2024-2025学年上海市杨浦区高三上册第三次半月考数学检测试卷

这是一份2024-2025学年上海市杨浦区高三上册第三次半月考数学检测试卷，共5页。
一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 函数的定义域是 .
2. 已知向量，，若，则实数________
3. 已知复数，其中是虚数单位，，则__________.
4. 已知展开式中各项系数的和为32，则_______.
5. 已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是___________.
6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是______天（四舍五入精确）（参考数据：）.
7. 已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是__________.

8. 若函数的值域为则实数的取值范围是________.
9. 某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设表示其中内科医生的人数，则的期望为______.
10. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______.
11. 如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到）
12. 已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量在方向上的投影向量为，向量满足，则的最小值是______．
二､单选题（本大题共4题，满分20分）
13. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为、、，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
15. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A. B. 若，则的最大值为
C. 若，则复平面内对应的点位于第一象限D. 若是关于的方程的一个根，则
16. 已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，……，……，对于正整数n有如下两个命题：甲：；乙：恒成立；则（ ）
A. 甲正确，乙正确B. 甲正确，乙错误
C. 甲错误，乙正确D. 甲错误，乙错误
三､解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 如图，已知正四棱柱，底面正方形边长为，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点A到平面的距离.
18. 已知函数.
（1）当时，是否存在实数，使得是奇函数；
（2）对于任意给定非零实数与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围.
19. 如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.
（1）若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
（2）若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？
20. 如图1，已知抛物线方程为，直线的方程为，直线交抛物线于两点为坐标原点.
（1）若，求的面积的大小；
（2）的大小是否是定值？证明你的结论；
（3）如图2，过点分别作抛物线切线和（两切线交点为），分别与轴交于，求面积的最小值.
21. 定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”.
（1）给出两组函数，①和②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；
（2）若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”；
（3），写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.