江苏南京市金陵中学2024-2025学年高一上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏南京市金陵中学2024-2025学年高一上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】，共17页。试卷主要包含了若函数是奇函数，则g，定义在R上的奇函数f，已知函数f，设函数，若存在，使得f等内容，欢迎下载使用。
1．若函数是奇函数，则g（﹣2）＝（ ）
A．1B．﹣1C．D．
2．已知a＞1，b＞0，且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
3．已知函数，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．2
4．已知x＞0，y＞0，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．12D．13
5．若关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，则x1+x2+x3的值为（ ）
A．B．C．1D．2
6．定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）＝0，若f（ex）≥0，则x的取值范围是（ ）
A．[0，+∞）B．[0，e]C．[1，+∞）D．（﹣1，0]
7．已知函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣2|，其中a∈R．如果对任意实数m∈[0，1]，使得不等式f（m）≤4成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0]B．[﹣2，6]C．[﹣3，+∞）D．[﹣2，+∞）
8．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）++a＝0（a∈R）有三个不相等的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（f（x1）+2）2（f（x2）+2）（f（x3）+2）的值为（ ）
A．4B．2C．（a+2）2D．a+2
二．多选题（共2小题）
（多选）9．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（ ）
A．B．x+y的最大值为
C．最大值为9D．
（多选）10．设函数，若存在，使得f（x1）+f（x2）+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+g（xn﹣1）+f（xn），则t的值可能是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
三．填空题（共3小题）
11．已知下列五个函数：y＝x，y＝，y＝x2，y＝lnx，y＝ex，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝ ．
12．已知x1，x2分别是函数f（x）＝xax﹣1和g（x）＝xlgax﹣1的零点（其中0＜a＜1），则2x1+x2的取值范围是 ．
13．设a，b∈R．若当|x|≤1时，恒有|（x﹣a）2+b|≤1，则a+b的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题）
14．已知函数是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若关于t方程f（t2﹣2t）+f（4﹣kt）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k的取值范围．
15．已知函数．
（1）若函数y＝f（x）有4个零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），求证：x1x2x3x4＝9；
（2）是否存在非零实数m，使得函数f（x）在区间[a，b]（0＜a＜b）上的取值范围为若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
16．已知函数f（x）＝2﹣lg2x，g（x）＝．
（1）求g（x）的最大值；
（2）若对任意x1∈[4，16]，x2∈R，不等式f（2kx1）•f（）＞g（x2）恒成立，求实数k的取值范围．
17．[x]表示不超过x的最大整数，例[0]＝0，[π]＝3，[﹣1.3]＝﹣2．已知函数f（x）＝[x]，．
（1）求函数g[f（x）]的定义域；
（2）求证：当x∈Z且x≠﹣2时，总有f[g（x+1）]≤g[f（x+1）]，并指出当x为何值时取等号；
（3）解关于x的不等式f[g（x）]＞g[f（x）]．
18．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．
19．已知函数，a∈R．
（1）若方程f（x）＝ln[（a﹣3）x+2a﹣4]，恰有一个实根，求实数a的取值范围；
（2）设a＞0，若对任意，当x1，x2∈[b，b+1]时，满足|f（x1）﹣f（x2）|≤ln4，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：当x＜0时，
f（﹣x）＞0，
则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，
则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，
故f（x）＝3﹣2﹣x，
所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，
故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．
故选：B．
2．【解答】解：由，得，其中a﹣1＞0，b＞0．
所以＝＝，
当且仅当b（a﹣1）＝2，即时，等号成立．
综上所述，的最小值为9．
故选：D．
3．【解答】解：若a＝0，则f（x）＝+1＞0恒成立，符合题意；
若a＞0，①当＝﹣2，即a＝时，f（x）＝+，
定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；
②当﹣＜﹣2，即0＜a时，定义域为[﹣2，+∞），
则ax+1≥﹣2a+1＞0，此时f（x）＞0恒成立，符合题意；
③当﹣＞﹣2，即a时，定义域为{x|x≥﹣2且x≠}，
则取x＝﹣t﹣，则f（﹣t﹣）＝﹣，
令0＜t≤2﹣，当t→0时，→﹣∞，f（﹣t﹣）＝﹣可以取得负值，不符合题意；
若a＜0，则函数定义域为{x|x≥﹣2且x≠﹣}，
令x＝﹣+t，则f（﹣+t）＝+，
当t＞0且t→0时，→﹣∞，f（﹣+t）＝+可以取得负值，不符合题意，
综上，0＜a≤，即a的最大值为．
故选：B．
4．【解答】解：因为x＞0，y＞0，且，两边同时乘以x，可得＝x﹣3，
所以＝2x+y+x﹣3＝3x+y﹣3＝（3x+y）（+）﹣3＝9+1++﹣3≥7+2＝13，
当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号，
所以的最小值为13．
故选：D．
5．【解答】解：依题意可知x≠0，
由整理得x++m﹣3﹣2m•＝0，①
即关于x的方程恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，
令t＝x+，则t≤﹣2或t≥2，
则①转化为：t+m﹣3﹣2m＝0，
即t2+（m﹣3）t﹣2m＝0，Δ＝（m﹣3）2+8m＝m2+2m+9＞0，
根据对勾函数的性质可知t＝x1+＝﹣2是方程t2+（m﹣3）t﹣2m＝0的一个根，此时x1＝﹣1，
所以（﹣2）2+（m﹣3）×（﹣2）﹣2m＝0，m＝，
所以t2﹣t﹣5＝0，解得t＝﹣2或t＝，
所以x2，x3是方程x+＝的根，即x2﹣x+1＝0的根，
所以x2+x3＝，
所以x1+x2+x3＝﹣1+＝．
故选：A．
6．【解答】解：∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）＝0，f（ex）≥0，
∴f（ex）≥f（1），∴ex≥1，解得x≥0，
∴x的取值范围是：[0，+∞）．
故选：A．
7．【解答】解：对任意的m∈[0，1]，使得不等式f（m）≤4，即（m﹣a）|m﹣2|≤4，
化简整理得，m2﹣（a+2）m+2a+4≥0，对∀m∈[0，1]成立，
分离参数得，∀m∈[0，1]成立，
令，1≤2﹣m≤2，
∴，当且仅当即m＝0时等号成立，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．
故选：D．
8．【解答】解：因为函数，
令f（x）＝t，则t2+（2+a）t+2+2a＝0有两个不等的实数根t1＜0，0＜t2＜5，
由韦达定理知：t1+t2＝﹣2﹣a，t1t2＝2+2a，
则f（x1）＝t1，f（x2）＝f（x3）＝t2，
所以，
故选：A．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：对于选项A，∵，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，
∴，
∴，故A正确；
对于选项B，∵，
∴，
∴，
∴，
又∵α∈[π，2π]，
∴当时，x+y取得最大值，故B错误；
对于选项C，以点O为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
∵点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，
∴点P的轨迹方程为x2+y2＝1，且在x轴的下半部分，
设P（csα，sinα），α∈[π，2π]，
则，
∴，
又∵α∈[π，2π]，∴，
∴当时，取得最大值9，故C正确；
对于选项D，∵，
∴＝，故D错误．
故选：AC．
10．【解答】解：由题意得，存在，
使得f（x1）﹣g（x1）+f（x2）﹣g（x2）+⋯f（xn﹣1）﹣g（xn﹣1）＝f（xn）﹣g（xn）成立，
令，x∈[1，4]，
又易知对勾函数在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，
∴函数F（x）在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，
由F（1）＝5+t，F（2）＝4+t，F（4）＝5+t，得4+t≤F（x）≤5+t，
即，
∴（4+t）（n﹣1）≤f（xn）﹣g（xn）≤（5+t）（n﹣1），
又4+t≤f（xn）﹣g（xn）≤5+t，
∴，即，又n∈N*，n≥3，
∴，
解得﹣6≤t≤﹣4．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
11．【解答】解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y＝，
设f（x）＝，
当g（x）＝x时，F（x）＝x+，F（x）为奇函数，不符合题意，
当g（x）＝ex时，F（x）＝ex+，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；
当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+，当x＜﹣1时，F（x）＝＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；
故F（x）＝x2+．
故答案为：x2+．
12．【解答】解：根据函数零点的定义可知x1是方程ax＝的根，所以x1也是函数f（x）＝xax﹣1的零点．
同理可得x2是方程xlgax﹣1＝0的根，即lgax2＝，所以＝x2，所以也是函数f（x）＝xax﹣1的零点．
又0＜a＜1，所以函数f（x）＝在（0，+∞）上单调递增，所以x2＝，
由0＜a＜1可知x1＞1，所以2x1+x2＝2x1+在（1，+∞）单调递增，
所以2x1+x2＞3，
故答案为：（3，+∞）．
13．【解答】解：设函数f（x）＝（x﹣a）2，则当|x|≤1时，恒有﹣1﹣b≤f（x）≤1﹣b，
当a≤﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上递增，
则f（1）＝（1﹣a）2≤1﹣b，且f（﹣1）＝（﹣1﹣a）2≥﹣1﹣b，
从而﹣2﹣2a﹣a2≤b≤2a﹣a2，则﹣2﹣2a﹣a2≤2a﹣a2，于是，矛盾；
同理，当a≥1，f（x）在[﹣1，1]上递减，
则f（1）＝（1﹣a）2≥1﹣b，且f（﹣1）＝（﹣1﹣a）2≤﹣1﹣b，
从而2a﹣a2≤b≤﹣2﹣2a﹣a2，则﹣2﹣2a﹣a2≥2a﹣a2，于是，矛盾；
当﹣1＜a≤0，﹣1≤b≤2a﹣a2，则，﹣1≤b≤0，
当0＜a＜1，﹣1≤b≤﹣2a﹣a2，则﹣2a﹣a2≥﹣1，即a2+2a≤1，可得0＜a≤﹣1，﹣1≤b≤﹣1，
由此得，a+b的取值范围是，
当且仅当，b＝﹣1时，，当且仅当a＝b＝0时，a+b＝0．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
14．【解答】解：（Ⅰ）因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（﹣1）＝﹣f（1），
即＝，
即＝，＝，
所以a2﹣a+1＝2a﹣1，
解得a＝1（舍）或a＝2，
所以a＝2．
当a＝2时，f（x）＝，定义域为R，
f（﹣x）＝＝＝＝﹣＝﹣f（x），
所以函数y＝f（x）是R上的奇函数，
故a＝2；
（Ⅱ）因为f（x）＝＝1﹣，
设x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以y＝f（x）在R上单调递增，
又因为关于t方程f（t2﹣2t）+f（4﹣kt）＝0在[1，3]有且仅有一个根，
即关于t方程f（t2﹣2t）＝﹣f（4﹣kt）＝f（kt﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，
t2﹣2t＝kt﹣4在[1，3]有且仅有一个根，
易得t＝0不满足；
当t≠0时，k＝t+﹣2在t∈[1，3]有且仅有一个根，
令h（t）＝t+﹣2，t∈[1，3]，
由对勾函数的性质可知y＝h（t）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，
所以h（t）min＝h（2）＝2，
又h（1）＝3，h（3）＝，
如图所示：
由此可得当k＝2或＜k≤3时，满足k＝t+﹣2在t∈[1，3]有且仅有一个根，
所以实数k的取值范围为（，3]∪{2}．
15．【解答】证明：（1）因为函数有4个零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），
所以方程有4个不同的解x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），
于是方程都各有两个不同的解，
即方程x2+（2+m）x﹣3＝0，x2+（2﹣m）x﹣3＝0各有两个实数根，
于是x1x2x3x4＝9；
解：（2），
所以y＝f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
①若函数f（x）在[a，b]上不单调，则有0＜a≤1＜b，且，
由于m≠0，所以a＝2，与假设矛盾；
②当1≤a＜b时，有，即，
所以，
所以a，b是一元二次方程x2+（m+2）x﹣3﹣2m＝0的两个不相等的实数根，
记g（x）＝x2+（m+2）x﹣3﹣2m，
有，所以，
③当0＜a＜b≤1时，应有，即，
两式相减得到ab+3＝﹣2m∈（3，4），所以，
两式相加得：，
又ab＝﹣（2m+3），∴，
∴m＜﹣4，与矛盾，
此时满足条件的实数m不存在，
综合以上讨论，满足条件的实数m的取值范围是．
16．【解答】解：（1）当x≤1时，g（x）＝|2x﹣1|，
此时0＜2x≤2，﹣1＜2x﹣1≤1，则0≤|2x﹣1|≤1，
即0≤g（x）≤1，
当x＞1时，g（x）＝f（x）﹣1＝1﹣lg2x，
此时lg2x＞0，1﹣lg2x＜1，即g（x）＜1，
故当x＝1时，g（x）max＝1．
（2）因为任意x1∈[4，16]，x2∈R，
不等式恒成立，
又g（x2）≤1，所以不等式恒成立，
又＝2（2﹣k﹣lg2x1）（1﹣lg2x1），
令lg2x1＝m∈[2，4]，
不等式化为2m2+2（k﹣3）m﹣2k+3＞0，
又函数f（m）＝2m2+2（k﹣3）m﹣2k+3的图象开口向上，
对称轴为，
故当，即k≥﹣1时，f（m）min＝f（2）＝2k﹣1＞0，
解得，符合题意；
当，即﹣5＜k＜﹣1时，，
化为k2﹣2k+3＜0，无解；
当，即k≤﹣5时，f（m）min＝f（4）＝6k+11＞0，
解得，不满足题意，
综上可知，实数k的取值范围为．
17．【解答】解：（1）因为函数f（x）＝[x]，，所以函数g[f（x）]＝，
因为[x]+1≠0，即[x]≠﹣1，
所以该函数定义域为（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）；
（2）证明：当x∈Z且x≠﹣2时g[f（x+1）]＝＝，
而f[g（x+1）]＝[]≤，即f[g（x+1）]≤g[f（x+1）]．
当＝1﹣为整数，即x＝﹣4，﹣3，﹣1，0时取等号；
（3）不等式f[g（x）]＞g[f（x）]为[]＞，其中x∈（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）．
当0≤x＜1时，则﹣1≤＜0且[x]＝0，左边＝﹣1＝右边，不符合题意；
当x≥1时，则0≤＜1且[x]≥1，左边＝0，右边≥0，左边≤右边，不符合题意；
当﹣2≤x＜﹣1时，则[x]＝﹣2，右边＝3，所以[]＞3，即≥4，
解得：﹣≤x＜﹣1；
当﹣3≤x＜﹣2时，2≤＜3且[x]＝﹣3，左边＝2＝右边，不符合题意；
当x＜﹣3时，1＜＜2，故左边＝1，而[x]≤﹣4，显然＝1﹣＞1，
左边＜右边，不符合题意．
综上所述，不等式f[g（x）]＞g[f（x）]的解集为[﹣，﹣1）．
18．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，
f（x）＝2x+﹣90＞40，
即x2﹣65x+900＞0，
解得x＜20或x＞45，
∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当0＜x≤30时，
g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40﹣；
当30＜x＜100时，
g（x）＝（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）＝﹣x+58；
∴g（x）＝；
当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；
当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；
说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数所占比为32.5%时，人均通勤时间最少．
19．【解答】解：（1）由，得（a﹣3）x2+（a﹣4）x﹣1＝0，
即[（a﹣3）x﹣1]（x+1）＝0，
当a＝3时，x＝﹣1，经检验，满足题意；
当a＝2时，x1＝x2＝﹣1，经检验，满足题意；
当a≠2且a≠3时，，
若x1是原方程的解，当且仅当，即，
若x2是原方程的解，当且仅当，即a＞1，
故当x1是原方程的解，x2不是方程的解，则，无解，
当x2是原方程的解，x1不是方程的解，则，解得，
于是满足题意的．
综上，a的取值范围为．
（2）不妨令b≤x1≤x2≤b+1，则，
由于y＝lnx单调递增，单调递减，
所以函数在[b，b+1]上为减函数；
，，
因为当x1，x2∈[b，b+1]，满足|f（x1）﹣f（x2）|≤ln4，
故只需，
即3ab2+3（a+1）b﹣1≥0对任意成立，
因为a＞0，所以函数g（b）＝3ab2+3（a+1）b﹣1为开口向上的二次函数，且对称轴为，
故g（x）在上单调递增，当时，y有最小值，
由，得，故a的取值范围为．