2025高考数学一轮复习-3.3-导数与函数的极值、最值【课件】

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[课程标准要求]1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
1.函数的极值(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 ,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为 ,极小值和极大值统称为 .
(1)对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.(2)极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
2.函数的最大(小)值(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　  的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 ;②将函数y=f(x)的各极值与 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
端点处的函数值f(a),f(b)
函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x0为极值点.(　 　)(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(　 　)(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　 　)(4)函数的极值可能不止一个,也可能没有.(　 　)
2.(多选题)已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　 　)A.f(x)在x=-4处取极小值B.f(x)在x=-2处取极大值C.1.5是f(x)的极小值点D.3是f(x)的极小值点
解析:由导函数f′(x)的图象可得,当x=-4时,其左侧附近的导数小于零,右侧附近的导数大于零,所以f(x)在x=-4处取极小值,所以A正确;当x=1.5时,其左侧附近的导数小于零,右侧附近的导数大于零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是　 . 
解析:f′(x)=2cs x+2cs 2x=2cs x+2(2cs2x-1)=4cs 2x+2cs x-2=2(cs x+1)(2cs x-1).
(k∈Z)内单调递增;
即f(x)在区间(2kπ+ ,2kπ+π),(2kπ+π,2kπ+ )(k∈Z)内单调递减.
4.函数f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数a的取值范围是　　 　 .
解析:f′(x)=3x2-2ax+2,由题意知f′(x)有变号零点,所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,
考点一　利用导数解决函数的极值问题角度一　根据函数图象判断函数极值[例1] (多选题)(2024·重庆检测)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则(　　)A.-3是函数y=f(x)的极值点B.-1是函数y=f(x)的极小值点C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增D.-2是函数y=f(x)的极大值点
解析:根据导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f′(x)0对x∈R恒成立,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,无极值;当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根.(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.(5)求出极值.
角度三　由函数极值(极值个数)求参数值(范围)[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b等于(　　)A.-7或0D.-15或6
解析:(1)由函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f′(x)=3x2+2ax+b.又函数f(x)在x=1处有极小值10,
f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11).
令f′(x)>0,得x>1或x