2020-2021学年四川省成都市东部新区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2020-2021学年四川省成都市东部新区九年级上学期数学期末试卷及答案，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．D．2
3．一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
4．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．对角线垂直C．邻边垂直D．邻角互补
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠ADE＝∠BB．∠AED＝∠CC．＝D．＝
7．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
8．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2500（1+x）2＝3600B．3600（1+x）2＝2500
C．2500（1+2x）＝3600D．2500（1+x2）＝3600
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠BDC＝35°，则∠ABC的度数是（ ）
A．35°B．70°C．55°D．50°
10．关于二次函数y＝2x2﹣4x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴左侧
B．图象的顶点在x轴下方
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最小值是1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．已知＝，则的值为 ．
12．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝ ．
13．已知反比例函数y＝的图象具有下列特征：在所在的象限内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 ．
14．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为 m2．（结果保留π）
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（1）计算：2cs45°﹣+|1﹣|﹣（π+3.14）0
（2）解方程：x2+6x+8＝0．
16．小明和小亮用如图所示的甲、乙两个转盘（甲转盘被分成五个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）．
（1）请求出甲转盘指针指向偶数区域的概率；
（2）若两次数字之和为3，4或5时，小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说说你的理由．
17．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AE＝3，BE＝4，求FC的长．
18．如图，某高为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC的长度．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（﹣2，﹣4），B（4，a）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O，A两点的直线与反比例函数图象交于点C，连接BC，求△ABC的面积．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，∠DBC＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，DE与AB交于点F．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝EB；
（3）若DF＝3，EF＝7，求BC的长．
B卷
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则a2+b+1的值为 ．
22．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝ ．
23．在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，相似比为1：2．把三角形ABC缩小，得到△AB1C1，则点C的对应点C1的坐标为 ．
24．如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y＝的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝ ．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，M为BC边中点，E为AD边上的一动点，过点A作BE的垂线，垂足为F，连接FM，则FM的最小值为 ．在线段FM上取点G，使GM＝FM，将线段GM绕点M顺时针旋转60°得到NM，连接GN，CN，则CN的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答题写在答题卡上）
26．某旅馆有客房120间，经市场调查发现，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如图所示，为保证旅馆的收益，每天出租的房间数不少于90间．
（1）结合图象，求出客房每天的出租的房间数y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金定为多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？
27．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，tan∠BAC＝．点E在射线BC上，连接DE，DE绕点D顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线AC交于点F，旋转角∠EDF＝∠BAC．射线DE与射线AC交于点P．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△FDP∽△FCD．
（2）如图2，点E在线段BC的延长线上，当DF＝5时，求线段CE的长．
（3）如图3，连接EF，当EF∥AB时，求线段EF的长．
28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，沿直线AC平移抛物线y＝﹣x2+bx+c，使得A、C两点的对应点E、F始终在直线AC上．
①设在平移过程中抛物线与y轴交于点M，求点M纵坐标的最大值；
②试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E，使得以A、E、B为顶点的三角形与△ABF相似．若存在，请直接写出此时点E的坐标；若不存在，请简要说明理由．
参考答案与试题解析:
一．选择题（共10小题）
1．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【解答】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．D．2
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，sinA＝，
则sinA＝＝，即＝，
解得，BC＝2，
故选：A．
3．一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
【分析】先计算出判别式的值，然后利用判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
4．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．对角线垂直C．邻边垂直D．邻角互补
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质判断即可．
【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故选：B．
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1
【分析】首先应用反比例函数的性质和应用，判断出：y1＜0，y2＞0，y3＞0；然后根据当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小，判断出y2，y3的大小关系，即可推得y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＜0，y2＞0，y3＞0，
∵1＜2，在反比例函数y＝的图象上，在每一象限内y随x的增大而减小，
∴y2＞y3，
∴y1，y2，y3的大小关系是：y2＞y3＞y1．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠ADE＝∠BB．∠AED＝∠CC．＝D．＝
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；
B、∠AED＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意；
C、＝，即＝，且夹角∠A＝∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意；
D、＝，缺少条件∠AED和∠ACB相等，则不能确定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意；
故选：D．
7．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【分析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.6左右，即为摸出白球的概率．
【解答】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.6左右，
则P白球＝0.6．
故选：C．
8．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2500（1+x）2＝3600B．3600（1+x）2＝2500
C．2500（1+2x）＝3600D．2500（1+x2）＝3600
【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到3600万元，即可列方程．
【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程为2500（1+x）2＝3600，
故选：A．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠BDC＝35°，则∠ABC的度数是（ ）
A．35°B．70°C．55°D．50°
【分析】求出∠ACB，∠A，利用三角形内角和定理，可得结论．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
10．关于二次函数y＝2x2﹣4x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴左侧
B．图象的顶点在x轴下方
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最小值是1
【分析】首先把一般式写成顶点式y＝2（x﹣1）2﹣1，从而可得对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），再利用二次函数的性质进行分析即可．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x）+1＝2（x2﹣2x+1）﹣1＝2（x﹣1）2﹣1，
A、图象的对称轴为x＝1，在y轴的右侧，故说法错误；
B、顶点点坐标为（1，﹣1），顶点在x轴下方，故说法正确；
C、当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，故说法错误；
D、y的最小值为﹣1，故说法错误；
故选：B．
二．填空题（共4小题）
11．已知＝，则的值为 ．
【分析】根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将＝代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝﹣1，
当＝，原式＝﹣1＝，
故答案为：．
12．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝ 22.5° ．
【分析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB＝45°，又由AC＝EC，根据等边对等角，可得∠E＝∠CAE，继而利用三角形外角的性质，求得∠E的度数，根据平行线的性质，即可求得∠DAE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
13．已知反比例函数y＝的图象具有下列特征：在所在的象限内，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 m＜3 ．
【分析】根据题意，由反比例函数的性质，可得：m﹣3＜0，据此求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象具有下列特征：在所在的象限内，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故答案为：m＜3．
14．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为 1.44π m2．（结果保留π）
【分析】证明△OBQ∽△OAP，根据相似三角形的性质求出AP，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：如图，由题意得，OB＝0.8m，OQ＝OP﹣PQ＝3﹣1＝2（m），BQ∥AP，
∴△OBQ∽△OAP，
∴＝，即＝，
解得，AP＝1.2（m），
则地面上阴影部分的面积＝π×1.22＝1.44π（m2），
故答案为：1.44π．
三．解答题（共5小题）
15．（1）计算：2cs45°﹣+|1﹣|﹣（π+3.14）0
（2）解方程：x2+6x+8＝0．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用因式分解法解方程得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣2+﹣1﹣1
＝﹣2+﹣1﹣1
＝﹣2；
（2）x2+6x+8＝0
（x+2）（x+4）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣4．
16．小明和小亮用如图所示的甲、乙两个转盘（甲转盘被分成五个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）．
（1）请求出甲转盘指针指向偶数区域的概率；
（2）若两次数字之和为3，4或5时，小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说说你的理由．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到使小明、小亮获胜的结果数，再利用概率公式计算出两人获胜的概率，从而得出答案．
【解答】解：（1）甲转盘指针指向偶数区域的概率为；
（2）列表如下：
由表可知，共有15种等可能结果，其中两次数字之和为3，4或5的有8种结果，两次数字之和不是3，4或5的有7种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
∴此游戏不公平．
17．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AE＝3，BE＝4，求FC的长．
【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形，
（2）∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴，
解得：BC＝，
∴FC＝BC﹣BF＝＝．
18．如图，某高为16.5米的建筑物AB楼顶上有一避雷针BC，在此建筑物前方E处安置了一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC的长度．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【分析】过点D作DF⊥AB，交AB于点F，知DE＝AF＝1.5米，BF＝AB﹣AF＝15（米），在Rt△BFD中，由tan37°＝求得DF≈20米，再在Rt△DFC中，由∠CDF＝45°知CF＝DF≈20米，根据BC＝CF﹣BF求解可得答案．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，交AB于点F，
则DE＝AF＝1.5米，
∴BF＝AB﹣AF＝16.5﹣1.5＝15（米），
在Rt△BFD中，∠CDF＝37°，
∴tan37°＝，即0.75≈，
∴DF≈20米，
在Rt△DFC中，∵∠CDF＝45°，
∴CF＝DF≈20米，
∴BC＝CF﹣BF≈20﹣15＝5（米），
答：避雷针BC的长度约为5米．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象都经过A（﹣2，﹣4），B（4，a）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O，A两点的直线与反比例函数图象交于点C，连接BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A，B两点的坐标代入y＝中可计算m和a的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）如图，过点C作CD∥y轴于D，根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD即可求得．
【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣4），B（4，a）两点代入y＝中，得m＝﹣2×（﹣4）＝4a，
解得，m＝8，a＝2，
∴反比例函数的表达式为；
将A（﹣2，﹣4）和B（4，2）代入y＝kx+b中得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝x﹣2；
（2）如图，过点C作CD∥y轴于D，
由题意可知，点A与点EC于原点对称，
∴C（2，4），
当x＝2时，y＝0，此时点D在x轴上，
∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，∠DBC＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，DE与AB交于点F．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝EB；
（3）若DF＝3，EF＝7，求BC的长．
【分析】（1）连接OB，在⊙O中，由等腰三角形的性质∠ODB＝∠OBD，由圆周角的性质得到∠DBC＝∠BED，根据圆的切线的判定定理即可得结论；
（2）由圆周角定理∠ABD＝∠AED，根据平行线的判定定理得到AE∥BC，得到∠ABC＝∠BAE，进而得到∠BEA＝∠BAE，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
（3）延长BO交AE于H，由矩形的判定证得四边形ACBH是矩形，由垂径定理得到BC＝AH＝AE，由已知可得直径DE＝10，可得DO＝EO＝5，进而求出OF＝2，根据相似三角形的判定的性质可求得AD＝，根据勾股定理求得AE，即可求得结果．
【解答】（1）证明：在⊙O中，OB＝OD，∠BAC＝∠BED，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠DBC＝∠BED，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE＝90°，
∴∠ODB+∠BED＝90°，
∴∠OBD+∠DBC＝90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）证明：在⊙O中，∠ABD＝∠AED，
由（1）得：∠DBC＝∠BED，
∴∠ABD+∠DBC＝∠AED+∠BED，
∴∠ABC＝∠BEA，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ACB＝180°，
∴AE∥BC，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB；
（3）解：延长BO交AE于H，
由∠HAC＝∠ACB＝∠OBC＝90°，得四边形ACBH是矩形，
∴OH⊥AE，
∴BC＝AH＝AE，
∵DF＝3，EF＝7，
∴直径DE＝10，
即半径DO＝EO＝5，
∴OF＝2，
∵OB∥AC，
∴＝，
∴AD＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝，
∴BC＝AH＝AE＝．
B卷
一．填空题（共5小题）
21．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则a2+b+1的值为 4 ．
【分析】先证明a2+b＝b2+a，再根据根与系数的关系计算a2+b即可得出答案．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，
∴a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，
两式相减可得：a2﹣a﹣b2+b＝0，即a2+b＝b2+a，
由根与系数的关系可得：a+b＝﹣1，ab＝﹣3，
a2+b+b2+a＝（a+b）2﹣2ab+（a+b）＝1+6﹣1＝6，
∴a2+b＝b2+a＝3，
故a2+b+1＝4．
故答案是：4．
22．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝ ．
【分析】过D作DE⊥AC于点E，则DE是△ABC的中位线，即可求得DE的长，在直角△DCE中．利用勾股定理即可求得EC的长，根据正切的定义即可求解．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AC于点E．
则DE∥BC．
∵CD是AB边上的中线，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝BC＝×8＝4．
在直角△DEC中，EC＝＝＝3，
∴tan∠ACD＝＝，
故答案是：．
23．在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，相似比为1：2．把三角形ABC缩小，得到△AB1C1，则点C的对应点C1的坐标为 （2，3）或（0，﹣1） ．
【分析】以点A为坐标原点建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：以点A为坐标原点建立新的平面直角坐标系，
则在新坐标系中，点C的坐标为（2，4），
以以点A为位似中心，相似比为1：2．把三角形ABC缩小，得到△AB1C1，
则点C的对应点C1在新坐标系中的坐标为（2×，4×）或（﹣2×，﹣4×），即（1，2）或（﹣1，﹣2），
在原坐标系中，点C1的坐标为（2，3）或（0，﹣1），
故答案为：（2，3）或（0，﹣1）．
24．如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y＝的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝ ．
【分析】如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M．利用相似三角形的性质证明＝＝，设A（m，），则B（，），由BC∥x轴，EC∥y轴，推出C（2m，），E（2m，），求出直线OC，BE的解析式，构建方程组确定点F的坐标，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M．
∵AN∥BM，
∴△OBM∽△OAN，
∵S△OBM＝，S△AOM＝2k，
∴＝（）2＝，
∴＝＝，
设A（m，），则B（，），
∵BC∥x轴，EC∥y轴，
∴C（2m，），E（2m，），
∴直线OC的解析式为y＝x，直线BE的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴F（，），
∴＝＝，
故答案为：．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，M为BC边中点，E为AD边上的一动点，过点A作BE的垂线，垂足为F，连接FM，则FM的最小值为 2 ．在线段FM上取点G，使GM＝FM，将线段GM绕点M顺时针旋转60°得到NM，连接GN，CN，则CN的最小值为 ﹣ ．
【分析】如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR＝MO，将MR绕点M顺时针旋转60°得到MT，连接RT，TN，CT，RG．求出OM，OF，根据FM≥OM﹣OF，求出FN的最小值即可，求出TN，TC，根据CN≥TC﹣TN，可得结论．
【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OF，OM，在MO上截取MR，使得MR＝MO，将MR绕点M顺时针旋转60°得到MT，连接RT，TN，CT，RG．
∵MR＝MO，MG＝FM，
∴＝＝，
∴RG∥OF，
∴＝＝，
∴RG＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBM＝90°，
∵OB＝2，BM＝2，
∴OM＝＝＝4，
∵FM≥OM﹣OF，
∴FM≤4﹣2＝2，
∴FM的最小值为2，
∵tan∠BMO＝＝，
∴∠BMO＝30°，
∵∠RMT＝60°，
∴∠BMT＝∠TMC＝90°，
∵MT＝MR＝OM＝3，
∴CT＝＝＝，
∵∠RMT＝∠GMN＝60°，
∴∠RMG＝∠TMN，
在△RNG和△TMN中，
，
∴△RMG≌△TMN（SAS），
∴RG＝TN＝，
∴CN≥CT﹣TN＝﹣，
∴CN的最小值为﹣．
二．解答题（共3小题）
26．某旅馆有客房120间，经市场调查发现，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如图所示，为保证旅馆的收益，每天出租的房间数不少于90间．
（1）结合图象，求出客房每天的出租的房间数y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金定为多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？
【分析】（1）首先假设出一次函数解析式，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据客房日租金的总收入为W＝每间客房的日租金×每天客房出租数，再利用配方法求出二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）每天的出租的房间数y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把（160，120），（170，114）代入得，
解得：，
∴每间房日租金x（元）与客房每天的出租数量y（间）的函数关系式为y＝﹣x+216，
由题意得：，
∴160≤x≤210，
∴自变量x的取值范围是160≤x≤210；
（2）由题意得，W＝xy＝（﹣x+216）x＝﹣（x﹣180）2+19440，
∵﹣＜0，160≤x≤210，
∴当x＝180时，W最大＝19440，
答：旅馆将每间客房的日租金定为180元时，客房的日租金总收入最高，最高总收入为19440元．
27．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，tan∠BAC＝．点E在射线BC上，连接DE，DE绕点D顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线AC交于点F，旋转角∠EDF＝∠BAC．射线DE与射线AC交于点P．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△FDP∽△FCD．
（2）如图2，点E在线段BC的延长线上，当DF＝5时，求线段CE的长．
（3）如图3，连接EF，当EF∥AB时，求线段EF的长．
【分析】（1）△FDP和△FCD有一组公共角，再证明∠EDF＝∠DCF，可得结论；
（2）连接BD，先根据勾股定理计算OF的长，计算FC，FP，CP，AP的长，根据，代入可得CE的长；
（3）如图3，先证明△FPD∽△EPC和△FPE∽△DPC得∠PDC＝∠EFC，再证明△DCP∽△ACD，列比例式可得CP的长，根据平行线分线段定理同理列比例式可得EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCF，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠DCF，
∵∠DFP＝∠CFD，
∴△FDP∽△FCD；
（2）解：如图2，连接DB交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DOC＝90°，
∵CD＝AD＝AB＝2，tan∠BAC＝，
∴OB＝DO＝4，AO＝CO＝6，
在Rt△DOF中，DF＝5，
∴OF＝＝＝3，FC＝6﹣3＝3，
由（1）得：△FDP∽△FCD，
∴，
∴FD2＝FC•FP，即52＝3FP，
∴FP＝，
∴CP＝﹣3＝，AP＝AC+CP＝12+＝，
∵，即＝，
解得：CE＝；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC，
∴∠EFC＝∠BCA，
∴EF＝EC，
由（1）得：∠FDE＝∠BAC＝∠BCA，
∵∠FPD＝∠EPC，
∴△FPD∽△EPC，
∴，
∵∠FPE＝∠DPC，
∴△FPE∽△DPC
∴∠PDC＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠BAC＝∠DAC，
∴∠PDC＝∠DAC，
∵∠DCP＝∠ACD，
∴△DCP∽△ACD，
∴，
∴CD2＝CP•CA，
由（2）知：CD＝2，AC＝12，
∴CP＝，AP＝12﹣CP＝12﹣＝，
∵AD∥BC，
∴，
∴＝，
∴CE＝，
∴EF＝CE＝．
28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，沿直线AC平移抛物线y＝﹣x2+bx+c，使得A、C两点的对应点E、F始终在直线AC上．
①设在平移过程中抛物线与y轴交于点M，求点M纵坐标的最大值；
②试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E，使得以A、E、B为顶点的三角形与△ABF相似．若存在，请直接写出此时点E的坐标；若不存在，请简要说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）①抛物线y＝﹣x2﹣x+4沿直线AC平移，实际上就是向右、向上（或向左、向下）同时移动m个单位（图2中AH＝EH＝|m|），设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1﹣m）2++m，令x＝0可得点M的纵坐标的最大值；
②分三种情况：i）如图3，E，F两点都在x轴上方时，ii）如图4，E，F两点分别在x轴两侧时，iii）如图5，E，F两点都在x轴下方时，根据△ABE∽△AFB，列比例式列方程解出即可．
【解答】解：（1）如图1，将点A（﹣4，0）和点B（2，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，
可得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+4；
（2）①如图2，过E作EH⊥x轴于H，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝45°，
∴抛物线y＝﹣x2﹣x+4沿直线AC平移，实际上就是向右、向上（或向左、向下）同时移动m个单位（图2中AH＝EH＝|m|），
∵y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+，
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1﹣m）2++m，
令x＝0，得点M的纵坐标yM＝﹣（1﹣m）2++m＝﹣+6，
∴点M的纵坐标的最大值是6；
②存在，
由题意得：EF＝AC＝4，AB＝6，
过点E作EQ⊥x轴于Q，设AE＝n，
i）如图3，E，F两点都在x轴上方时，
∵∠BAE＝∠FAB，
∴当∠ABE＝∠AFB时，△ABE∽△AFB，
∴，
∴AB2＝AE•AF，
∴36＝n（n+4），
解得：n＝﹣2（n＝﹣2﹣2不符合题意，舍去），
∴AQ＝EQ＝﹣2+，
∴此时点E的坐标为（﹣6+，﹣2+）；
ii）如图4，E，F两点分别在x轴两侧时，
△ABE始终是钝角三角形，且∠BAE＞∠BFA，
此时△ABE与△AFB不相似；
iii）如图5，E，F两点都在x轴下方时，
∵∠BAE＝∠FAB，
∴当∠ABE＝∠AFB时，△ABE∽△AFB，
∴，
∴AB2＝AE•AF，
∴36＝n（n﹣4），
解得：n＝2（n＝2﹣2不符合题意，舍去），
∴AQ＝EQ＝2+，
∴此时点E的坐标为（﹣6﹣，﹣2﹣）；
综上，当点E的坐标为（﹣6+，﹣2+）或（﹣6﹣，﹣2﹣）时，A、E、B为顶点的三角形与△ABF相似．摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的概率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的概率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8