2024-2025学年上海市黄浦区高二上册10月期中数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年上海市黄浦区高二上册10月期中数学检测试卷（附解析），共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “直线和平交于点”的符号表达为 _____．
【正确答案】
【分析】根据点线面的位置关系用符合表达即可.
【详解】“直线和平交于点”的符号表达为．
故．
2. 已知空间两个角和，若，，则__________．
【正确答案】或
【分析】根据题意结合空间中等角定理分析求解即可.
【详解】因为，，
当和开口方向相同时，；
当和开口方向相反时，；
综上所述：或.
故或.
3. 一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为______.
【正确答案】##
【分析】作出直观图，根据面积公式可得答案.
【详解】如图，建立坐标系，根据斜二测画法作出直观图，根据斜二测画法的特征可知，
，所以直观图面积为.
故
4. 将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________.
【正确答案】
【分析】判断几何体为圆柱，根据圆柱体积公式可得结果.
【详解】由题意知，形成的几何体为圆柱，且底面圆的半径，圆柱的高，
所以底面圆面积，
所以圆柱的体积，
故答案为.
5. 已知球的表面积为,则该球的体积为______.
【正确答案】
【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积．
【详解】设球半径为，
∵球表面积为，
∴，
∴，
∴该球的体积为．
故答案为．
解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．
6. 已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________.
【正确答案】
【分析】通过圆锥侧面展开图是半圆，求出底面母线，再用侧面积公式计算即可.
【详解】圆锥侧面展开图是半圆，底面半径为1，圆锥底面周长是，则母线长为.
则圆锥侧面积为.
故答案为.
7. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.
【正确答案】3
【分析】利用异面直线的判定定理判断即可.
【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面，
由图可知九条棱中，，，，，与相交，
没有直线与平行，
所以与直线是异面直线的共有3条，分别为，，，
故3
8. 已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则的中点P到平面的距离是_________.
【正确答案】3或1
【分析】根据点到平面距离的意义，分A，B在同侧和A，B在异侧两种情况求解即可.
【详解】设点A、B在平面的投影分别为点，，依题意，，，
若A，B在同侧，如图1，设点P在平面的投影为点，
则P到的距离为；
若A，B在异侧，如图2，设点P在平面的投影为点O，
过A作，交的延长线于点C，延长交于点，
则P到的距离为，
所以的中点P到平面的距离为3或1.
故3或1.

9. 圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________.
【正确答案】
【分析】把圆柱侧面展开后得一矩形，矩形对角线长为所求最短距离．
【详解】沿这条母线展开圆柱侧面是一矩形，矩形的长是圆柱的底面周长为，矩形的宽为圆柱的母线长5，
矩形的对角线长为，即为所求最短距离．
故
10. 三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分.
【正确答案】15
【分析】根据三棱锥的几何特征分析即可求解.
【详解】三个侧面平面两两相交，可以将空间分成8个部分，
再增加一个底面，其中有1个封闭的空间，另外还有6个部分，
所以三棱锥的4个面无限延展后把空间分成个部分.
故15.
11. 如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 _____．
【正确答案】##1.125
【分析】先作出经过三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可
【详解】解：如图所示，取的中点P，连接、AQ和，
∵分别是，的中点，
∴，且，
∵，∴，
所以四边形是过三点的截面，且四边形是梯形，
∵AB＝1，
∴，，，
且等腰梯形的高为，
∴截面面积为，
故
12. 在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm3.
【正确答案】
【分析】小球不能到达的位置为正方体的8个顶点附近和12条棱附近的部分组成.
【详解】顶点部分不能到达部分为棱长为1的正方体减去半径为1的球体的，如下图，
所以8个顶点部分体积为，
棱部分不能到达部分为底面是边长为1，高为4的长方体减去底面半径为1，高为4的圆柱体的，如下图，
12条棱部分不能到达的体积是，
所以不能到达的体积为.
故
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）
13. 设、是平面外的两条直线，且，那么是的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 既非充分又非必要
【正确答案】A
【分析】根据线面平行的判定及充分条件、必要条件判断.
【详解】证明充分性：若，结合，且b在平面M外，可得，是充分条件；
证明必要性：若，结合，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．
故是的“充分非必要”
故选：A．
14. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是
A. 若，，，则a∥bB. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，a∥b，则或
【正确答案】C
【详解】若，，则;
若，则，，；
若，，则而，则或；
若，，则由线面平行判定定理得或；
因此选C.
15. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【正确答案】A
【分析】作出与垂直的平面后判断几何关系
【详解】作出平面，使得平面，
当时，平面或平面，
结合旋转分析可知有两次使得．
故选：A
16. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）
A. 直线与直线CP可能相交B. 直线与直线CP始终异面
C. 直线与直线CP可能垂直D. 直线与直线BP不可能垂直
【正确答案】B
【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D.
【详解】在正三棱柱中，
因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为平面，，，
所以四点不共面，
所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确；
对于C，设，
则，
，
若直线与直线CP垂直，则，
即，
所以，
即，解得，
因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误；
对于D，连接，
因为为的中点，所以，
又因平面，平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误.
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题，满分42分）
17. 用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明.
【正确答案】答案见解析
【分析】先根据线面平行的判定定理写出已知、求证，利用反证法证明即可.
【详解】平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；
已知，求证；
证明如下：
假设，由于，则，
则在平面内过点作一条直线，使得，
由于，则，这与矛盾，
故假设不成立，故
18. 已知三棱锥满足.
（1）证明：直线与直线是异面直线；
（2）求异面直线与所成角大小.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断；
（2）根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得.
【小问1详解】
因为直线平面，点平面，点，点平面,
所以直线与直线是异面直线.
【小问2详解】
如图：取的中点，的中点，的中点，连接，，，
所以，，
所以异面直线与所成角为（或其补角），
因为，所以，，
在中，，，，
所以有，
由余弦定理得
，
所以异面直线与所成角大小为.
19. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解；
（2）利用等体积转化法即可求解.
【小问1详解】
由题意知，直线与平面的夹角，即为，
易知，，又，故，进而有，，
由圆柱的表面积为，可得，
故，故直线与平面的夹角为．
【小问2详解】
设点A到平面的距离为h，
则，，
，
因为平面ABP，，
所以BP⊥平面，即，
在中，，
故，
所以，即点A到平面的距离为．
20. 如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求几何体的体积.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）利用线面垂直知识可求解.
（2）利用割补转化法可得，从而求出体积.
【小问1详解】
由题意得：，，，CD、都在平面内，
所以：平面，因为：平面，所以：，
又因为四边形为正方形，所以：，因为：，且、AD都在平面内，
所以：平面，因：平面，所以：，
又因为四边形为直角梯形，，，，，
所以：，，则：，所以：,
又因为：，且、都在平面内，
所以：平面.
【小问2详解】
连接，过作CD的垂线，垂足为，由（1）可得：平面，且，
所以：，
所以：几何体的体积为.
21. 如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM.
（1）；
（2）求二面角的大小.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由平面，得，而，则由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论；
（2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后根据已知的数据在中求解即可.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以；
【小问2详解】
取的中点，连接，过作于，过作于，
连接，因为在平面中，，所以，
由（1）知，所以因为平面，
所以平面，因为平面，所以
因为平面MEH，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
因为，所以，
在中，，所以，
所以，所以二面角大小为