2024-2025学年河南省南阳市高三上册10月期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市高三上册10月期中考试数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知，，向量，满足，则“，不共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．若曲线与轴，直线的交点分别为为坐标原点，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是以为直径的圆上一点，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
8．在中，角为锐角，的面积为，且，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．为偶函数B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减D．在上有4个零点
10．若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．为奇函数
C．是的极小值点
D．在上有极值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则曲线在点处的切线方程为 .
13．若定义在上的函数满足：，且，则 .
14．如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
16．已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为.
(1)求的值及的单调递增区间；
(2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围.
17．在中，角的对边分别为.
(1)求；
(2)已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求的周长.
18．如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
(1)若向量的“完美坐标”为，求；
(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，x∈R，求的值域.
19．已知函数.
(1)证明：当时，只有1个零点；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若，设，证明.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为，
所以，
所以的真子集个数为个.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】若，不共线，由及平面向量基本定理，得；
若，无论，共线与否，都有.
综上，“，不共线”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．【正确答案】D
【详解】因为，，，所以.
故选：D.
4．【正确答案】C
【详解】依题意，，
，
解得，故，
由，所以，解得，所以，
所以，
所以.
故选：C
5．【正确答案】B
【详解】如图，连接，，因为是圆的直径，所以，
又，，则，
又是的中点，则，
.
故选：B.
6．【正确答案】D
【详解】由三角函数的定义，得，，
所以，
，
.
故选：D.
7．【正确答案】D
【详解】因为，，
令，
则，
设，，则，
所以是奇函数，最大值为，最小值为，
则，由，解得.
故选：D.
8．【正确答案】A
【详解】依题意，，
由得，
即，
，
由于是锐角，所以，
与一正一负，或，
若，即，
由于，
所以，所以，
，此不等式组无解，所以不成立.
同理可得不成立.
所以，
所以，所以，.
所以，
所以三角形的周长，
当且仅当时等号成立，所以三角形的周长的最小值为.
故选：A
9．【正确答案】AB
【详解】对于A：
，显然为偶函数，故A正确；
对于B：最小正周期，故B正确；
对于C：当时，，因为在上单调递减，
所以在上单调递增，故C错误；
对于D：由，得，
所以在上的零点有，，，共3个，故D错误.
故选：AB.
10．【正确答案】AC
【详解】因为，可得，
当时，可得，令，
求导得，令，可得，解得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，无最小值，故，
当时，
可得，令，
求导得，令，可得，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，无最大值，故，故A正确，B错误；
由，可得，
所以，所以，
当且仅当，即或时取等号，故C正确；
当时，方程，，方程有解，
所以，故D错误.
故选：AC.
11．【正确答案】ABC
【详解】对于A，由易知
,
即满足，所以的图象关于点对称，可得A正确；
对于B，易知
，
满足奇函数定义，即可得为奇函数，即B正确；
对于C，求导可得，
不妨只研究当时的单调性，
当时，，当时，，
可知函数在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得极小值，所以是的极小值点，即C正确.
对于D，由可知，当时，，
此时函数在上是单调递减的，因此在上没有极值，即D错误.
故选：ABC
12．【正确答案】
【详解】，故，又，
故曲线在点处的切线方程为，即，
故
13．【正确答案】3
【详解】因为，所以，所以，
4为的一个周期，则，
又，取，得，
所以，故.
故3
14．【正确答案】
【详解】设，线段的中点为，如图，
因为曲线关于点对称，
所以可将曲线与轴、轴围成的区域割补为直角三角形的区域，
于是曲线与轴、轴围成的区域的面积就是直角三角形的面积，
即；
根据对称性，可得曲线与、轴围成的区域的面积为，
又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为，
所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于.
故
15．【正确答案】（1）（2）
【详解】（1）由，得，或，
∵是方程的一个实根，且是第三象限角，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，则，
∵，所以，，
故，
.
16．【正确答案】(1)；单调递增区间为：；
(2)
【详解】（1）由
，
因为图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为，
所以其最小正周期为，
则，
令，
解之得；
（2）由题意可知将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），
再向上平移个单位长度可得，
再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数，
当，所以，
令，则条件可化为在时有解，
易知在上单调递减，在上单调递增，
易知，
则，解之得.
17．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1），，
，
，
，，，
又，.
（2）因为BD为的平分线，，所以，
又，，
所以，
即，①
由余弦定理，得，即，②
由①②可得（舍去负值），，
所以a，c是关于的方程的两个实根，解得.
又因为BD为的平分线，所以，
又，，
所以，，
所以的周长为.
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，
所以,，
所以.
（2）由（1）知，
所以
，
即.
（3）因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则，
因为x∈R，所以，即，
令，
因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)答案见详解
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，则函数的定义域为，
恒成立，
所以在单调递增，
且，
根据零点唯一性定理可知，只有1个零点为0.
（2），因为，所以定义域为，
，
因为，
当，即时，
恒成立，即，
则函数在单调递减；
当，即时，
方程的两个根为
因为，且，
所以均在内，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，
当时，在单调递减，
当时，在单调递减，单调递增，单调递减.
（3）若,
因为要证，
只需证，
即，
即证，
设，则只需证明，化简得，
设则，
所以在单调递增，
所以，即，原命题得证.