江苏省通州高级中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段测试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省通州高级中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段测试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设是定义域为的函数,命题“,”,则命题p的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
4．已知函数,则( )
A.0B.1C.2D.12
5．已知实数a,b,c满足,则下列不等式中成立的是( )
A.B.C.D.
6．若不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数,且,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
8．下列运算中正确的是( )
A.当时,B.
C.若,则D.
9．已知全集,集合,,则下列说法不正确的是( )
A.集合A的真子集有7个B.
C.D.,
10．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.的定义域为
B.是偶函数
C.的值域为
D.
11．已知,则下列关系中正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．设,使和同时成立的一个充分条件是______.
13．已知,且,则________.
14．已知函数,则不等式的解集为___________.
四、解答题
15．在①;②;③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中,并解答.
问题：已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若________,求实数a的取值范围.
16．已知命题：“,使等式成立”是真命题.
(1)求实数m的取值集合M;
(2)设不等式的解集为N,若是的必要条件,求a的取值范围.
17．已知函数.
(1)证明：函数奇函数;
(2)用定义证明：函数在上是增函数;
(3)若关于x的不等式对于任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
18．某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10 QUOTE 10 万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出名员工从事第三产业,调整出的员工平均每人每年创造利润为万元,剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业？
(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少？
19．我们知道,函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若函数的图象关于点对称,且当时,.
(1)求的值;
(2)设函数.
(i)证明函数的图象关于点对称;
(ii)若对任意,总存在,使得成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以.
故选：D.
2．答案：C
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p的否定是,.
故选：C.
3．答案：C
解析：,结合图形可知C适合题意.
故选：C.
4．答案：A
解析：由题意知,.
,.
故选：A.
5．答案：B
解析：对于A,因为,所以,所以,故A错误;
对于B,因为,所以,故B正确;
对于C,当,,时,,,,故C错误;
对于D,因为,,所以,故D错误.
故选：B.
6．答案：B
解析：不等式对任意恒成立,则,成立,
而,当且仅当,即时取等号,因此,
所以实数a的取值范围是.
故选：B
7．答案：A
解析：设,则,从而是单调递增的奇函数.
从而条件等价于,即,
这又等价于,即,即,故A正确;
条件等价于,取,,此时B,C,D均不成立,故B,C,D错误.
故选：A.
8．答案：AD
解析：对于A,当时,,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,由于,所以,所以,故C错误;
对于D,,故D正确.
故选：AD.
9．答案：BCD
解析：对于A：因为含有3个元素,则集合A的真子集有个,故A正确;
对于B：因为且,所以,则,故B错误;
对于C：因为,
显然,,所以A不是B的子集,故C错误;
对于D：依题意,
所以,显然,故D错误.
故选：BCD.
10．答案：BCD
解析：有意义,则,解得,故的定义域为,A错;
的定义域关于原点对称,且,故是偶函数,B对;
,
令,易知在,单调递增,
故或,即的值域为,C正确;
,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：,故,,故,
A选项,由于,,,
故,A正确;
B选项,因为,所以,B正确;
C选项,由A选项知,,故由基本不等式得,C错误;
D选项,,,且,
故,D正确.
故选：ABD.
12．答案：(答案不唯一)
解析：根据不等式的性质可知,当时,和同时成立的,
所以“”是“和同时成立”的充分条件,
即只要满足,就均是“和同时成立”的充分条件,
所以充分条件可以是.
故答案为：(答案不唯一).
13．答案：1
解析：,且,
令,
,解得,
,即,
.
故答案为：1.
14．答案：
解析：由题意可知：的定义域为R,
若,则,可得;
同理可得：当时,;
且时,;
综上所述：是偶函数.
因为开口向上,且对称轴为,
可知函数在内单调递增,则函数在内单调递减,
则不等式等价于,
即,整理得,解得或,所以x的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由不等式,解得或,可得或,
当时,可得,则,
所以.
(2)由集合或和,
若选择①：由或,可得,
要使得,则,解得,所以实数a的取值范围为;
若选择②：由,即,可得,解得,所以实数a的取值范围为;
若选择③：由,可得,可得,解得,
所以实数a的取值范围为.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由题意,方程在上有解
令.只需m在值域内
易知值域为,的取值集合
(2)由题意,,显然N不为空集.
①当即时,.
,
②当即时,.
.
综合：或
17．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由函数,可得其定义域为R,关于原点对称,
又由,
所以函数为定义域R上奇函数.
(2)当时,,
任取,,且,
可得
因为,,且,可得,
所以,即,
所以函数在上是增函数.
(3)因为函数为定义域R上的奇函数,且在上是增函数,
所以函数在上也是增函数,
又因为,所以函数在R上是增函数,
又由,可得,
因为不等式对于任意实数x恒成立,
即不等式对于任意实数x恒成立,
可得不等式对于任意实数x恒成立,
即不等式对于任意实数x恒成立,
当时,不等式即为恒成立,符合题意;
当时,则满足,解得,
综上可得,,即实数a的取值范围.
18．答案：(1)500
(2)
解析：(1)由题意得：,
即,又,
所以.即最多调整500名员工从事第三产业.
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为万元,
从事原来产业的员工的年总利润为万元,
则,
所以,
所以,
即恒成立,
因为,当且仅当,即时等号成立.
所以,又,所以,
即a的取值范围为.
19．答案：(1)2;
(2)(i)证明见解析;(ii).
解析：(1)为奇函数,
,得,
则令,得.
(2)(i),
奇函数, 为奇函数,
函数的图象关于点对称.
(ii)在区间上单调递增, 在区间上的值域为,记在区间上的值域为B,
由对,总,使得成立知,
①当时,在上单调递增,由对称性知,在上单调递增,在上单调递增,
只需即可,得, 满足题意;
②当时,在上单调递减,在上单调递增,由对称性知,在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
或,
当时,,,
满足题意;
③当时,在上单调递减,由对称性知,在上单调递减, 在上单调递减,
只需即可,得, 满足题意.
综上所述,a的取值范围为.