2021-2022学年四川省成都市高新区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2021-2022学年四川省成都市高新区九年级上学期数学期末试卷及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 正方形的对称轴条数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】分析：根据正方形的对称性解答．
【详解】解：正方形有4条对称轴，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形，能够根据具体图形分析出其对称轴的条数是解决本题的关键．
2. 如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，该几何体的主视图是一个外面是一个大正方形，里面右上角是一个小正方形的形式．
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的主视图．解题的关键在于明确从正面看到的图形是主视图．
3. 若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（ ）．
A. （﹣2，3）B. （﹣3，2）C. （﹣3，﹣2）D. （4，1）
【答案】C
【解析】
【分析】将（3，2）代入即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
【详解】解：设反比例函数为，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
即，
∴，
∵，，
，，
∴选项C的点是在此函数图像上，
故选：C．
【点睛】此题考察了反比例函数的解析式的知识，解决本题的关键是求出反比例函数的解析式．
4. 同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为（ ）
A 0.8米B. 6.4米C. 12.8米D. 25.6米
【答案】C
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体、影子、经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：设树的高度为h米
由题意可得：
解得：h＝12.8
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于对相似三角形知识的熟练掌握．
5. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：.
故选C.
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
6. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月平均增长率．设该公司11，12两个月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 2500（1+x）2＝9100
B 2500（1+x）（1+2x）＝9100
C. 2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝9100
D. 2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【答案】D
【解析】
【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到3600万元，即可列方程．
【详解】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，解题的关键是找等量关系．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1＋x）2=b．
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A. （﹣3，）B. （﹣2，3）C. （﹣，3）D. （﹣3，2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），即（﹣3，），
故选：A．
【点睛】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上），熟记性质是解题的关键．
8. 根据表格对应值：
判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（ ）
A. 1.1＜x＜1.2B. 1.2＜x＜1.3C. 1.3＜x＜1.4D. 无法判定
【答案】B
【解析】
【分析】利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．
【详解】解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，
当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，
∵0.84＜2＜2.29，
∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，
故选：B
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．
9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A. ∠ABC＝∠BCDB. ∠ABC＝∠ADCC. AO＝BOD. AO＝DO
【答案】B
【解析】
【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质对各个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，能熟练掌握和运用矩形的判定定理是解决本题的关键．
10. 如图，P，Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两个点，点Q的横坐标大于点P的横坐标，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B，A，过点Q分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为D，C．PB与CQ交于点E，设四边形ACEP的面积为S1，四边形BDQE的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A. S1＞S2B. S1＝S2C. S1＜S2D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】由k的几何意义可知，S四边形AOBP＝S四边形ODQC，则S四边形AOBP﹣S四边形OBEC＝S四边形ODQC﹣S四边形OBEC，即可得到S1＝S2．
【详解】解：∵P，Q是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两个点，
∴OA•OB＝OC•OD＝k，
∴S四边形AOBP＝S四边形ODQC，
∴S四边形AOBP﹣S四边形OBEC＝S四边形ODQC﹣S四边形OBEC，
∴S1＝S2．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设x=3k，y=5k，代入即可求得的值．
【详解】解：由题意，设x=3k，y=5k，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
12. 已知△ABC∽△DEF，，若△ABC的面积为2，则△DEF的面积为 _____．
【答案】8
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
∵△ABC的面积为2，
∴△DEF的面积为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13. 已知点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，那么y1_____y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】由反比例函数y＝可知，在同一个象限内，y随x的增大而减小即可得答案．
【详解】解：∵反比例函数y＝中k＝2＞0，
∴在同一个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且0＜x1＜x2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14. 如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _____cm2．
【答案】4
【解析】
【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，
∴BO＝1cm，
∵AB＝cm，
∴AO＝
＝＝2（cm），
∴AC＝2AO＝4cm．
∴S菱形ABCD＝（cm2）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15. （1）解方程x2﹣x﹣6＝0；
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）x1＝3，x2＝-2；（2）m≤1
【解析】
【分析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)根据判别式△=b²-4ac≥0得到关于m的不等式，解不等式即可得到结论．
【详解】解：(1)方程x2﹣x﹣6＝0，
分解因式得：(x﹣3)(x+2)＝0，
所以x﹣3＝0或x+2＝0，
解得：x1＝3，x2＝-2；
(2)∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，
∴Δ＝=b²-4ac=(-2)2﹣4m＝4﹣4m ≥ 0，
解得：m≤1．
故m的取值范围为m≤1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及判别式，属于基础题；当判别式△=b²-4ac＞0时，方程有两个不相等实数根；当判别式△=b²-4ac=0时，方程有两个相等实数根；当判别式△=b²-4ac＜0时，方程没有实数根．
16. 垂直于地面的电线杆顶端是路灯灯泡，如图所示，木杆AB，DE垂直于地面．它们在路灯下的影子分别是BC，EF．
（1）请画出电线杆PQ（路灯灯泡用点P表示，电线杆底部用点Q表示）；
（2）若木杆AB的高度为3米，影长BC为4米，木杆底部B与电线杆底部Q的距离为2米，求电线杆PQ的高度．
【答案】（1）见解析 （2）米
【解析】
【小问1详解】
（1）根据中心投影的定义，画出图形即可；
（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．
解：如图，线段PQ即为所求；
【小问2详解】
解：∵CB＝4米，BQ＝2米，
∴CQ＝6（米），
∵AB∥PQ，
∴△ABC∽△PQC，
∴，
∴，
∴PQ＝．
故电线杆PQ的高度为米．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，相似三角形的应用，中心对称等知识，解题的关键是理解中心投影的定义，属于中考常考题型．
17. 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏；下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．
（1）利用树状图或列表的方法表示出游戏所有可能出现的结果2；
（2）游戏者获胜的概率是多少？
【答案】（1）见解析
（2）
【解析】
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出游戏者获胜的情况数，即可求出所求的概率
【详解】解：列表如下：
所有等可能的情况有6种，游戏者获胜的有1种情况，
则P（获胜）=．
18. 如图，要围一个矩形菜园，现利用一面长度为12米的墙，另外三边用24米长的篱笆．能否围出一个面积为70平方米的矩形菜园？若能，求出该菜园与墙平行一边的长度；若不能，说明理由．
【答案】用24米长的篱笆能围出一个面积为70平方米的矩形菜园，此时该菜园与墙平行一边的长度为10米.
【解析】
【分析】设该菜园与墙平行一边的长度为x米，则与墙垂直的一边的长度为（24﹣x）米，根据“面积为70平方米”列出方程并解答．
【详解】解：设该菜园与墙平行一边的长度为x米，则与墙垂直的一边的长度为（24﹣x）米，
由题意，得（24﹣x）•x＝70，
即 x2﹣24x+140＝0，
解得x1＝14，x2＝10．
∵墙长为14米，14>12且10＜12，
∴用24米长的篱笆能围出一个面积为70平方米的矩形菜园，此时该菜园与墙平行一边的长度为10米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出矩形的长与宽是解题关键．
19. 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（4，1），B（n，﹣4）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝kx+b向上平移，平移后的直线与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点P，连接PA，PC，若△PAC的面积为12，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝，y＝x-3
（2）
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)设平移后的一次函数的解析式为y＝x-3+m，交y轴于Q，连接AQ，根据同底等高的三角形面积相等得到，解方程求得m的值，即可求得平移后的一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得P的坐标．
【小问1详解】
解：(1)∵反比例函数的图象经过A(4，1)，
∴m＝4×1＝4，
∵B(n,-4)在上，
∴-4＝，
∴n＝-1，
∴B(-1，-4)，
∵一次函数y＝kx+b的图象经过A，B，
∴，
解得，
∴一次函数与反比例函数的解析式分别为和．
【小问2详解】
(2)设平移后的一次函数的解析式为y=x-3+m，交y轴于Q，连接AQ，如下图所示：
令y=x-3+m中x=0，y=m-3，
∴Q(0,m-3)，
∵PQ∥AB，
∴S△ACQ＝S△ACP＝12，
∴，
∴，
∴平移后的一次函数的解析式为y＝x+6，
将平移后的一次函数与反比例函数联立，得到，
解得或，
又P在第一象限，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、联立方程组求函数交点坐标，属于中考常考题型，计算过程中细心即可．
20. 如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一动点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处，AE与DF交于点O．
（1）射线EF经过点B，射线DF与BC交于点G．
ⅰ）求证：△ADE∽△DCG；
ⅱ）若AB＝10，AD＝6，求CG的长；
（2）如图2，射线EF与AB交于点H，射线DF与BC交于点G，连接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的长．
【答案】（1）ⅰ）见解析；ⅱ）
（2）9
【解析】
【分析】（1）i）根据翻折的性质和相似三角形的判定解答即可；ii）根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解得即可．
【小问1详解】
解：i）由翻折可得，△ADE≌△AFE，DF⊥AE于O，
∴∠ADO+∠EAD＝90º，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠CDG+∠ADO＝90º，
∴∠CDG＝∠EAD，
∵∠ADE＝∠DCG＝90º，
∴△ADE∽△DCG；
ii）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90º，
∵△ADE≌△AFE，
∴∠AFE=∠ADE＝90º，AF＝AD＝6，
∴∠AFB=90º，
∴在Rt△ABF中，BF＝，
设DE＝EF＝x，CE＝10﹣x，BC＝AD＝6，
在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，
即（8+x）2＝62+（10﹣x）2，
解得：x＝2，
由i）可知△ADE∽△DCG，
∴，
∴，
解得：CG＝；
【小问2详解】
解：由i）可知，△ADE∽△DCG，
∴=2，∠OAD＝∠ODE，
∵△ADE≌△AFE，
∴AD=AF，DE=FE，
∴DF⊥AE，
∴∠DOE＝∠FOE =90°，
∵∠OAD＝∠ODE，∠ADE＝∠DOE＝90°，
∴△ADE∽△DOE，
∴，
∵HG∥AE，
∴∠OEF＝∠GHF，
∵∠OFE＝∠GFH，
∴△HGF∽△EOF，
∴，∠HGF＝∠EOF=90°，
∴∠BGH+∠CGD＝90°，
∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠BHG+∠BGH＝90°，
∴∠CGD＝∠BHG，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BHG∽△CGD，
∴，
∴△BHG∽△CGD∽△DEA∽△OED∽△GHF，
设CE＝x，DC＝5+x，CG＝，BG＝10﹣CG＝10﹣，BH＝BG＝，HG＝BH＝，
∵HG：GF＝1：2，
∴GF＝，
在△ADE中，AD＝10，DE＝5，AE＝5，DO＝，
∵，
∵，
∴OE＝，DO＝OF＝2，
在△DCG中，DC＝5+x，CG＝，DG＝DF+FG＝4，
∵，
∴DG＝CG，
即，
解得：x＝9，
即CE＝9．
【点睛】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21. 一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 _____个．
【答案】12
【解析】
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个），
故答案：12．
【点睛】本题考查了用概率求数量，解题的关键是理解题意，掌握用概率求数量．
22. 已知m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则n2+n+2m的值为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到n2＝n+3，则n2+n+2m可化为2（m+n）+3，再根据根与系数的关系得到m+n＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵n是方程x2﹣x﹣3＝0的根，
∴n2﹣n﹣3＝0，
∴n2＝n+3，
∴n2+n+2m＝n+3+n+2m＝2（m+n）+3，
∵m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，
∴m+n＝1，
∴n2+n+2m＝2×1+3＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
23. 如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，连接ED，延长EA至F，使EF＝ED．以线段AF为边作正方形AFGH，点H落在AD边上，连接FH并延长，交ED于点M，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点M作MN⊥AD于点N，根据勾股定理可得DE＝EF＝，根据四边形AFGH是正方形，可得AF＝AH＝EF﹣AE＝，根据，可得△DMN∽△DEA，所以，即，即可设MN＝NH＝x，则DN＝2x，DM＝，再根据DN+NH＝AD﹣AH，列式，求出x的值，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点M作MN⊥AD于点N，
∵正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，
∴AD＝AB＝2，AE＝1，∠EAD＝90°，
∴，
∵四边形AFGH是正方形，
∴AF＝AH＝EF﹣AE＝，
∵∠AHF＝∠NHM＝45°，
∴MN＝NH，
∵，
∴△DMN∽△DEA，
∴，
∴，
设MN＝NH＝x，
则DN＝2x，DM＝，
∴DN+NH＝AD﹣AH，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考察了正方形的性质和三角形相似的知识，解决本题的关键是找到相似三角形得出线段之间的关系．
24. 如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，点D在直线BC上运动，连接AD，在AD的右侧作△ADE∽△ABC，点F为AC中点，连接EF，则EF的最小值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．利用相似三角形的判定和性质证明∠ACE＝60°，推出点E的运动轨迹是射线CE，当EF⊥CE时，EF的值最小，此时EF＝CF•sin60°．
【详解】解：作射线CE，设AC交DE于点J，过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AH＝AB•sin60°＝ ，
∵∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝，AC＝AH＝，
∴AF＝CF＝，
∵△ADE∽△ABC，
∴∠JCD＝∠AEJ，∠ABC＝∠ADE＝60°，
∵∠AJE＝∠DJC，
∴△AJE∽△DJC，
∴，
∴，
∵∠AJD＝∠EJC，
∴△AJD∽△EJC，
∴∠ADJ＝∠ACE＝60°，
∴点E的运动轨迹是射线CE，
∴当EF⊥CE时，EF的值最小，此时EF＝CF•sin60°＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.
25. 如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，OB＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，与AB边交于点C，且AC＝3BC，则a的值为 _____，射线OA，射线OC分别交反比例函数y＝（b＞a＞0）的图象于点D，E，连接DE，DC，若△DEC的面积为45，则b的值为 _____．
【答案】 ①. 4 ②. 36
【解析】
【分析】分别过点A，C，D，E作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，J，且线段DH交OE于点M，由，得到CG：AF＝BC：AB＝BG：BF，设OF＝m，求出CG，得到C的坐标，进而得到OB＝m+3m+m＝5，解出m，证明△OAF∽△ABF，得到AF：BF＝OF：AF，列得：4＝：，解出a；由平行线分线段成比例可得，OG：CG＝OJ：EJ＝4：＝8：1，设OJ＝n，由OF：AF＝OH：DH，得到：2＝OH：DH＝1：2，设OH＝t，得 2t2＝b＝n2，解得t，求得直线OC的解析式，得到DM＝n﹣n＝n，根据面积为45求出 n值，得到b．
【详解】解：如图，分别过点A，C，D，E作x轴的垂线，垂足分别为F，G，H，J，且线段DH交OE于点M；
∴，
∴CG：AF＝BC：AB＝BG：BF，
设OF＝m，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，C，
∴A（m，），
∴AF＝，
∵AC＝3BC，
∴BC：AB＝1：4，
∴CG：＝1：4＝BG：BF，
∴CG＝，
∴C（4m，），
∴OG＝4m，
∴FG＝3m，
∴BG＝m，BF＝4m，
∴OB＝m+3m+m＝5，
解得m＝，
∴OF＝BG＝，FG＝3，
∴AF＝，CG＝，
∵Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，
∴∠OAC＝∠AFB＝∠AFO＝90°，
∴∠OAF+∠AOF＝∠OAF+∠FAB＝90°，
∴∠AOF＝∠FAB，
∴△OAF∽△ABF，
∴AF：BF＝OF：AF，
∴：4＝：，
解得a＝4；
∴AF＝2，CG＝，
∵，
∴OG：CG＝OJ：EJ＝4：＝8：1，
设OJ＝n，
∴EJ＝n，
∴E（n，n），
∴b＝n2，
∵，
∴OF：AF＝OH：DH，即：2＝OH：DH＝1：2，
设OH＝t，则DH＝2t，
∴D（t，2t），
∴2t2＝b＝n2，
解得t＝n（负值舍去），
∴D（n， n），
设直线OC的解析式为：y＝k′x，
∴4k′＝，
∴k′＝，
∴直线OC的解析式为：y＝x，
∴M（n，n），
∴DM＝n﹣n＝n，
∵△DEC的面积为45，
∴DM（xE﹣xC）＝45，即×n（n﹣4）＝45，
解得n＝12（负值舍去），
∴b＝×（12）2＝36．
故答案为：4；36．
【点睛】此题考查了反比例函数综合，求直线解析式，求反比例函数解析式及反比例函数的性质，相似三角形的判定及性质，熟记各知识点并应用是解题的关键．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答题写在答题卡上）
26. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元．
（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
【答案】（1）（600﹣10x）；（2）这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．
【解析】
【分析】（1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨x元后的月销售量；
（2）根据总利润=单台利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯．
故答案为（600﹣10x）；
（2）依题意，得：（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，
整理，得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40（不合题意，舍去），
∴40+x＝50，600﹣10x＝500．
答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．
（1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．
①求证：AE•AB＝AD•AC；
②求BF的长；
（2）如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．
【答案】（1）①证明见解析；②4
（2）
【解析】
【分析】(1)①可证得△ADE∽△ABC，进而命题得证；②作CG⊥AB于G，作FH⊥AB于H，可得BE＝6，解Rt△BCG求得BG，CG，进而求得EG，从而得出tan∠CEG，于是设EH＝a，FH＝2a，BH＝4a，由BE＝6可求得a，进而求得BF；
(2)当AF平分∠DAE时，AF⊥BD，可证得∠EAH＝∠DEF＝∠DAF，设AF与DE的交点为O，作OG⊥AD于G，作AH⊥CF于H，设OG＝OE，在Rt△DOG求得a，然后解斜三角形ACE，进而求得结果．
【小问1详解】
①证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴AE•AB＝AD•AC；
②解：如图1，
作CG⊥AB于G，作FH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∴AE＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝6，
∵BG＝BC•cs∠ABC＝6•＝6×＝，
CG＝BC•sin∠ABC＝6×＝，
∴EG＝BE﹣BG＝6﹣＝，
∴tan∠FEH＝tan∠CEG＝，
∴tan∠FEH＝，
设EH＝a，FH＝2a，
∵tan∠FBE＝，
∴BH＝4a，
∵BH﹣EH＝BE，
∴4a﹣a＝6，
∴a＝2，
∴FH＝4，BH＝8，
∴BF＝＝＝4；
故答案为：．
【小问2详解】
如图2，
当AF平分∠DAE时，AF⊥BD，
∴∠AFD＝∠AED＝90°，
∴点A、E、F、D共圆，
∴∠DEF＝∠DAF，
设AF与DE的交点为O，作OG⊥AD于G，作AH⊥CF于H，
∵AF平分∠DAE，
∴OG＝OE，AG＝AF＝4，
∴DG＝AD﹣AG＝1，
设OG＝OE＝x，
∴OD＝3﹣x，
在Rt△DOG中，
（3﹣x）2﹣x2＝12，
∴x＝，
∴OG＝OE＝，
∴tan∠DAF＝，sin∠DAF＝，cs∠DAF＝，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEH+∠DEF＝90°，
∵∠AEH+∠EAH＝90°，
∴∠EAH＝∠DEF＝∠DAF，
∴EH＝AE•sin∠EAH＝4×＝，
AH＝AE•cs∠EAH＝4×＝，
∴CH＝＝＝，
∴CE＝EH+CH＝，
故答案为：．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，直角三角形中勾股定理和锐角三角函数的综合熟练运用．
28. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO≌△DAC，直线BD交x轴于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；
（3）如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．
【答案】（1）y＝2x﹣4
（2）1或
（3）G（，3﹣3）或G（，﹣3﹣3）
【解析】
【分析】（ 1）由△ABO≌△DAC，得到OC＝OA+AC＝OA+OB，再由已知求出AO＝2，OB＝1，即可得到A（2，0），D（3，2），用待定系数法求直线AD的解析式即可；
（2 ）由题意可知只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方，分两种情况求解即可；
（ 3）设G（n，2n﹣4），P（m，m+1），Q（3，p），AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ，列出方程组，解得n＝或n＝．
【小问1详解】
∵△ABO≌△DAC，
∴AC＝OB，AO＝CD，
∵C（3，0），
∴OC＝3，
∵OC＝OA+AC＝OA+OB，
又∵AO＝2BO，
∴AO＝2，OB＝1，
∴B（0，1），A（2，0），
∴CD＝2，
∴D（3，2），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y＝2x﹣4；
【小问2详解】
设BD的解析式为y＝ax+c，
把B（0，1），D（3，2）代入y＝ax+c，得
，
∴，
∴BD的解析式为y＝x+1，
令y=0，则x+1=0
∴x=-3
∴E（﹣3，0），
∴AE＝2+3=5，AD＝，ED＝2，AC＝1，
∵F点在直线AD上，
∴设F（t，2t﹣4），
∴AF＝|t﹣2|，
∵∠DAC＝∠EDA+∠DEA，
∴△ACF与△ADE相似时，只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方，
∴t＜2，
①当△ACF∽△ADE时，＝，
∴＝，
∴t＝3（舍）或t＝1；
②当△ACF∽△AED时，＝，
∴，
∴t＝或t＝（舍）；
综上所述：t的值为1或；
【小问3详解】
设G（n，2n﹣4），P（m，m+1），Q（3，p），
∵四边形AQPG菱形，
∴AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ，
∴，
解得n＝或n＝，
∴G（，3﹣3）或G（，﹣3﹣3）．
【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论，准确地计算是解题的关键．x
1.1
1.2
1.3
14
ax2＋bx＋c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
黄
蓝
绿
红
（黄，红）
（蓝，红）
（绿，蓝）
白
（黄，白）
（蓝，白）
（绿，白）