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    人教版八年级数学上册2024---2025学年期末综合测评卷2

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    这是一份人教版八年级数学上册2024---2025学年期末综合测评卷2,共29页。试卷主要包含了已知,则,将分解因式,所得结果正确的是,计算的结果是等内容,欢迎下载使用。
    2024---2025学年人教版八年级数学上期末综合测评卷2
    时间120分钟 满分120分
    学校 _____________ 班级 _________ 姓名_________ 考号_________
    第Ⅰ卷 客观题
    选择题(共10小题,每小题3分,共30分,将正确答案填入题后括号内)
    1.某三角形的三边长分别为3,6,,则可能是( )
    A.3B.9C.6D.10
    2.如图,在中,,是内一点,且,,则的度数是( )
    A.B.C.D.
    3.已知,则( )
    A.10B.7C.3D.25
    4.如图,在六边形ABCDEF中,∠A+∠F+∠E+∠D =,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P,则∠P度数为( )
    A.B.C.D.
    5.若关于轴的对称点在第一象限,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    6.将分解因式,所得结果正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    7.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=10,BC=6,则BD的长为( )
    A.3B.1.5C.2.5D.2
    8.计算的结果是( )
    A.B.C.D.
    9.如图,和均为等边三角形,且点B,C,D在同一直线上,交于点G,交于点H,连结.则下列结论中正确的有( )
    (1);(2);(3);(4)平分;(5)是等边三角形.
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    10.若关于x的分式方程的解是负数,则字母m的取值范围是( ).
    A.m>3B.m-3D.m>-3且m≠-2
    二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分,将正确答案填入题后横线上)
    11.已知,,则的值为 .
    12.如图,中,在和上分别截取,使,分别以M,N为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧在内交于P,连接并延长交于D,若,线段上取一点E使得,连接,则的长是 .
    13.已知等腰三角形的一个内角等于,则它的一个底角是 .
    14.已知关于x的分式方程有增根,则a的值为 .
    15.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为5,面积是20,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为 .
    第Ⅱ卷 主观题
    三、解答题(共八小题,共75分,写出必要的解题过程,推理步骤)
    16.(10分)计算:
    (1) ;
    (2)
    17.(8分)如图是某同学分式求值的错误过程.
    (1)求原式正确的化简结果;
    (2)老师说:“虽然该过程有错误,但最后所求的值是正确的.”求图中被污染的x的值.
    18.(8分)在一款电子游戏中,游戏中的小精灵到达一个高为10米的高台A,利用旗杆顶部(O)的绳索,划过90°到达与高台A水平距离为17米,高为3米的矮台B.求旗杆(OM)的高度.
    19.(8分)如图,在中,,是的平分线,是线段的垂直平分线.
    (1)求的大小;
    (2)若,求的长.
    20.(8分)某校在商场购进A,B两种品牌的篮球,购买A品牌篮球花费了2500元,购买B品牌篮球花费了2000元,且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍,已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元.
    (1)问购买一个A品牌,一个B品牌的篮球各需多少元?
    (2)该校决定再次购进A,B两种品牌篮球共50个,恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整,A品牌篮球售价比第一次购买时提高了,B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售,如果该校此次购买A,B两种品牌篮球的总费用不超过3060元,那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球?
    21.(8分)教科书中这样写道:“形如的式子称为完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.
    配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
    例如:分解因式:
    解:原式
    再如:求代数式的最小值.
    解:原式
    又是一个非负数,


    可知当时,有最小值,最小值是.
    根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
    (1)分解因式: ;(直接写出结果)
    当 时,多项式有最小值,这个最小值是 ;
    (2)利用配方法,已知,为的三条边,,求的周长.
    22.(12分)通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个代数恒等式.如图①是一个长为,宽为m的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个大正方形.
    (1)【知识生成】
    请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积(直接用含m,n的代数式表示):
    方法一: ;
    方法二: ;
    (2)【得出结论】
    根据(1)中的结论,请你写出代数式之间的等量关系为 ;
    (3)【知识迁移】
    根据(2)中的等量关系,解决如下问题:
    已知实数a,b满足:,,求的值.
    23.(13分)如图1,点、分别是边长为的等边的边、上的动点,点从顶点、点从顶点同时出发,且它们的速度都是cm/s.
    (1)连接、交于点,则在、运动的过程中,的度数变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
    (2)何时是直角三角形?
    (3)如图2,若点、在运动到终点后继续在射线、上运动,直线、的交点为,则的度数变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.
    人教版八年级数学上名师点拨与训练
    2024---2025学年人教版八年级数学上期末综合测评卷2
    时间120分钟 满分120分
    学校 _____________ 班级 _________ 姓名_________ 考号_________
    第Ⅰ卷 客观题
    选择题(共10小题,每小题3分,共30分,将正确答案填入题后括号内)
    1.某三角形的三边长分别为3,6,,则可能是( )
    A.3B.9C.6D.10
    【答案】C
    【知识点】三角形三边关系
    【解析】【解答】解:由题意得:3<x<9,
    ∴只有C选项符合题意;
    故答案为:C.
    【分析】根据三角形三边的关系可得x的取值范围,再求解即可。
    2.如图,在中,,是内一点,且,,则的度数是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【知识点】三角形内角和定理
    【解析】【解答】解:∵,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴.
    故选:C.
    【分析】本题考查三角形内角和定理.先利用三角形内角和定理求出,再根据,,利用角的运算可求出:,再利用三角形内角和定理可得:,代入数据进行计算可求出的度数.
    3.已知,则( )
    A.10B.7C.3D.25
    【答案】A
    【知识点】同底数幂乘法的逆用
    【解析】【解答】解:∵,
    ∴;
    故答案为:A.
    【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得,再将代入计算即可.
    4.如图,在六边形ABCDEF中,∠A+∠F+∠E+∠D =,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P,则∠P度数为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【知识点】三角形内角和定理;多边形内角与外角
    【解析】【解答】解:六边形内角和=(6-2)×180°=720°,
    ∴∠ABC+∠BCD =720°-(∠A+∠F+∠E+∠D )=720°-,
    ∵ ∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P,
    ∴∠PBC+∠PCB=(720°-α)=360°-α,
    ∴∠P=180° -(∠PBC+∠PCB)=180°-(360°-α)=α-180°,
    故答案为:A.
    【分析】先利用六边形的内角和求出∠ABC+∠BCD =720°-(∠A+∠F+∠E+∠D )=720°-,再利用角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB=(720°-α)=360°-α,最后利用角的运算求出∠P=180° -(∠PBC+∠PCB)=180°-(360°-α)=α-180°即可.
    5.若关于轴的对称点在第一象限,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【知识点】坐标与图形变化﹣对称;点的坐标与象限的关系
    【解析】【解答】解:∵点关于y轴的对称点为,且此点在第一象限,

    解得:.
    故选:D.
    【分析】先求出点关的对称点为,再利用第一象限内点的特点得到2a-1>0且a+1>0,解之即可.
    6.将分解因式,所得结果正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【知识点】因式分解﹣公式法
    【解析】【解答】解:

    故答案为:D.
    【分析】将看作一个整体,利用完全平方公式分解因式,再利用平方差公式因式分解.
    7.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=10,BC=6,则BD的长为( )
    A.3B.1.5C.2.5D.2
    【答案】D
    【知识点】等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA
    【解析】【解答】
    解:∵CD平分∠ACB,
    ∴∠BCD =∠DCE,
    ∵BE⊥CD,
    ∴∠BDC =∠EDC =90°,
    又∵CD=CD,
    ∴△CDB≌△CDE(ASA),
    ∴BD=DE, CE=BC=6, 即△BCE为等腰三角形,
    ∴AE=AC-CE=4,
    又∵∠A=∠ABE,
    ∴BE=AE,
    故答案为: D.
    【分析】根据题意可得△BCE为等腰三角形,CE=BC=6, BE=AC-CE=4, 即可求解.
    8.计算的结果是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【知识点】分式的除法
    【解析】【解答】解:
    =
    =
    故答案为:B.
    【分析】先将分数的除法转换为乘法,再利用分式的乘法的计算方法分析求解即可.
    9.如图,和均为等边三角形,且点B,C,D在同一直线上,交于点G,交于点H,连结.则下列结论中正确的有( )
    (1);(2);(3);(4)平分;(5)是等边三角形.
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    【答案】C
    【知识点】三角形内角和定理;三角形全等及其性质;等边三角形的判定与性质;角平分线的判定
    【解析】【解答】解:∵和均是等边三角形,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,故(1)正确,
    ∵,
    ∴,故(2)正确,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,故(3)错误,
    ∵,
    ∴是等边三角形,故(5)正确;
    如图,过点作于于,
    ∵,
    ∴,
    又∵于于,
    ∴平分,故(4)正确;
    故选:C.
    【分析】根据等边三角形的三条边都相等,三个角都是直角得出,然后由两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证,根据全等三角形的对应边相等得出,可判断(1);由全等三角形的对应角相等可得,结合三角形内角和是180°可判断(2);由两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证,根据全等三角形的对应边相等推得,即可判断(3);根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形的判定可证是等边三角形,可判断(5),由全等三角形的对应边相等可得,可证平分,可判断(4).
    10.若关于x的分式方程的解是负数,则字母m的取值范围是( ).
    A.m>3B.m-3D.m>-3且m≠-2
    【答案】C
    【知识点】已知分式方程的解求参数
    【解析】【解答】解:
    先去分母可得:
    去括号可得:
    移项可得:
    合并同类项可得:
    x的系数化为1可得:
    根据分式方程的解为负数可得:,据此可解得:
    故答案为:C.
    【分析】本题考查分式方程的解.先将分式方程去分母,去括号可得:,再进行移项,合并同类项,将x的系数化为1可求出方程的解为:,根据分式方程的解为负数可列出不等式,解不等式可求出字母m的取值范围.
    二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分,将正确答案填入题后横线上)
    11.已知,,则的值为 .
    【答案】-4
    【知识点】平方差公式及应用
    【解析】【解答】解:
    解得
    故答案为:.
    【分析】根据平方差公式:,结合已知条件,代数求值即可.
    12.如图,中,在和上分别截取,使,分别以M,N为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧在内交于P,连接并延长交于D,若,线段上取一点E使得,连接,则的长是 .
    【答案】
    【知识点】三角形全等的判定-SAS;尺规作图-作角的平分线
    【解析】【解答】解:根据作图可知平分,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    设,
    在中,由勾股定理得,
    ∵,
    ∴,
    解得:,
    故答案为:.
    【分析】根据作图可知平分,然后证明得到,,然后根据求解即可.
    13.已知等腰三角形的一个内角等于,则它的一个底角是 .
    【答案】或
    【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
    【解析】【解答】解:当的角为等腰三角形的顶角时,
    底角的度数;
    当的角为等腰三角形的底角时,其底角为,
    故它的底角的度数是或.
    故答案为:或.
    【分析】当已知的角是底角时20°,答案就是20°。当已知的20°角是等腰三角形的顶角时,根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为180°,可计算底角为80°.
    14.已知关于x的分式方程有增根,则a的值为 .
    【答案】5
    【知识点】分式方程的增根
    【解析】【解答】解:去分母得:
    x-5-(a-x)(2x+3)=(2x+3)(x-5)
    整理得:(11-2a)x=(3a-10),,
    当11-2a≠0, 即:a≠时,整式方程有唯一;
    由分式方程由增根得:2x+3=0或x-5=0,即x=或x=5,
    ∴a=5,
    故答案为:5
    【分析】分式方程有增根,即分式方程分母为0,但整式方程有解。首先去掉分母,得(11-2a)x=(3a-10),整式方程有解条件,当11-2a≠0,即a≠时,整式方程有解;接着讨论分式方程无解条件,即2x+3=0或x-5=0,得x=或x=5由此求出a的值.
    15.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为5,面积是20,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为 .
    【答案】10.5
    【知识点】三角形的面积;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;轴对称的应用-最短距离问题
    【解析】【解答】解:连接AD和AM,如下图:
    ∵三角形ABC是等腰三角形,点D是底边BC的中点
    ∴AD⊥BC,CD=2.5
    ∴S△ABC=×BC×AD=20,解得AD=8;
    ∵EF垂直平分AC
    ∴AM=CM
    ∴三角形CDM的周长=CD+CM+MD=CD+AM+MD≥AD+CD=8+2.5=10.5
    故答案为:10.5.
    【分析】根据等腰三角形的性质,可得AD⊥BC,CD=2.5;根据三角形的面积,列一元一次方程,可得AD的值;根据线段垂直平分线的性质,可得AM=CM;根据两点之间线段最短,可得三角形CDM的周长最小值.
    第Ⅱ卷 主观题
    三、解答题(共八小题,共75分,写出必要的解题过程,推理步骤)
    16.(10分)计算:
    (1) ;
    (2)
    【答案】(1)
    (2)原式
    【知识点】整式的混合运算;零指数幂;负整数指数幂
    【解析】【分析】(1)由零指数幂和乘方的运算,即可得到答案;(2)由完全平方公式、平方差公式进行化简,然后计算整式的混合运算,即可得到答案.
    17.(8分)如图是某同学分式求值的错误过程.
    (1)求原式正确的化简结果;
    (2)老师说:“虽然该过程有错误,但最后所求的值是正确的.”求图中被污染的x的值.
    【答案】(1)解:
    =
    =
    =
    (2)解:根据(1)可得:
    ∴,
    解得:,
    经检验,是原方程的解.
    【知识点】解分式方程;分式的化简求值-直接代入
    【解析】【分析】(1)利用分式的加减法的定义及计算方法(①分母相同,分子相加减;②分母不同,先通分,再将分子相加减)分析求解即可;
    (2)利用(1)的化简结果可得:,再利用分式方程的计算方法及步骤分析求解即可.
    (1)解:
    (2)解;由题意得,,
    ∴,
    解得,
    经检验,是原方程的解.
    18.(8分)在一款电子游戏中,游戏中的小精灵到达一个高为10米的高台A,利用旗杆顶部(O)的绳索,划过90°到达与高台A水平距离为17米,高为3米的矮台B.求旗杆(OM)的高度.
    【答案】解:如图,作AE⊥OM,BF⊥OM,则∠AEO=∠OFB=90°,可证∠AOE=∠OBF,
    ∴∠EAO=∠FOB.
    ∵OA=OB,
    ∴△AOE≌△OBF(ASA),
    ∴OE=BF,AE=OF,
    ∴OE+OF=AE+BF=CD=17(米).
    ∵EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7(米),
    ∴2FO-EF=17(米),
    ∴FO=12米,
    ∴OM=FO+FM=15(米),
    ∴旗杆OM的高度为15米.
    【知识点】三角形全等的判定-ASA
    【解析】【分析】作AE⊥OM,BF⊥OM,先利用角的运算和等量代换可得∠AOE=∠OBF,再利用“ASA”证出△AOE≌△OBF,再利用全等三角形的性质可得OE=BF,AE=OF,再利用线段的和差及等量代换可得OM=FO+FM=15(米),从而得解.
    19.(8分)如图,在中,,是的平分线,是线段的垂直平分线.
    (1)求的大小;
    (2)若,求的长.
    【答案】(1)解:∵,
    ∴,
    ∴.
    ∵平分,
    ∴.
    ∵是的垂直平分线,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴的度数为;
    (2)解:由(1)知.
    在中,,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    【知识点】三角形内角和定理;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;含30°角的直角三角形
    【解析】【分析】(1)先利用角平分线定义可得,再利用垂直平分线的性质可得,最后利用等量代换可得,从而得解;
    (2)先利用含30°角的直角三角形的性质可得,最后利用线段的和差求出BC的长即可.
    (1)解:∵,
    ∴,
    ∴.
    ∵平分,
    ∴.
    ∵是的垂直平分线,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴的度数为;
    (2)解:由(1)知.
    在中,,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    20.(8分)某校在商场购进A,B两种品牌的篮球,购买A品牌篮球花费了2500元,购买B品牌篮球花费了2000元,且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍,已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元.
    (1)问购买一个A品牌,一个B品牌的篮球各需多少元?
    (2)该校决定再次购进A,B两种品牌篮球共50个,恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整,A品牌篮球售价比第一次购买时提高了,B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售,如果该校此次购买A,B两种品牌篮球的总费用不超过3060元,那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球?
    【答案】(1)解:设购买一个A品牌的篮球需元,则购买一个B品牌的篮球需元,
    依题意得:,
    解得:,
    经检验,是原方程的解,且符合题意,
    (元),
    答:购买一个A品牌的篮球需50元,购买一个B品牌的篮球需80元
    (2)设该校可购买个B品牌篮球,则购买品牌的篮球个,
    依题意得:,
    解得:,
    答:该校此次最多可购买20个B品牌篮球.
    【知识点】一元一次不等式的应用;分式方程的实际应用-销售问题
    【解析】【分析】(1)设购买一个A品牌的篮球需元,则购买一个B品牌的篮球需元,根据题意得等量关系“2500元购买A品牌篮球的数量=2000元购买B品牌篮球的数量×2”列方程,求解即可.
    (2)设该校可购买个B品牌篮球,则购买品牌的篮球个,根据题意得关系:购买A篮球花的钱+购买B篮球花的钱≤3060,再列不等式求解即可.
    21.(8分)教科书中这样写道:“形如的式子称为完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.
    配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
    例如:分解因式:
    解:原式
    再如:求代数式的最小值.
    解:原式
    又是一个非负数,


    可知当时,有最小值,最小值是.
    根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
    (1)分解因式: ;(直接写出结果)
    当 时,多项式有最小值,这个最小值是 ;
    (2)利用配方法,已知,为的三条边,,求的周长.
    【答案】(1);2;
    (2)解:,为的三条边,,


    ,,
    的周长为
    【知识点】偶次方的非负性;因式分解﹣十字相乘法;配方法的应用
    【解析】【解答】解:(1);
    ∵,
    ∴当x=2时,多项式有最小值-9,
    故答案为:;2;-9.
    【分析】(1)参照题干中的计算方法将多项式进行因式分解,再利用配方法将多项式变形为,再求解即可;
    (2)利用配方法可得,再利用非负数之和为0的性质可得求出a、b、c的值,再求出三角形的周长公式即可.
    22.(12分)通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个代数恒等式.如图①是一个长为,宽为m的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个大正方形.
    (1)【知识生成】
    请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积(直接用含m,n的代数式表示):
    方法一: ;
    方法二: ;
    (2)【得出结论】
    根据(1)中的结论,请你写出代数式之间的等量关系为 ;
    (3)【知识迁移】
    根据(2)中的等量关系,解决如下问题:
    已知实数a,b满足:,,求的值.
    【答案】(1);;
    (2)
    (3)解:由(2)可得.
    ∴或.
    【知识点】完全平方公式及运用;几何图形的面积计算-割补法;求代数式的值-整体代入求值
    【解析】【解答】解:(1) 如图所示
    方法一:
    正方形边长为m+n
    长方形长是m宽是n
    方法二:
    阴影部分的长是m-n,宽也是m-n,故阴影部分是个正方形
    故第一空填: ,第二空填:
    (2)
    方法一和方法二计算的都是同一个图形的面积,是相等的
    故第一空填:
    【分析】(1)阴影的面积是大正方形面积和4个小长方形的面积的差,分别找到正方形和长方形的边长和长宽,写出阴影面积的表达式;
    (2)方法一和方法二计算的都是同一个图形的面积故是相等的,可得等式
    (3)代入已知的值,可得,即,故a-b可求。
    23.(13分)如图1,点、分别是边长为的等边的边、上的动点,点从顶点、点从顶点同时出发,且它们的速度都是cm/s.
    (1)连接、交于点,则在、运动的过程中,的度数变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
    (2)何时是直角三角形?
    (3)如图2,若点、在运动到终点后继续在射线、上运动,直线、的交点为,则的度数变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.
    【答案】(1)不变.
    等边三角形中,,,
    又由条件得,



    (2)设时间为秒,则,,
    ①当时,

    ,得,

    ②当时,

    ,得,

    当第秒或第秒时,为直角三角形.
    (3)不变.
    在等边三角形中,,

    又由条件得,,


    又,

    【知识点】三角形的外角性质;三角形全等及其性质;等边三角形的性质;含30°角的直角三角形;三角形的综合
    【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质.(1)根据点从顶点、点从顶点同时出发,且它们的速度都为cm/s,据此可推出,,,利用全等三角形的判定定理边角边定理可证明.再利用全等三角形的性质定理可得:,再利用三角形的角间关系、三角形的外角定理可求出的度数.
    (2)设时间为秒,则,,分两种情况:①当时;②当时利用直角三角形的性质定理可列出方程,解方程可求出的值.
    (3)根据在等边三角形中,,利用等边三角形的性质可得:,再结合条件,利用全等三角形的判定定理边角边定理可证明,再利用全等三角形的性质定理可得:,再根据,利用等量代换可求出的度数.
    (1)不变.
    等边三角形中,,,
    又由条件得,



    (2)设时间为秒,则,,
    ①当时,

    ,得,

    ②当时,

    ,得,

    当第秒或第秒时,为直角三角形.
    (3)不变.
    在等边三角形中,,
    ,又由条件得,,


    又,

    题号



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    先化简,再求值:,其中
    解:原式
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