（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第02课 平面向量的数量积及其应用（2份，原卷版+教师版）

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知识点一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点二．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
知识点三．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且
【解题方法总结】
（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
例1．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
例2．已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
变式1．已知单位向量，且，若，，则（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
变式2．将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【解题方法总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同：；；公式都可通用
异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角）
，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
，通常是求最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例3．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
例4．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
变式4．若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角________.
变式5．已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为___________.
变式6．已知向量，，，则向量与的夹角为______．
【解题方法总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
题型三：平面向量的模长
例5．已知平面向量，，满足，，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
例6．已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.
变式7．已知为单位向量，且满足，则______.
变式8．已知向量满足，，则______．
变式9．已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为______．
【解题方法总结】
求模长，用平方，．
题型四：平面向量的投影、投影向量
例7．已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数_______．
例8．已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是________．
变式10．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为______.
变式11．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.
变式12．已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.
【解题方法总结】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
题型五：平面向量的垂直问题
例9．已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
例10．设非零向量，的夹角为．若，且，则____________．
变式13．已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数_________．
变式14．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______．
变式15．非零向量，，若，则______.
【解题方法总结】

题型六：建立坐标系解决向量问题
例11．已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例12．以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．
变式16．已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
变式17．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解题方法总结】

边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识．
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
平面向量的数量积及其应用 随堂检测
1.已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
2.正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
3.已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
4.在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
5.已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．
6.已知向量，满足，，，则__________．
7.已知平面向量满足,且，则=_________．
8.已知，，若，则______．
9.已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为_________.
10.已知向量，若，则___________.
11.向量，且，则实数_________．
12.向量，若存在整数使得方程在上有两个不同的实数根，则
13.已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为 .
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
（当且仅当时等号成立）