北师大版（2024）八年级下册4 角平分线课堂检测

这是一份北师大版（2024）八年级下册4 角平分线课堂检测，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，等腰中，，于点，的平分线分别交、于、两点，于点，连接、．下列结论：①；②为等腰三角形；③为等腰直角三角形；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积是（ ）
A．24B．48C．36D．30
3．如图，是中的角平分线，，于点，若，，则长为（ ）
A．2B．3C．4D．
4．如图，的周长是21，，分别平分和，于，且，则的面积为（ ）
A．84B．63C．42D．21
5．如图，在∠MON中，以点O为圆心、任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心、OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC，连接AB，AC．若OA＝10，AB＝12，则点B到AC的距离为（ ）
A．B．4C．5D．
6．到三角形三边距离相等的点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，的三边、、的长分别是8、12、16，点是三条角平分线的交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
10．如图，在中．．，平分，于点E，则下列结论：①平分；②；③平分；④，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于（ ）
A．不能确定B．C．D．
二、填空题
13．如图，，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 cm．

14．如图，在中，平分则的面积为 ．

15．如图，边长为2的等边三角形，点C在x轴上，轴．P为x轴上一点，Q为直线上一点，满足，则的最小值是 ．
16．如图，是的角平分线，垂足为，，和的面积分别为68和42，则的面积为 ．
17．如图，点D在边BC上，∠C+∠BAD＝∠DAC，过D作DE⊥AB于E，，则线段AC的长为 ．
三、解答题
18．【阅读材料】
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1)的有理化因式为 ；
(2)化简：；
(3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．

②已知有理数a、b满足，求a、b的值．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角．
实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF
探究与猜想：若∠BAE＝36°，求∠B的度数．
20．第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G和2G系统后的延伸．5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（请保留作图痕迹，并标注出点G，否则扣分．）
21．如图，已知，，于M，于N，求证：
22．如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求的值．
23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，BD＝CD．
(1)求证：DE＝DF；
(2)判断△ABC的形状并证明．
24．【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．
解：是由折叠而得到，
．
，．
，
．
，
∴的周长为：．
(1)【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，求证：平分；
(3)【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．若，，，直接写出长；
(4)若，求证．
参考答案：
1．D
【分析】①根据角平分线的性质即可判断①正确；
②证明，得出，，证明，得出，即可判断②正确；
③证明，得出，证明，，，，即可判断③正确；
④证明，得出，即可判断④正确．
【详解】解：平分，，
，故①符合题意，
，，
，
，，
，，
∴，
，
，
是等腰三角形，故②符合题意，
等腰中，，，
，，
，，
是的垂直平分线，
，且，，
，
，
∴，
，，
，
，且，
是等腰直角三角形，故③符合题意，
，，，
，
，故④符合题意；
综上分析可知，正确的有4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
2．C
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟悉掌握角平分的性质是解题的关键．
连接，根据角平分线的性质得到点到、、的距离都相等，再利用三角形面积公式列式运算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵、分别平分和，
∴点到、、的距离都相等，
∵的周长是，于，且，
∴的面积为：，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了角平分线的性质以及勾股定理，由是中的角平分线，，，得到，进而求解．
【详解】解：是中的角平分线，，，
，
在中
，
故选：C．
4．C
【分析】根据角平分线的性质可得点O到AB、AC、BC的距离为4，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接OA
∵，分别平分和，于，且
∴点O到AB、AC、BC的距离为4
∴
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．
5．D
【分析】设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离
【详解】解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，
∵OA＝OB，OC平分∠AOB，
∴OC⊥AB，
设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，
∵OA＝10，AB＝12，AC＝OA，OC⊥AB，
∴AC＝10，∠ADC＝90°，AD＝6，
∴，
∵,
∴．
故选 D
【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，理解题意作出辅助线是解题的关键．
6．D
【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，在三角形的内部，有一个点（是三角形角平分线的交点）到三角形三边的距离相等；在三角形的外部，由于三角形的外角平分线的交点有三个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．
【详解】在三角形的所在的平面内到三角形三边距离相等的点有4个．
故选：D．
【点睛】主要考查了角平分线的性质．本题容易漏掉三角形外部的三个点，由于三角形的边是线段，而点到线段的距离就是点到这条线段所在直线的距离．
7．B
【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上．
8．A
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知OD=OE=OF．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
∵点是三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF．
∵，
，
，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出OD=OE=OF是解题关键．
9．B
【分析】根据平分，得到，可以证明，故①正确；根据，，，得到，可得到②正确；根据，，可得到③正确；
证明，可④错误．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，大角对大边原理，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
10．C
【分析】证明判断①；利用余角性质判断②；根据等腰三角形的三线合一判断③；利用全等三角形的性质及等角对等边判断④．
【详解】解：∵，平分，，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴,
∴不平分，故③不正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
11．B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和角平分线，熟练掌握三角形全等的判定和三角形等底同高面积相等的性质．
【详解】解：延长交于点D，如图
是 的平分线，
，
，
，
，
，
的面积 的面积，
的面积 ，
的面积 的面积 ，
的面积 的面积 ，
的面积 的面积 的面积 的面积 的面积 ．
故选：D．
13．
【分析】过作，根据垂线段最短即可求出最小值．
【详解】∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
过作于点，

∵，平分，
∴，
∵点是射线上的动点，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．
14．34
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据在中，平分且，得出，再结合三角形的面积公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：过点D作，

∵在中，平分且，
∴，
∴的面积，
故答案为：34．
15．3
【分析】
本题考查的是平面直角坐标系的含义，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四边形的内角和定理的应用，熟练的解析线段的转换是解本题的关键；过P作，，过O作，交延长线于R，过R作轴．证明为等边三角形，可得，再证明，进行线段的转化，从而可得答案．
【详解】
解：过P作，，过O作，交延长线于R，过R作轴．
∵等边，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
利用角平分线上的点到角两边的距离相等得：，
∵，
利用四边形内角和为得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴的最小值为3．
故答案为：3．
16．13
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【详解】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为68和42，
∴42＋SRt△DEF＝68−SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝13．
故答案为13．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
17．
【分析】如图，作∠DAH=∠DAE，交BC于H，过点D作DF⊥AH于F，过点A作AG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得DE=DF，AE=AF，由∠C+∠BAD＝∠DAC可得∠HAC=∠C，即可证明AH=CH，设DE=4x，根据，利用勾股定理可求出DF、AF的长，设FH=y，在Rt△DFH中，利用勾股定理列方程可求出y值，即可求出DH的长，利用面积法可求出AG的长，利用勾股定理可求出DG的长，即可求出CG的长，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．
【详解】如图，作∠DAH=∠DAE，交BC于H，过点D作DF⊥AH于F，过点A作AG⊥BC于G，
∵DE⊥AB，
∴DE=DF，AE=AF，
设DE=4x，
∵，
∴AE=7x，
∵AD=，DE2+AE2=AD2，
∴(4x)2+(7x)2=65，
解得：x=1，（负值舍去）
∴DE=4，AE=7，
∴DF=DE=4，AF=AE=7，
∵∠C+∠BAD＝∠DAC，∠DAC=∠DAH+∠HAC，
∴∠HAC=∠C，
∴AH=CH，
设FH=y，
∴CH=AH=AF+FH=7+y，
∵CD=13，
∴DH=CD-CH=6-y，
在Rt△DFH中，DF2+FH2=DH2，即42+y2=(6-y)2，
解得：y=，
∴DH=6-=，CH=AH=7+=，
∴S△ADH=DH·AG=AH·DF，即·AG=×4，
解得：AG=8，
∴DG==1，
∴CG=CD-DG=12，
∴AC==．
故答案为：
【点睛】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
18．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化因式；
（2）利用有理化因式变形，再计算即可；
（3）①过点分别作边、、的垂线段、、，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积求高即可；②将等式左边变形，得到，再根据有理系数和无理系数分别相等，可得方程，解之可得a，b值．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
∴的有理化因式为；
故答案为：．
（2）
；
（3）①过点分别作边、、的垂线段、、，
中，与的角平分线相交于点，
线段，
，
的周长为，面积为3，
，
解得，
即点P到边的距离为；
②

∴，解得：．
【点睛】本题考查了因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质，知识点较多，能够灵活运用，熟练掌握题干中涉及的定义是解题的关键．
19．（1）详见解析；（2）48°
【分析】（1）利用基本作图作AM平分∠DAC;
（2）先画出几何图形，再证明∠B=∠2=∠3=∠1，接着根据线段垂直平分线的性质的EA=EC，所以∠3=∠EAC，然后利用平角的定义计算出∠1=48°，从而得到∠B的度数.
【详解】解：（1）如图，AM为所作；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠3，
∵AM平分∠DAC，
∴∠1＝∠2，
而∠DAC＝∠B+∠3，
∴∠B＝∠2＝∠3＝∠1，
∴EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠3＝∠EAC，
∵∠1+∠2+∠EAC+∠BAE＝180°，
∴∠1＝（180°﹣36°）＝48°，
∴∠B＝48°．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确把握线段垂直平分线的性质是解题关键．
20．见解析
【分析】根据角平分上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端得距离相等，即可得到G点为线段AB垂直平分线和∠QON角平分线的交点.
【详解】解：连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，然后连接两个交点即为所求
以O为圆心，以任意长为半径画弧，与OQ，ON分别交于E、F，连接EF，然后同样以O为圆心，以不同为OE的长为半径画弧与OQ，ON分别交于R、S，连接ES，RF两者交于H，连接OH交AB垂直平分线于G，即为所求G.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及两者的作法，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质.
21．见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质证明边相等是解决这个问题的关键，属于中考常考题型．欲证明，因为于M，于N，所以只要证明，可以通过证明来实现．
【详解】证明：连接，
，，，
，
于M，于N，
．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证是等边三角形，可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解；
（2）由“”可证，可得，可证，即可求解；
（3）由直角三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，取的中点H，连接，
∵，，
，，
，点H是的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点E作于，于点G，
又，
，
平分，，，
，
∵，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：，，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)△ABC是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=DF；
（2）根据题意可得∠DEB=∠DFC，BD=CD，从而得出△DEB≌△DFC，进而得出∠B=∠C，得AB=AC，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF；
（2）解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
24．(1)
(2)见解析
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据已知条件可得，从而可以计算得解；
（2）过点分别作、、边的垂线，垂足分别为点、、，利用全等性质，通过等量代换即可得到，通过角平分线性质即可得证；
（3）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，利用关系即可得解；
（4）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，然后将整理化简，最后等量代换即可得证．
【详解】（1）解：由题可知，，，，
；
（2）证明：如图，过点分别作、、边的垂线垂足分别为点、、，
由题可知，，，
，
平分，
，
，
，
则平分；
（3）如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，
由题可知，，，
，
由（2）可知，
，
，
，
即，
解得；
（4）证明：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，
由（2）可知，，
∵，
∴，
，，，
，，，
，，，，，
，
，
，
即，
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采用等量代换的方法是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
C
D
D
B
A
B
C
题号
11
12








答案
B
D