（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第04课 空间向量（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．
（2）零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．
模为1的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
（4）空间向量的加法和减法运算
①，．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
知识点二：空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
，．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．
（4）共线向量定理
对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
（5）直线的方向向量
如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．
（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

（7）共面向量定理
如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式．
②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立．
知识点三：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．
（2）数量积定义
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
，（交换律）；（分配律）．
知识点四：空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；
；
；
；
；
．
（2）设，，则．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知，，则；；
；；
②已知，，则，
或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量在向量上的投影为．
知识点五：法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
几点注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①法向量一定是非零向量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②一个平面的所有法向量都互相平行； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
（2）判定直线、平面间的位置关系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则；
若，即，则．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则；
若，即，则．
（3）平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．
知识点六：空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
（3）二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
知识点七：空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．

【解题方法总结】
用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单．
用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算
例1.下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
【解析】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误；对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；对于C，如果，则，C正确；对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A.
例2.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为与的交点，所以，
故.故选：D
变式1．如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，设，，，则下列向量与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为M在四面体OABC的棱BC的中点，所以，又点N在线段OM上，且，故点为的三等分点，所以，所以.故选与相等的向量的向量是；
故选：A.
变式2．已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设向量在基底下的坐标为，则，
又向量在基底下的坐标为，则，
所以，即，
所以解得所以向量在基底下的坐标为.故选：C.
【解题方法总结】
空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则．
题型二：空间共线向量定理的应用
例3．若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈AB B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
【答案】A
【解析】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以与共线．又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.故选：A.
例4．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，，所以，解得，.
故选：C.
变式3．若点，，在同一条直线上，则（ ）
A．21 B．4 C．4 D．10
【答案】C
【解析】，∵点，，在同一条直线上∴∥则
解得∴故选：C．
变式4．若、、三点共线，则（ ）．
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，由题意得，则，
∴、，∴，故选:A．
【解题方法总结】
空间共线向量定理：．
利用此定理可解决立体几何中的平行问题．
题型三：空间向量的数量积运算
例5．（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（ ）

A．
B．
C．向量与夹角是
D．向量与所成角的余弦值为
【答案】CD
【解析】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是，
.
对于A，
，， A正确；
对于B，
，，即，B正确；
对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则，
，且向量与的夹角是，向量与夹角是，C错误；
对于D，，
，
，，D错误.故选：CD
例6．（多选）在平行六面体中，已知，，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．线段的长度为
C．直线与所成的角为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AC
【解析】设，则，且，
对于A，，，
所以直线与所成的角为，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，连接，交于点，则为的中点，因为，，所以，又因平面，所以平面，又平面，所以平面平面，作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则与平面所成的角为，
在中，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误.
故选：AC.
变式5．（多选）空间直角坐标系中，已知，，，，则（ ）
A．
B．是等腰直角三角形
C．与平行的单位向量的坐标为或
D．在方向上的投影向量的坐标为
【答案】AC
【解析】根据空间向量的线性运算，
，选项A正确；

计算可得，三条边不相等，选项B不正确；
与平行的单位向量为：
选项C正确；
在方向上的投影向量与向量共线，，选项D不正确，故选：AC.
变式6．（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与夹角为锐角，则
【答案】ABD
【解析】对于A：，，即：，解得：.
故A选项正确；
对于B：，，解得：.故B选项正确；
对于C：在上的投影向量为：，即，代入坐标化简可得：，无解，
故C选项错误；
对于D：与夹角为锐角，，解得：，且与不共线，即，解得：，所以与夹角为锐角时，解得：.故D选项正确；
故选：ABD.
【解题方法总结】
； 求模长时，可根据；求空间向量夹角时，可先求其余弦值．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即．为锐角；为钝角．由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角．
题型四：证明三点共线
例7.在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，若，且G、M、N三点共线，则 ．
【答案】
【解析】若G、M、N三点共线，则存在实数，使得，又点M，N分别为OA、BC的中点，则，，则，则，解得，则.故答案为：.
【解题方法总结】
先构造共起点的向量，，然后证明存在非零实数，使得．
例8．已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，和均为正三角形.在三棱锥中：
(1)求点到平面的距离；
(2)若点在棱上，满足，点在棱上，且，求的取值范围.
【解析】（1）如图，取，中点，，连接，，，
∵展开图中四边形为边长为的正方形，为中点，
∴，，又和均为正三角形，∴，，
∵，∴，∵，平面，平面,
∴平面，设点到平面的距离为，
，解得，所以点到平面的距离为.
（2）如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，,
∵，∴，，设，
则,∵，∴，整理得，
∵，∴，∴的范围为.
题型五：求两异面直线所成角
例9．已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】方法1：取的中点N，连接，如图所示，
则，面，所以异面直线AB与EG所成角即为，，
设，（），所以，又因为，所以，
所以，即： .方法2：如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，
所以，（），
又因为当时，；当或时，，所以，
又因为，所以.故答案为：.
例10.如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
【解析】（1）证明：因为底面，，
如图，以点为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、，
，，设平面的法向量为，则，
取，可得，又因为，则，所以，，
又因为平面，所以，平面.
（2）依题意，设，则，所以，，，
由已知，得，整理可得，解得或，
所以，线段的长为或.
【解题方法总结】
设两异面直线a和b的方向向量为和，利用求角余弦公式可求得和的夹角，由于两向量所成角的范围是，而两异面直线所成角的范围是．所以．
题型六：求直线与平面所成角
例11．在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求证：直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点在直线上，求直线与平面所成角的最大值.
【解析】（1）因为和均为等腰直角三角形，且，
所以，所以，
又平面平面，所以平面.
（2）连接，因为四边形为正方形，所以，
因为平面平面平面，平面平面，
所以平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，
设平面的法向量为，则，得，令，则，
设平面的法向量，由，令，得，
因为，所以平面与平面夹角的余弦值是.
（3）设，则，设与平面所成的角为，则
要使最大，则，
所以时等号成立，所以，
所以与平面所成角的最大值为.
【解题方法总结】
设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．
题型七：求平面与平面所成角
例12．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且

(1)证明：平面平面ACE；
(2)求平面PAC与平面ACE所成角的余弦值．
【解析】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，则
又因为ABCD为菱形，则，且，平面PBD，
所以平面PBD，则平面，故平面平面PBD.
（2）由题意可知：，平面ABCD，故以点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，设，
则，
可得，解得，即，可得，
因为，则，解得，所以，
由题意可知：平面PAC的一个法向量为，
设平面ACE的一个法向量，可得，
则，令，则，可得
则，所以平面PAC与平面ACE所成角的余弦值为.
【解题方法总结】
（1）在平面内，，在平面β内，（是交线的方向向量），其方向如图所示，则二面角的平面角的余弦值为．
（2）设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的
外侧，则二面角的余弦值为．
题型八：求点面距、线面距、面面距
例13．如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，面底面ABCD，E为AD的中点.

(1)求证：；
(2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为.
①确定点F的位置；
②求点C到平面PEF的距离.
【解析】（1）取中点，连接，,为等边三角形,,
面底面，面底面，面，
面，，
，，又，面，
面，，
（2）①如图以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系.设，
，，，,,
，，，，
，，设是平面的一个法向量
则有，令解得：
因为直线与平面所成角的正弦值为
，即
解得，所以点的位置是线段上靠近的三等分点，
②，，，，
点到平面的距离.
例14．如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.

(1)当是棱的中点时，求证：平面；
(2)若，，求点到平面距离的范围.
【解析】（1）证明：因为平面，平面，且平面平面，所以.
取的中点，连接、，因为是棱的中点，所以，且，
因为且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接.因为是正三角形，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，
因为，，为的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，因为，则，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，所以，
设，其中，
则，设平面的法向量，
所以，令，得，
设点到平面距离为，.当时，；
当时，，则，当且仅当时等号成立.
综上，点到平面距离的取值范围是.
空间向量 随堂检测
1.已知，则下列向量中与平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以与平行.故选：B.
2.已知，，如果与为共线向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为与为共线向量，所以，故选：D
3.如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.故选：D.
4.如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是中点，所以，是的重心，则，
所以，因为所以，
若，则．故选：D．
5.已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 .
【答案】
【解析】，与同向的单位向量，
在方向上的投影向量为.故答案为：.
6.已知向量，若，则 ．
【答案】
【解析】设向量，
，，设与的夹角为，，
，.故答案为：.
7.已知向量，向量，则与的夹角的大小为 .
【答案】
【解析】因为，，所以，因为，所以.
故答案为：.
8.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面，，.

(1)证明：平面平面；
(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为，求四棱锥的体积.
【解析】（1）证明：过点D作，垂足为点F，
因为平面平面PAB，平面平面，平面，
所以平面PAB，平面PAB，所以，
因为，又平面PAD，，所以平面PAD，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以点D为原点，DA为X轴，DC为Y轴建立空间直角坐标系，
则、、、，设，
则，因为，所以，
所以，，
因为异面直线BE与PA所成角为，所以，
化简得，解得（舍），所以；所以，平面ABCD，
四棱锥，底面是边长为2的正方形，棱锥的高为2，所以四棱锥的体积为.
9.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）如图，连接，交于，连接.
因为侧面为菱形，所以，且为的中点.又，故.
又，且，所以，所以.又，所以，所以.因为平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，两两互相垂直，因此以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
故，，.
设为平面的一个法向量，则有，即，令，则.
设为平面的一个法向量，则有，即，令，则.因为平面平面，所以也是平面的一个法向量.
所以.所以平面与平面夹角的余弦值.
10.如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.

(1)在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积；
(2)若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值.
【解析】（1）过点作交圆于点，（ ，分别为，的中点，所以,又，所以,故为平面与平面的交线）
因为是圆的直径，所以，，
所以，所以四边形为矩形，
因为，，所以，
因为平面，为的中点，所以点到平面的距离为，
所以
（2）以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，所以，，，
，设平面的法向量为，则即，不妨取，得因为与平面所成角的正弦值为，
所以所以，所以或.