（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第10课 直线与圆、圆与圆的位置关系（2份，原卷版+教师版）

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一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二．直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
三．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【解题方法总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
题型一：直线与圆的位置关系的判断
例1．圆：与直线：的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
【答案】A
【解析】圆：的圆心为，半径，直线：即，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切.故选：A
例2．已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．相离C．相切D．相切或相交
【答案】C
【解析】利用圆心距和半径的关系来确定直线与圆的位置关系.
由题意可得，于是，所以直线和圆相切.故选: C.
变式1．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】A
【解析】已知直线过定点，将点代入圆的方程可得，
可知点在圆内，所以直线与圆相交.故选：A.
变式2．直线l：与曲线C：的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【答案】B
【解析】曲线C：是圆心在上，半径的圆，则圆心与直线l的距离，
，曲线C与直线l相切，即只有一个交点，故选：B
【解题方法总结】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系．
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
题型二：弦长与面积问题
例3．已知直线：与圆：交于A，B两点，则 ．
【答案】
【解析】由，故圆心，半径为，所以，圆心到直线的距离为，∴．故答案为：
例4．已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ．
【答案】
【解析】由，得，则圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为所以，解得.故答案为：.
变式3．圆心在直线上，与x轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为 .
【答案】或
【解析】设所求圆的圆心为，半径为，圆与轴相切，，又圆心到直线的距离，，解得：或，所求圆的圆心为或，半径，圆的方程为或.
故答案为：或.
变式4．写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程 ．
【答案】或
【解析】圆的方程可化为，圆心为，半径．当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长，不满足题意，所以过点的直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，即，则圆心到直线的距为，依题意，即，解得或，
故所求直线的方程为或．故答案为：或．
变式5．已知直线与圆交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则面积的最大值是 .
【答案】
【解析】，则圆C的圆心为，半径为，圆心C到直线l（弦AB）的距离为，则，则到弦AB的距离的最大值为，
则面积的最大值是.故答案为：.
【解题方法总结】
弦长问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
题型三：切线问题、切线长问题
例5．写出一条与圆和曲线都相切的直线的方程： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】设切线与圆相切于点，则，切线的方程为，即，将与联立，可得，令，
联立解得或或或所以切线的方程为或或或.故答案为：（答案不唯一）
例6．已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则 ．
【答案】.
【解析】如图所示，设圆心为C点，则，，则点在圆上，且，由与圆相切可得：，则，，则，故，则，从而可得,故答案为：.
变式6．已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ．
【答案】，或，或
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为直线l的横纵截距相等，所以直线的斜率存在，当直线过原点时，设直线的方程为，因为直线l与圆C相切，此时圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，所以切线方程为；当直线不过原点时，设直线的方程为，因为直线l与圆C相切，此时圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，所以切线方程为或，综上所述，直线l的方程为，或，或.故答案为：，或，或.
变式7．写出经过抛物线的焦点且和圆相切的一条直线的方程 .
【答案】（或，写出一个方程即可）
【解析】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为2.记过点的直线为l，当l斜率不存在时，由图可知l与圆相切，此时l的方程为；
当l斜率存在时，设其方程为，即，因为直线l与圆相切，所以，解得所以l的方程为，即.
故答案为：（或，写出一个方程即可）
变式8．过点且与圆：相切的直线方程为
【答案】或.
【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意；
当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，即，
利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，即此直线方程为，
故答案为：或 ．
变式9．由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ．
【答案】2
【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，
圆的圆心为，半径为，则，当与直线垂直时，取最小值，且最小值为，所以，，即切线长的最小值为2.故答案为：2.
【解题方法总结】
（1）圆的切线方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
题型四：切点弦问题
例7．从抛物线上一点作圆：得两条切线，切点为，则当四边形面积最小时直线方程为 .
【答案】
【解析】如图，由题可知 ，，由对称性可知，

所以求四边形的最小面积即求的最小值设，，则
当，即时，，四边形的最小面积为,所以 ,所以以为直径的圆的方程为：则为以圆和以为直径的圆的公共弦如图所示
两圆方程作差得：,所以直线方程为
故答案为：
例8．已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意得，圆的圆心为，半径为，如图所示，根据圆的切线长公式，可得，则，当取最小值时，取最小值，此时，则，则.故答案为：.
变式10．已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆，设，则，则，，则，所以圆心到直线的距离是，，得，．故选：A．
变式11．过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接、，
圆的圆心为，半径为，易知圆心为抛物线的焦点，设点，则，则，
当且仅当时，等号成立，此时点与坐标原点重合，由圆的几何性质可得，，由切线长定理可得，则，所以，，所以，，此时点与坐标原点重合，且圆关于轴对称，此时点、也关于轴对称，则轴，在中，，，，则，所以，，因此，直线的方程为.故选：C.
【解题方法总结】
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
题型五：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题
例9．已知点在圆运动，若对任意点，在直线上均存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，
由题可知，圆心为点，半径为1，若直线上存在两点，使得恒成立，则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为，
所以长度的最小值为.故选：D
例10．已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为 .
【答案】
【解析】由圆知圆心，半径，因为与圆相切于点，所以，
所以，所以越小，越小，
当时，最小，因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为6，此时，，，故的周长的最小值为.答案为：.
变式12．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，点在单位圆内，点在单位圆外，则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，所求最小值为.故答案为：.
变式13．若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为 ．
【答案】
【解析】直线过定点，直线过定点，显然这两条直线互相垂直，因此P在以AB为直径的圆上，设该圆的圆心为D，显然点D的坐标为，所以该圆的方程为，由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，
当点在如下图位置时，的值最大，即，所以|PM|的最大值为，
故答案为：.
【解题方法总结】
直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．
直线与圆、圆与圆的位置关系 随堂检测
1.若直线与圆相交，则点（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能
【答案】B
【解析】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：，即，
据此可得：点与圆的位置关系是点在圆外.故选：B.
2.直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
【答案】C
【解析】由直线得，令，得，故直线恒过点，又，即点在圆内，
故直线与圆的位置关系为相交.故选：C.
3.已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由题意可得的圆心到直线的距离为，
即与圆相离；设为直线上的一点，则，
过点P作圆的切线，切点分别为，则有，则点在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为 ，半径为， 则其方程为，变形可得 ，联立，可得：，
又由，则有 ，变形可得 ，
则有，可得，故直线恒过定点，设，由于，故点在内，则时，C到直线的距离最大，其最大值为,
故选∶B
4.已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．
5.过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为 .
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，半径，若弦长，则圆心到直线的距离， 显然直线的斜率存在，设直线方程为，即，所以，解得，所以直线方程为.
故答案为：.
6.已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条.
【答案】9
【解析】将直线l的方程整理可得，易知直线恒过定点；圆心，半径；
所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径；易知，当圆心与的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；
此时弦长为，所以截得的弦长为整数可取；由对称性可知，当弦长为时，各对应两条，共8条，当弦长为8时，只有直径1条，所以满足条件的直线l共有9条.故答案为：9.
7.已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 .
【答案】12
【解析】圆：，得圆心为，半径为，圆心到直线的距离，因此，所以.故答案为：.
8.经过点且与圆相切的直线方程为 ．
【答案】
【解析】圆的标准方程为：，当直线的斜率不存在时，直线方程为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离相等，即，化简得，解得，，
综上：直线方程为：，故答案为：
9.已知过点作圆的切线，则切线长为 .
【答案】
【解析】由圆，可得圆心，半径，设切点为，因为，可得，
所以切线长为.故答案为：4.
10.已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】依题意，设，有，圆的圆心，半径，
于是，
因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3，所以的最小值为3.故答案为：3.
11.若在圆C：上存在一点P，使得过点P作圆M：的切线长为，则r的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设点，过点作圆M：的切线，切点为，由题意可知：，因为点，所以，化简整理可得：，所以，因为，，所以，解得：，
所以的取值范围为，故答案为：.
12.直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 .
【答案】
【解析】对于，当时，，当时，，所以，所以，
圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为，所以点P到直线的距离的最大值，点P到直线的距离的最小值，所以面积的最大值为，面积的最小值为，所以面积的取值范围是，故答案为：
13.已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】，即，圆心为，半径，
，即最小时，面积最小.
，故四边形面积的最小值为.
故答案为：.位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0