（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第01课 解三角形（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
知识点二：相关应用
（1）正弦定理的应用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①边化角，角化边
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大边对大角 大角对大边
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）内角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理有：，．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③斜三角形中，
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤在中，内角成等差数列．
知识点三：实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．
【解题方法总结】
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
题型一：正弦定理的应用
例1．在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（ ）
A．B．C．8D．4
变式1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
变式3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（ ）
A．4B．6C．D．
【解题方法总结】
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；．
（3）两边一对角，求第三边．
题型二：余弦定理的应用
例3．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
例4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A．0B．1C．2D．
变式4．在中，角的对边分别为，且，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【解题方法总结】
（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．
（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
题型三：判断三角形的形状
例5．在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
例6．在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
变式5．已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形
变式6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．锐角三角形
变式7．设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形
【解题方法总结】
（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．
题型四：正、余弦定理与的综合
例7．锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且，则等于（ ）
A．2B．C．D．1
例8．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求证：；
(2)若，求.
变式8．已知的三个角，，的对边分别为，，，且．
(1)若，求；
(2)求的值．
变式9．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ）
A．B．C．D．
变式10．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若，求的值.
【解题方法总结】
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解．
题型五：倍角关系
例9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足.
（1）求证：；
（2）若，求.
例10．在中，角、、的对边分别为、、，若．
(1)求证：；
(2)若，点为边上一点，，，求边长．
题型六：三角形中的面积与周长问题
例11．在中，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例12．在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
变式11．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式12．已知向量（，），（，），.
(1)求函数的最大值及相应x的值；
(2)在△ABC中，角A为锐角且，，BC=2，求的面积.
【解题方法总结】
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
解三角形 随堂检测
1.在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
2.在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
3.，，分别为内角，，的对边．已知，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
4.在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．或D．或
5.已知的内角所对的边分别为满足且，则（ ）
A． B． C． D．
6.在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
7.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
8.在中，，则（ ）
A．B．C．D．
9.已知的内角、、的对边分别为、、，．
(1)求；
(2)若，求．
10.在中，角，，所对的边分别为，，，已知
(1)求角的大小；
(2)若，，求边及的值．
11.已知分别为锐角ABC内角的对边，．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
．
常见变形
（1），，；
（2），，；
；
；
．
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解