2024-2025学年四川省成都市成华区高三上册期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市成华区高三上册期中考试数学检测试题（附解析），共20页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】先求解根式不等式，化简集合A，然后再根据集合交集运算规则即可求解.
【详解】依题意得，则．
故选：C.
2. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求出命题“，”为真命题的等价条件，再结合必要不充分条件的定义逐项判断即可.
【详解】因为，为真命题，则或，解得，
对于A，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，A错误；
对于B，是命题“，”为真命题的充要条件，B错误；
对于C，，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，C正确；
对于D，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，D错误；
故选：C
3. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D. 8
【正确答案】A
【分析】先应用向量垂直数量积为0求参，再根据模长公式求模长即可.
【详解】因为所以,所以,
因为，所以.
故选：A.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设，则原等式可化为，化简后求出即可.
【详解】令，则，
所以由，
得，
即，
即，得，
所以，
故选：C.
5. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米?（ ）
A. 10500B. 12500C. 31500D. 52500
【正确答案】A
【分析】利用棱台的体积公式,即可计算得出答案．
【详解】一斛米的体积为，
因为五斗为一斛，所以一斗米的体积为，
故选：A.
6. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】根据题意，当时，，可得在上递增，
要使得函数 是上的单调函数，
则满足，且，解可得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
7. 设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】令，解方程得或，在区间取6个零点即可.
【详解】由题意可知，
令，
即或，
即或，
当时，零点从小到大依次为，
因此有，
即．
故选：B．
8. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数的一个对称中心为B.
C. 函数为周期函数，且一个周期为4D.
【正确答案】C
【分析】对于A，由为奇函数，则，再将代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得，再由为偶函数可得，令可求出；对于C，由的图象关于点对称，结合求出进行判断；对于D，利用赋值法求解判断.
【详解】对于A，因为为奇函数，
所以，即，
所以，所以，
所以函数的图象关于点对称，所以A正确，
对于B，在中，令，得，得，
因为函数为偶函数，所以，
所以，
所以，
令，则，所以，得，所以B正确，
对于C，因为函数的图象关于点对称，，
所以，所以，
所以4不是的周期，所以C错误，
对于D，在中令，则，
令，则，因为，所以，
因为，所以，所以D正确，
故选：C
关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，都是服从正态分布的随机变量，且，，其中，，则下列命题正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，，则
D. 若，，，则
【正确答案】ACD
【分析】由正态分布的期望公式及方差公式即可判断AB；由正态分布的对称性即可判断C；由方差的性质即可判断D．
【详解】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确；
对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误；
对于C，由正态分布的对称性得，，
所以，故C正确；
对于D，由，，，则，，
根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确；
故选：ACD．
10. 已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数在区间上单调递减
C. 过点能作两条不同直线与相切D. 函数有5个零点
【正确答案】AD
【分析】求得，根据，可判定A正确；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C错误；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定以D正确．
【详解】对于A中，由函数，可得，
因为 是函数的一个极值点，可得，
解得，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由，令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误；
对于C中，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
由于切点满足直线方程，则，
整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误；
对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，
所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，
故有5个零点，所以D正确．
故选：AD．
11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 随着增大而减小
B. 曲线的横坐标取值范围为
C. 曲线与直线相交，且交点在第二象限
D. 是曲线上任意一点，则的取值范围为
【正确答案】AD
【分析】首先对、分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B，由双曲线的渐近线与的关系判断C，由点到直线的距离公式得到，即点到直线的距离的倍，求出直线与曲线相切时的值，再由两平行线将的距离公式求出的最大值，即可判断D.
【详解】因为曲线，
当，时，则曲线为椭圆的一部分；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
可得曲线的图形如下所示：
由图可知随着增大而减小，故A正确；
曲线的横坐标取值范围为，故B错误；
因为，所以曲线与直线相交，且交点在第四象限，故C错误；
因为，即点到直线的距离的倍，
当直线与曲线相切时，
由，消去整理得，
则，解得（舍去）或，
又与的距离，
所以，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：AD
关键点点睛：本题关键是分析出曲线的图形，D选项的关键是转化为点到直线的距离.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为12，则_________．
【正确答案】
分析】应用二项式定理写出含项，结合已知项系数列方程求值即可.
【详解】由的展开式通项为，
所以，含项为，
故，可得.
故
13. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为_________.
【正确答案】2
【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求.
【详解】由已知得，解得，
又，
所以得，
所以，
所以.
故2
14. 现有标号依次为的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为__________.
【正确答案】
【分析】设：从标号为1的盒子中取出的2个球中有个红球，，：3号盒子里面是2个红球和2个白球，则，由概率的乘法公式和全概率公式可得，再由古典概型分别求出对应结果，代入计算即可得到答案.
【详解】设：从标号为1的盒子中取出的2个球中有个红球，，
：3号盒子里面是2个红球和2个白球，所以，
则
.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15. 已知分别为三个内角的对边，且
（1）求；
（2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去，由和差公式和辅助角公式化简可得；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出，然后在中利用余弦定理可得.
【小问1详解】
由正弦定理有，
因为，
所以，
化简得，
由有，可得，
因，
所以，则．
【小问2详解】
由有
又可得，
联立解得，所以为正三角形，
所以，
在中，由余弦定理得．
故的长为.
16. 在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.
经计算样本的平均值，标准差.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为，并根据以下不等式进行评判.
①；②；③.
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.
（1）试判断该份试卷被评为哪种等级；
（2）按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量的分布列和均值.
【正确答案】（1）该份试卷应被评为合格试卷
（2）分布列见解析，
【分析】（1）根据频数分布表，计算出，的值，由此判断出“该份试卷为合格试卷”；
（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望．
【小问1详解】
，
，
，
因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷.
【小问2详解】
75分以下的人数为10；大于等于75分小于85分的人数为25；85分及以上的人数为15.
按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，分别抽取人数为2，5，3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，则的取值可能为0，1，2，3.
，，，.
∴的分布列为
.
17. 如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）取的中点，连接，，从而证明平面，平面，即可得到平面平面，即可得证．
（2）推导出平面，平面，平面平面，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
【小问1详解】
取的中点，连接，，
，为的中点，，
又，．
又平面，平面，平面．
为的中点，．
又平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
又平面，平面．
【小问2详解】
，由（1）知，，
又，为的中点，，
又，平面，平面，
又平面，，
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，
连接，，为的中点，，
又平面平面，平面，
平面，平面，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
是与平面所成的角，即，
，设，则，，，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设二面角平面角为，
，
所以，即二面角的正弦值为．
18. 已知函数.
（1）若函数在处切线的斜率为，求实数的值；
（2）当时，恒成立，求实数的最大值；
（3）当时，证明：
【正确答案】（1）a=1 （2）2
（3）证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数值等于切线斜率构造方程，求出a即可.
（2）将a代入不等式，x和m参变分离，转化为恒成立问题，构造函数后转化为求函数最值问题即可.
（3）由（2）知， 当 时， 有 即 后进行放缩证明即可.
【小问1详解】
因为 ，所以，
所以a=1
【小问2详解】
因为 当 时， 恒成立，所以
设
则
因为
当x≥1时，有 所以函数 单调递增，故
所以函数 单调递增，
故
所以函数 单调递增，故 所以
所以实数m的最大值为2.
【小问3详解】
由（2）知， 当 时， 有 即
设 取 ,所以
即 .
因为
所以 即
19. 对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．
（1）已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？
（2）若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：
（3）已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．
【正确答案】（1），理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）利用指数数列，构造一个加上正的常数，就可得到一个递增相伴数列，只需要检验前二项和最后三项；
（2）由于有一个是等差数列，两数列相加也是等差数列，说明另一个数列还是等差数列，通过假设，就可以表示出两个数列的通项，进而引入后三项不等式进行分析，即可求出数列通项；
（3）利用前面两小问，知道构造的数列比已知数列每项加1，再去证明即可.
【小问1详解】
由于，我们可以取，此时恒有，
再由，当时，，
所以恒有，即满足题意.
【小问2详解】
设 ,
当为的“无限递增相伴数列”时对任意恒成立
，当时，，因为，所以，
即.
【小问3详解】
证明：取，若存在这样的正整数k使得
成立，
所以，
由，得，
于是，
又因为，所以当时，，
而时，，
所以，最后说明存在正整数k使得，
由，
上式对于充分大k成立，即总存在满足条件的正整数k
方法点睛：通过第一，第二问的求解，掌握问题得以解决的关键就是每一项加1，从而再进行证明即可得到第三问的解答.
分数
69
73
74
75
77
78
79
80
人数
2
4
4
2
3
4
6
3
分数
82
83
85
87
89
93
95
合计
人数
3
4
4
5
2
3
1
50
0
1
2
3