆向外切可知，解得
所以
到直线的距离为，设圆的半径为
则直线被圆所截的弦长为
故答案为：
21．
【分析】根据两圆外切，圆心距离等于半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】由得，
将化为标准方程，得，，
因为两圆外切，所以，即，解得.
到直线的距离，如下图：

则直线被圆所截的弦长.
故答案为：.
题号
1
2
3
4
5





答案
C
C
B
D
C





题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
B
A
D
D
C
D
题号
11
12
13
14
15
16




答案
BCD
AD
ACD
AB
BCD
AC