（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第11课 直线与圆锥曲线的位置关系（2份，原卷版+教师版）

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知识点一、直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为，时，；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以，即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，圆的圆心为，半径为.设直线方程为，直线到圆心的距离为，由弦长公式得，所以.由点到直线的距离公式得，，即.对于选项A，直线到该圆圆心的距离为，取，满足条件，而，直线与圆没有公共点，故A排除；
对于选项B，当时，对于直线有，，，联立椭圆方程得，所以必有公共点；当时，联立直线与椭圆方程得，，所以必有公共点；故B正确；
对于选项C，联立直线与抛物线方程得，若时，则，有解；
若时，，取，则，方程无解，此时无公共点，故C错误；
对于选项D，当时，对于直线有，，，联立双曲线方程得，
取，则直线：，与双曲线不存在公共点，故D排除.
故选：B.
例2．给出下列曲线方程：①；②；③；④．其中与直线有交点的所有曲线方程是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
【答案】D
【解析】直线和的斜率都是，两直线平行，不可能有交点；
把直线与联立消去得，，直线与②中的曲线有交点；把直线与联立消去得，，直线与③中的曲线有交点；把直线与联立消去得，，直线与④中的曲线有交点．故选：D．
变式1．命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】C
【解析】∵抛物线的对称轴为轴，∴一条直线与抛物线有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与轴垂直，∵直线存在斜率，与轴不垂直，∴“直线与抛物线有且仅有一个公共点”等价于“直线与抛物线相切”，则命题p是命题q的充要条件.故选：C.
变式2．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【解析】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有两个交点．不满足要求，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消得，，当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意；当时，由，可得，即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．故选：B.
【解题方法总结】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
例3．过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是
【答案】
【解析】椭圆即，设弦的两端点分别为,，,，则，
则，，两式作差可得：，．
直线过点，这条弦所在直线的方程是，即．
故答案为：．
例4．已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ．
【答案】
【解析】取中点，连接,由于,所以,进而 ,
设，设直线上任意一点，
由于是圆的切线，所以,所以，
令 则，所以，由中点坐标公式可得 ，
设,则，两式相减可得，
所以 ,又，,所以，解得，进而 故直线l的方程为，即，故答案为：
变式3．抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 .
【答案】
【解析】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，
则，可得，即，即
又，所以.故答案为：.
变式4．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为，所以易得抛物线的方程为，
设，因为线段的中点为，故，则，由，
两式相减得，所以，故直线的方程为，即．
故答案为：.
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
变式5．直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．
由题意知，则，∴点的轨迹方程为．
又点在椭圆内，∴，解得：，故答案为：.
变式6．已知椭圆内有一点，弦过点，则弦中点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设，中点，则，相减得，斜率存在时，∴，又是中点，且直线过点，所以，化简得，斜率不存在时，方程为，中点为适合上述方程．∴点的轨迹方程是．
故答案为：．
方向3：斜率之积问题
变式7．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，则，因为，可得，
又因为，所以.故选：D.
变式8．已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，两式作差得
所以若O为坐标原点，则，同理，所以O，P，Q三点共线，
即，所以，又过点，即椭圆的焦点，所以
解得，所以C的方程为故选：C
【解题方法总结】
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点差法．
即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系．除此之外，最好也记住如下结论：
在椭圆中，中点弦的斜率为，满足．
在双曲线中，中点弦的斜率为，满足．（其中为原点与弦中点连线的斜率）．
在抛物线中，中点弦的斜率为，满足（为中点纵坐标）．
题型三：弦长问题
例5．已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ．
【答案】
【解析】设直线，直线与圆相切，，将直线方程与椭圆方程联立，得，所以，因为，所以，由对称性，不妨取，，故答案为：.
例6．已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
【答案】
【解析】在椭圆中，，，则，故点，设点、，由题意可知，直线的方程为，即，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，.故答案为：.
【解题方法总结】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式：．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
例7．设椭圆的左､右顶点分别为，且焦距为.点在椭圆上且异于两点，若直线与的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线，交于点.求面积的最大值.
【解析】（1）由题意知：，，设，
则，，
又，，，椭圆的标准方程为：.
（2）设直线，，则，
由得：，显然，，，
，又，直线方程为：，
令，则，直线过定点；
而，
则，
令，有在上单调递增，则，即时 ，取最小值4，于是当时，，所以面积的最大值是.
圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
方向2：四边形问题
例9．类似于圆的垂径定理，椭圆：（）中有如下性质：不过椭圆中心的一条弦的中点为，当，斜率均存在时，，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，使，求四边形的面积.
【解析】（1）设，因为，
，代入椭圆得：，点的轨迹方程为：.
（2）设，由（1）则，
①当直线不与坐标轴重合时，由，知为中点，
，直线：，
代入椭圆：的方程得：
即：，设，，由根与系数关系，
，
设表示点到直线的距离，表示点到直线的距离，
；
它法：利用比例关系转化：，酌情给分.
②当直线与坐标轴重合时，不妨取，，，
或，，，.
综上所述：四边形的面积是.
【解题方法总结】
三角形的面积处理方法：底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半．
直线与圆锥曲线的位置关系 随堂检测
1.已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．无数条
【答案】A
【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.
①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；
②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.
若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.故选：A.
2.已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，圆的圆心到直线的距离为：，所以．故选：．
3.过点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，若直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则等于（ ）.
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】设，由于在椭圆上，
所以，两式相减并化简得，即.故选：D
4.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ．
【答案】
【解析】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，
所以，即.故答案为：
5.已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【答案】
【解析】设，则两式相减得，
由线段的中点坐标为，即，.故答案为：
6.双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 .
【答案】
【解析】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，设弦的两端分别为，，
则有，两式相减得，所以，
又因为弦的中点为，所以，故直线斜率，
则所求直线方程为，整理得，由得，
，故该直线满足题意，故答案为：
7.斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ．
【答案】(或).
【解析】设直线为，与双曲线交点为，联立双曲线可得：，则，即或，所以，故，则弦中点为，所以弦的中点的轨迹方程为(或).
故答案为：(或)
8.已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则 ．
【答案】
【解析】已知椭圆，，则，所以椭圆的左焦点为,
因为直线倾斜角为，所以直线的斜率，则直线的方程为.联立，消去，整理得，解得．．
故答案为：.