江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第18周阶段性训练模拟练习【含答案】，共20页。试卷主要包含了在平面直角坐标系xOy中，点A等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，﹣2a+4）在反比例函数（k＜0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B．若AB≤4，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣16B．k≤﹣2C．﹣16≤k＜0D．﹣2≤k＜0
2．欧几里得的《原本》记载，方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝BC．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长B．CD的长C．AD的长D．BC的长
3．如图，P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB＝20，PC＝OQ＝6，则OE的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
4．若二次函数y＝﹣x2+px+q的图象经过A（1+m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（m2﹣2m+5，y2）、E（2m﹣m2﹣5，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2≤y1B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
二．填空题（共13小题）
5．如图，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点F，若AC＝4AE，AD＝3cm，则AF的长度为 cm．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（3，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 ．
7．如图，C、D是⊙O上两点，AB是直径，如果∠BDC＝23°，则∠ABC的度数为 °．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为直径作半圆，三个半圆形成的两个月牙形（图中阴影部分）称为“希波克拉底月形”（希波克拉底是古希腊数学家），若AC＝3，BC＝4，则希波克拉底月形（阴影部分）的面积等于 ．
9．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ．
10．抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣）（a是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a等于 ．
11．如果点D是△ABC的重心，AD的延长线交BC于点E，那么AD：AE＝ ．
12．如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A与BC交于点F，则tan∠DEF＝ ．
13．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分面积为 ．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c≥1的解集为 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0）在x轴上，若点P到两坐标轴的距离相等，且∠APO＝∠BPO，则点P的坐标为 ．
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE＝4，若CD＝1，AD＝3，则AB的长为 ．
17．如图，点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC＝8，若AB＝m（m为整数），则整数m的值为 ．
三．解答题（共3小题）
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝90°，连接AC，点E在BA的延长线上，且∠AED＝∠ACB，AD、BC的延长线相交于点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）在题中条件不变的情况下，再从以下四个选项中选择三个作为已知条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程．①DE∥AC，②CD＝2，③BC＝3，④CF＝．
你选择的条件是 ，结论是 ．（填序号）
19．如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．
（1）当m＝1时，求PE的长；
（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由；
（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
20．已知一次函数y＝x﹣a的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．二次函数y＝x2+2x+m的图象经过点A，且与x轴交于另一个点C，与y轴交于点D．
（1）若a＝﹣3，求m的值；
（2）当a＞0时，
①试用含a的代数式表示BD的长；
②若AC＝BD，求m的值；
（3）是否存在a的值，使得直线AB与直线CD互相垂直？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：∵点A（a，﹣2a+4）在反比例函数（k＜0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B．AB≤4，
∴AB＝|﹣2a+4|≤4，
当a＞0时，则2a﹣4≤4，解得0＜a≤4，
∴k＝a（﹣2a+4）＝﹣2a2+4a＝﹣2（a﹣1）2+2≥﹣16，
当a＜0时，则﹣2a+4≤4，解得a≥0，不合题意舍去，
∴k＝a（﹣2a+4）＝﹣2a2+4a＝﹣2（a﹣1）2+2≥﹣16，
故k的取值范围是﹣16≤k＜0，
故选：C．
2．【解答】解：（方法一）在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝b，BD＝BC＝，
∴b2+（）2＝（AD+）2＝AD2+aAD+（）2，
∴AD2+aAD＝b2．
∵AD2+aAD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且AD的长度为正数，
∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
故选：C．
（方法二）原方程可变形为x2+ax﹣b2＝0，
∴Δ＝a2+4b2，
∴x＝，其中正根为x＝．
∵BC2+AC2＝AB2，即+b2＝AB2，
∴a2+4b2＝4AB2，
∴x＝＝＝AB﹣＝AB﹣BD＝AD，
∴AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
故选：C．
3．【解答】解：∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO＝∠OQD＝90°，
在Rt△OCA和Rt△DOQ中
，
∴Rt△OCA≌Rt△DOQ（HL），
OP＝DQ，
∵AB＝20，PC＝OQ＝6，
∴OA＝OB＝10，
∴OD＝10，
∵∠OQD＝90°，
∴QD＝＝8，
∴OP＝8，
∴PQ＝OP+OQ＝8+6＝14，
设OE＝a，则EQ＝a+6，PE＝8﹣a，
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴PC∥QD，
∴，
即，
解得，a＝2，
即OE＝2，
故选：C．
4．【解答】解：∵经过A（1+m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵m2﹣2m+5＝（m﹣1）2+4≥4，2m﹣m2﹣5＝﹣（m﹣1）2﹣4≤﹣4，
∴（m2﹣2m+5﹣2）﹣[2﹣（2m﹣m2﹣5）]＝﹣4＜0，
∴D点离对称轴x＝2比E点离对称轴x＝2近，
∴B（0，y1）、D（m2﹣2m+5，y2）、E（2m﹣m2﹣5，y3）与对称轴的距离E最远，B最近，
∵a＝﹣1＜0，
∴y1≥y2＞y3；
故选：A．
二．填空题（共13小题）
5．【解答】解：过D点作DG∥AC交BE于G点，如图，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴CE＝3AE，
∵DG∥CE，
∴＝＝，即DG＝CE，
∴DG＝AE，
∵DG∥AE，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴AF＝AD＝×3＝1.2（cm）．
故答案为1.2．
6．【解答】解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，
∴△ABQ≌△ACP，
∴AB＝AC，BQ＝PC，∠PAQ＝∠BAC，
∵△ABC是等边三角形
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴C（2，），即点C是定点，
∴当PC最小时，BQ最小，
∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是2，
∴线段QB长度的最小值为2．
故答案为：2．
7．【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠BDC＝23°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣23°＝67°．
故答案为67．
8．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，
以AC为直径的半圆的面积是π×（）2＝π，
以BC为直径的半圆的面积是π×（）2＝2π，
以AB为直径的半圆的面积是π×（）2＝π，
△ABC的面积是＝4＝6，
所以阴影部分的面积S＝π+2π+6﹣π＝6，
故答案为：6．
9．【解答】解：画出格点△ABC，它的三边分别是1，，，以及格点△DEF，三边长分别是，，5，
此时△DEF面积最大，
则S△DEF＝×3×4﹣12﹣×2×1﹣×1×3＝6﹣1﹣1﹣＝2.5．
故答案为：2.5．
10．【解答】解：∵y＝a（x﹣2）（x﹣）＝（x﹣2）（ax﹣2）＝ax2﹣2（a+1）x+4，
∴顶点的纵坐标为：＝﹣，
∴a＝﹣1，
故答案为﹣1．
11．【解答】解：∵点D是△ABC的重心，
∴AD＝2DE，
∴AD：AE＝2：3．
故答案为2：3．
12．【解答】解：由题意可得：∠DBC＝∠DEF，
则tan∠DEF＝tan∠DBC＝＝．
故答案为：．
13．【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝2，四边形DMCN是正方形，DM＝．
则扇形FDE的面积是：＝π．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠GDH＝∠MDN＝90°，
∴∠GDM＝∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
∴△DMG≌△DNH（ASA），
∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝2．
则阴影部分的面积是：π﹣2．
故答案为π﹣2．
14．【解答】解：函数大概图象如下：
根据题意得出当ax2+bx+c≥kx+1时，则ax2+（b﹣k）x+c≥1，
则从图象看，关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c≥1的解集为﹣3≤x≤1，
故答案为﹣3≤x≤1．
15．【解答】解：当点P在第一象限时，设（m，m），
过点O作OE⊥PA于E，OF⊥PB于F．
∵∠OPA＝∠OPB，
∴OE＝OF，
∴＝＝＝，
∴＝＝2，
∴PA2＝4PB2，
∴（m+4）2+m2＝4[（m﹣2）2+m2]，
解得m＝4或0（舍弃），
∴P（4，4），
当点P在第四象限时，根据对称性可知，P′（4，﹣4），
故答案为：（4，4）或（4，﹣4）．
16．【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠E＝∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
故答案为：．
17．【解答】解：设AC＝x，则BC＝8﹣x，
∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴m2＝x2+（8﹣x）2，
∴m2＝2[（x﹣4）2+16]
∵点C是以AB为直径的半圆上一个动点（不与点A、B重合），
∴0＜x＜8，
∴0≤（x﹣4）2＜16，
∴32≤2[（x﹣4）2+16]＜64，
又∵m为整数，
∴当2[（x﹣4）2+16]＝36或2[（x﹣4）2+16]＝49时，m为整数6或7，
故答案为：6或7．
三．解答题（共3小题）
18．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由如下：
如图1，连接BD，
∵∠AED＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ADB，
∵∠BCD＝90°，
∴BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠AED+∠ADE＝∠ADB+∠ADE＝∠BDE＝90°，
∴BD⊥ED，
∴DE与⊙O相切；
（2）条件①，②，③，结论④；
证明：如图2，∵AC∥DE，
∴∠E＝∠BAC，
∵∠ACB＝∠E，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC＝3，
∵BD是⊙O的直径，
∴AD＝CD，
设CF＝x，DF＝y，
由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，CD2+CF2＝DF2，
即32+（2+y）2＝（3+x）2①，
22+x2＝y2②，
由②得：y2﹣x2＝4③，
把③代入①得：3x＝4+2y，
∴y＝，
∴4+x2＝，
解得：x1＝0（舍），x2＝，
∴CF＝．
还可以：
条件①，④，③，结论②；
同理设CD＝x，DF＝y，列方程可解答；
条件①，②，④，结论③；
根据勾股定理得：DF＝＝，
设BC＝x，则AB＝x，
∴x2+（2+）2＝（x+）2，
解得：x＝3，
∴BC＝3．
19．【解答】解：（1）连接BE，
由已知：在Rt△ADC中，AC＝，
当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，
∵PE⊥CD，
∴∠PEC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠PCE，
∴△ACD∽△PCE，
∴，
即，
∴PE＝；
解法二：求出三角形ACD的面积，接着连接DP，根据两三角形同高，求得三角形DPC的面积为4.8，
再根据面积法求得PE＝2.4．
（2）如图1，当△PAB≌△PEB时，
∴PA＝PE，
∵AP＝m，则PC＝5﹣m，
由（1）得：△ACD∽△PCE，
∴，
∴PE＝，
由PA＝PE，即，
解得：m＝，
∴EC＝，
∴BE＝，
∴△PAB与△PEB不全等，
∴不能使得△PAB≌△PEB；
（3）如图2，延长EP交AB于G，
∵BP⊥PF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠EPF+∠BPG＝90°，
∵EG⊥AB，
∴∠PGB＝90°，
∴∠BPG+∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∵∠PEF＝∠PGB＝90°，
∴△BPG∽△PFE，
∴，
由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝，
∴，
即，
∴EC＝，
∴BG＝EC＝，
∴，
∴5m+4n＝16．
20．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，y＝x+3，
当y＝0时，x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把点A（﹣3，0）代入二次函数y＝x2+2x+m中得：9﹣6+m＝0，
∴m＝﹣3；
（2）当y＝0时，x﹣a＝0，
∴x＝a，
∴A（a，0），
当x＝0时，y＝﹣a，
∴B（0，﹣a），
同理得：D（0，m），
把点A（a，0）代入二次函数y＝x2+2x+m中得：a2+2a+m＝0，
∴m＝﹣a2﹣2a，
∵a＞0，
∴m＜0，
∴m＜﹣a，即点B在点D的下方，
∴BD＝﹣a﹣m＝﹣a﹣（﹣a2﹣2a）＝a2+a；
②当y＝0时，x2+2x+m＝0，
x＝＝﹣1，
∴C（﹣1﹣，0），
∵A（a，0），
∴AC＝a+1+，
∵AC＝BD，
∴a+1+＝a2+a，且m＝﹣a2﹣2a，
解得：a1＝2，a2＝﹣1（舍），
∴m＝﹣4﹣4＝﹣8；
（3）存在a的值，使得直线AB与直线CD互相垂直，理由是：
由（2）知：C（﹣1﹣，0），A（a，0），B（0，﹣a），D（0，m），
由已知得：A，C两点存在，
∴△＝4﹣4m＞0，
∴m＜1，
如图1，
∴OA＝OB＝|a|，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，
当∠OCD＝45°时，∠AEC＝90°，即AB⊥CD，
∴OC＝OD，
∴m＝﹣1﹣或m＝1+，
解得：m1＝0（舍），m2＝﹣3或m1＝0（舍），m2＝1（舍），
经检验：m＝﹣3是原方程的解，
∴当m＝﹣3时，可使得直线AB与直线CD互相垂直．