初中数学人教版（2024）九年级下册第二十六章 反比例函数26.2 实际问题与反比例函数复习练习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级下册第二十六章 反比例函数26.2 实际问题与反比例函数复习练习题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，综合实践小组的同学们用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位： ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（ ）
A．B．C．D．
2．随着私家车数量的增加，城市的交通也越来越拥堵．通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度（千米/时）与高架桥上每百米车的数量（辆）的关系如图所示，当时，与成反比例函数关系，当车的行驶速度低于千米/时时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米车的数量（）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．力F作用于物体，产生的压强P与物体受力面积S之间满足关系式，当F一定时，根据表格可以判断a和b的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即： 阻力阻力臂=动力动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力 （单位： ）关于动力臂（单位： ）的函数解析式正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学
6．购买x只茶杯需15元，则购买茶杯的单价y与x的关系式为（ ）
A．（x取实数）B．（x取正整数）
C．D．（x取整数）
7．甲乙两地相距100千米,某人开车从甲地到乙地,则他的平均速度y(千米/小时)与时间x(时)之间的关系用图像大致可表示为（ ）
A．B．C．D．
8．小丽要把一篇文章录入电䐱，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共1500字
B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟
C．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务
D．小丽在开始录入，要求完成录入时不超过，则小丽每分钟至少应录入90字
9．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是
A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EM
C．当x增大时，EC·CF的值增大．D．当y增大时，BE·DF的值不变．
10．某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间x（）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ ）
A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了
C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内
11．矩形的长为x，宽为y，面积为12，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．函数解析式为B．物体承受的压力是
C．当时，D．当时，
二、填空题
13．如图，在同一个平面直角坐标系xOy中，虚半圆O是函数y=（﹣5≤x≤5）的图象，实曲线（两支）是函数y=（k≠0）的图象：已知方程=（k≠0）有一个解为x=﹣3，则该方程其余的解为 ．
14．在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例．当V＝200时，p＝50，则当p＝20时，V＝ ．
15．两个反比例函数y=,y=在第一象限内的图象如图所示，点P1,P2，P3,,P99,在反比例函数y=图象上,它们的横坐标分别是x1,x2,x3,,x99,纵坐标分别是1,3,5,·…·,共99个连续奇数过点P1,P2,P3,…,P99分别作y轴的平行线线,与y=的图象交点依次是Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),Q3(x3,y3),,Q99(x99,y99),则y99=
16．平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形CB=CA=5，点C（0，4），点B在x轴正半轴上，点A在第二象限，且在反比例函数y=的图象上，则k=
17．已知二次函数y1＝x2+bx+c和反比例函数y2＝在同一个坐标系中的图象如图所示，则不等式x2+bx+c＜的解集是 ．
三、解答题
18．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）．已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．
（1）求药物燃烧时和药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
（2）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于4毫克，且持续5分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，请计算说明此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．
19．【建模】某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，设y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，则y与x的关系式为 ．
【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数．结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图象与性质展开探究．请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整：
（1）列表：
（2）在平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数图象：
（3）观察图象，彤彤发现以下性质：
①该函数图象是中心对称图形，对称中心是 ；
②该函数值y不可能等于 ；
③当x＞﹣2时，y随x的增大而 （填“增大”或者“减小”），当x＜﹣2时，亦是如此．
【应用】根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越 （填“高”或者“低”），但不会突破 元．
20．面条文化至今已有两千多年的历史．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)求的值，并解释它的实际意义；
(3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长．
21．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值：
该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长λ关于频率f的函数表达式．
22．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品.如图，这是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里的温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求的值.
(2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于的时间有多长.
23．如图，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上移动，过点O、A、C作矩形OABC，OA=a,OC=b，移在动过程中，双曲线y= (x>0)的图象始终经过BC的中点E，交AB于点D.
(1)证明：点D是AB的中点；
(2) 连结OE记∠AOE= α.
①当α=45°时，求 a、b之间的数量关系；
②当α=30°，k=3 时，将四边形OABE沿OE翻折，得四边形OMNE,记双曲线与四边
形OMNE除点E外的另一个交点为F，求直线DF的解析式
24．（1）探究归纳：如图，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：①如图，点M,N在反比例函数的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．证明：MN∥EF．

②如图，点M,N在反比例函数y=的图象上，且M（2,m）,N是第三象限内反比例函数y=的图象上一动点．过点M作ME⊥y轴，过点N作EF⊥x轴，垂足分别为E，F．说明MN∥EF．并求当四边形MEFN的面积为12时点N的坐标．

参考答案：
1．C
【分析】本题考查反比例函数的应用，设关于的函数解析式为，把，代入求出解析式，再把代入解析式即可得到结论．正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：设关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴该液体的密度为．
故选：C．
2．D
【分析】设反比例函数的解析式为，根据图象，可得反比例函数图象过，再将坐标代入反比例函数解析式，得出其函数解析式，再根据时，求出的最值，进而求出的取值范围．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
根据图象，可得：反比例函数的图象过，
∴把的坐标代入反比例函数，
可得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
当车的行驶速度为千米/时时，即时，则，
解得：，
∴高架桥上每百米车的数量（）的取值范围为．
故选：D
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意正确得出函数解析式是解本题的关键．
3．A
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质．根据，当F一定时，P与S成反比例函数，由函数的性质得出结论．
【详解】解：∵F一定，
∴，
∴，
∴当时，P随着S的增大而减小，
∵，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量代入得出函数关系式．
【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．
小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂L（单位：m）的函数解析式为：1500×0.4=FL，
则F=．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．
5．A
【分析】根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．
【详解】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂可得，
∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离最远，
∵F甲最小，
∴甲同学到支点的距离最远．
故选：A
【点睛】本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键．
6．B
【分析】先由买x只茶杯需15元，得出xy=15，故y是x的反比例函数，再根据x、y的实际意义可知，x、y应大于0，且x的值取正整数，即可得出答案．
【详解】解：由题意，得xy=15，
∴
x的值取正整数，
∴故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定自变量的取值范围．
7．B
【分析】根据公式“”列出等式为：，即，这是一个反比例函数，由反比例函数图象的性质即可得.
【详解】由题意可得：
即
这是一个反比例函数，根据反比例函数图象的性质即可得
故答案为：B.
【点睛】本题考查了反比例函数图象，根据题意列出关系等式是解题关键.
8．D
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的定义，即可判断A 选项；求出时的函数值，即可判断B选项；分别求出和时的函数值，作差即可判断C选项； 求出时的值，再结合反比例函数的增减性，即可判断D选项．
【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入得：，
解得：，
即反比例函数解析式为，
A、录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）的乘积恒为，即这篇文章一共1500字，说法正确，不符合题意；
B、当录字速度为时，录入时间，说法正确，不符合题意；
C、当时，，
当时，，
（分钟），
即比原计划提前2分钟完成任务，说法正确，不符合题意；
D、当录入时间时，，
，在第一象限内，随的增大而减小，
即录入时间不超过分钟时，每分钟至少应录入100字，说法错误，符合题意；
故选：D．
9．D
【详解】解：由图象可知，反比例函数图象经过（3，3），应用待定系数法可得该反比例函数关系式为，因此，
当x=3时，y=3，点C与点M重合，即EC=EM，选项A错误；
根据等腰直角三角形的性质，当x=3时，y=3，点C与点M重合时，EM=， 当y=9时，，即EC=，所以，EC＜EM，选项B错误；
根据等腰直角三角形的性质，EC=，CF=， 即EC·CF=，为定值，所以不论x如何变化，EC·CF的值不变，选项C错误；
根据等腰直角三角形的性质，BE=x，DF=y，所以BE·DF=，为定值，所以不论y如何变化，BE·DF的值不变，选项D正确．
故选D．
10．C
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的应用，理解图像的意思是解题的关键．根据图中信息一一判断即可．
【详解】解：A、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项A正确，不符合题意；
B、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为，
当时，，故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项B正确，不符合题意；
C、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为，
当时，或，解得或，
由于，选项C错误，符合题意；
D、当时，函数关系式为，时，，
当时，函数关系式为，时，，，
当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项D正确，不符合题意；
故选C．
11．C
【分析】首先由矩形的面积公式，得出它的长x与宽y之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．
【详解】∵矩形的长为x，宽为y，面积为12，
∴xy＝12，
∴y与x之间的函数关系式为y＝（x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及反比例函数的图象与性质，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
12．C
【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据当时，写出解析式，根据解析式即可判定各个选项．
【详解】解：设，
∵点在这个函数的图象上，
∴，
∴，
∴p与S的函数关系式为，
故选项A，B不符合题意；
当时，，
∴当时，，
故选项C符合题意；
当时，，
当时，，
∴当受力面积时，压强，
故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出反比例函数的解析式是解题的关键．
13．3、4、﹣4．
【详解】试题分析：将x=﹣3代入方程可求得k的值，然后将k的值代入方程，接下来，将方程两边同时平方，最后解关于x的分式方程即可．∵方程=（k≠0）有一个解为x=﹣3，∴=，解得k=12．∴方程=．∴25﹣x2=．整理得：x4﹣25x2+144=0．∴（x2﹣9）（x2﹣16）=0，即（x+3）（x﹣3）（x+4）（x﹣4）=0．解得：x1=﹣3，x2=3，x3=﹣4，x4=4．所以方程的其他解为3、4、﹣4．故答案为3、4、﹣4．
考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.函数与方程的关系.
14．500
【分析】直接求出压强p与它的体积V得关系式，进而得出V的值．
【详解】解：∵一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，当V=200时，p=50，
∴设，
则m=200×50=10000，
故，
则p=20时，．
故答案为：500．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
15．
【详解】分析：由于1、3、5..为连续的奇数，则第99个数为,利用点在的图象上可得的坐标为(,197),由于//y轴,所以的横坐标为,然后把代入即可得到．
详解：由于1、3、5..为连续的奇数，则第99个数为,利用点在的图象上可得的坐标为(,197),
由于//y轴,所以的横坐标为,
然后把代入即可得到
故答案为
点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特质，得到点的纵坐标是解题的关键.
16．-4
【分析】如图，作AH⊥y轴于H．构造全等三角形即可解决问题．
【详解】如图，作AH⊥y轴于H．
∵∠ACB=∠COB=90°，∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠CBO=90°，∴∠ACH=∠CBO．
∵CA=CB，∠AHC=∠BOC，∠ACH=∠CBO，∴△ACH≌△CBO，∴AH=OC，CH=OB．
∵C（0，4），BC=5，∴OC=4，OB，∴CH=OB=3，AH=OC=4，∴OH=1，∴A（﹣4，1）．
∵点A在y上，∴k=－4．
故答案为－4．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17．或．
【分析】根据，即是二次函数图象在反比例函数下方，再结合图象可直接求出其解集．
【详解】根据题意要使，即二次函数图象在反比例函数下方即可．
根据图象可知当或时二次函数图象在反比例函数下方，
∴的解集是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数综合，掌握函数图像的交点坐标与不等式的关系，是解题的关键．
18．（1）；（2）此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
【分析】（1）由药物燃烧时的函数为正比例函数，所以设为再用待定系数法求解解析式即可；由药物燃尽后，y与x之间函数为反比例函数，所以设为再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）把分别代入，，可得相对应的自变量的值，结合函数图象，从而可得答案.
【详解】解：（1）设药物燃烧时的函数关系式为：
把代入解析式为：
解得：
所以药物燃烧时的函数关系式为：
设药物燃尽后，y与x之间函数的表达式为：
把代入解析式为：
所以药物燃尽后，y与x之间函数的表达式为：
（2）把代入可得：
把代入可得：
即有效杀灭空气中的病菌的时间为分钟，而＞，
所以此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，正比例函数的应用，根据函数值求解自变量的值，熟练的利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键.
19．；（1），3，4，0，1，；（2）见解析；（3）①（﹣2，2），②2，③增大；高，2
【分析】[建模]依据平均数的算法，可得y与x的关系式；
（1）利用函数关系式，根据自变量x的值，即可得到y的值；
（2）依据坐标，进行描点、连线，即可得到函数图象；
（3）①由函数图象可得对称中心的坐标；
②依据函数图象与直线y＝2无限接近，即可得出该函数值y不可能等于2；
③依据函数图象的增减性，即可得出y随x的增大而增大．
[应用]依据函数图象的增减性，即可得到y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近．
【详解】解：[建模]由题意得：y与x的关系式为，
故答案为：；
（1）当x＝﹣4时，y＝；
当x＝﹣3时，y＝3；
当x＝﹣时，y＝4；
当x＝﹣时，y＝0；
当x＝﹣1时，y＝1；
当x＝0时，y＝；
故答案为：；3；4；0；1；；
（2）如图所示：
（3）①由函数图象可得，对称中心是（﹣2，2）；
②函数图象与直线y＝2无限接近，故该函数值y不可能等于2；
③由函数图象可得，当x＞﹣2时，函数图象从左往右上升，即y随x的增大而增大．
故答案为：①（﹣2，2）；②2；③增大；
[应用]由函数图象可得，当x≥0时，函数图象从左往右上升，与直线y＝2无限接近，即y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近，
故粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越高，但不会突破2元．
故答案为：高，2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，利用图象解决问题，从图上获取有用的信息是解题的关键所在．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起是分析解决函数问题的一种常用方法．
20．(1)
(2)，且其表示的实际意义为面条的长度为时，其横截面积为
(3)
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）代入，求出S的值即可求出a的值，进而解释其实际意义即可．
（3）求出当时的函数值即可解答．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为：，
将代入可得：，
与之间的函数表达式为：；
（2）解：在中，当时，，
∴，且其表示的实际意义为面条的长度为时，其横截面积为；
（3）解：当时，，
∵，
∴y随S增大而减小，
∴当厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，这根面条的总长度至少为．
21．电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系，λ关于f的函数表达式为
【分析】设解析式为，用待定系数法求解即可；本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式．
【详解】解：由表格可知，
频率f与波长λ乘积为定值300，则电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系．
设波长关于频率的函数解析式为
把点代入上式中得：，
解得：，
；
22．(1)
(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于的时间有13.8小时．
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
（1）直接将点的坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的值，相减就是结论．
【详解】（1）把代入中得：
；
（2）如图，
设的解析式为：．
把、代入中得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，．
，
解得：，
．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于的时间有13.8小时．
23．（1）见解析 （2）① a=2b ②
【详解】分析：（1）根据中点坐标公式得到E点坐标，再根据待定系数法得到双曲线解析式，把D点的横坐标代入可求D点的纵坐标，依此即可证明；
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可得到a、b之间的数量关系；
②首先过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，由∠EOA=30°，k=3，即可求得点E的坐标，又由点E是BC的中点，可求得点D的横坐标，继而求得点D的坐标，然后由折叠的性质，可得∠FOA=60°，即可求得点F的坐标，然后由待定系数法求得直线DF的解析式．
详解： ，
，
，得：，
，
，.
.
=，
，
，
，.
(3)如图，过点E作EH⊥OA于点H，过点F作FG⊥OA于点G，
∵∠AOE=30°,k=3，
∴=，
∴OH=3EH，
∵S△EOH=OH⋅EH=k=，
∴EH=1,OH=3，
∵E是BC的中点，
∴OA=2OH=23，
∴点D的横坐标为23，
则y=，
∴点D(23,)，
由折叠的性质可得：∠FOA=2∠AOE=60°，
∴FG:OG=3，
∵S△FOG=OG⋅FG=k═，
∴OG=1,FG=3，
∴点F(1,)，
设直线EF的解析式为：y=ax+b，
则，
解得：，
∴直线EF的解析式为：y=−x+3+.
点睛：反比例函数综合题.
24．（1）AB∥CD，见解析；（2）①见解析，②见解析，点N的坐标是（-5，-2）．
【分析】（1）分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，根据三角形的面积求出CG=DH，推出平行四边形CGDH即可
（2）①证△EMF和△NEF的面积相等，根据（1）即可推出答案；②设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），根据三角形的面积公式求出S△EFM=S△EFN，求出FN即可．
【详解】（1）证明：分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，则∠CGA=∠DHB=90°．
∵CG⊥AB、DH⊥AB，
∴∠CGA=∠DHA=90°，
∴∠CGA+∠DHA=180°，
∴CG∥DH．
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CG=DH，
∴四边形CGHD为平行四边形，
∴AB∥CD．
（2）①证明：连接MF，NE，
设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），
∵点M，N在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴x1y1=k，x2y2=k，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y1，OF=x2，
,
∴S△EFM=S△EFN，
由（1）中的结论可知：MN∥EF．
②解：连接FM、EN．
设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），
,
∴S△EFM=S△EFN，
由（1）中的结论可知：MN∥EF．
设MN和x轴的交点为G（如图③），
则四边形EFGM为平行四边形，EM=2．
S四边形EFNM=S平行四边形EFGM+S△FNG，
,
,
当S四边形EFNM=12时，y2=-FN=-2，代入得：x2=-5，
∴点N的坐标为（-5，-2），
答：点N的坐标是（-5，-2）．

【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质和判定，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能推出MN∥EF是解此题的关键．
5
20
30
40
60
800
■
a
■
b
x
…
﹣4
﹣3
﹣1
0
…
y
…
…
频率
5
10
15
20
波长
60
30
20
15
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
C
A
B
B
D
D
C
题号
11
12








答案
C
C