2024-2025学年上海市徐汇区高三上册10月月考数学学情诊断试题（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市徐汇区高三上册10月月考数学学情诊断试题（含解析），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题）
1．若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为
2．不等式的解集为 ．
3．将化为的形式
4．棱长为的正方体的内切球表面积为 ．
5．若函数，，若的最小值为2，则
6．函数在处的切线倾斜角是 .
7．若的展开式中常数项为 .
8．若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为
9．把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 个
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点.且在上的投影为，则双曲线的离心率为
11．平面点集所构成区域的面积为
12．已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为
二、单选题（本大题共4小题）
13．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
14．函数，正确的命题是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．在定义域上是严格增函数D．有两个不同的零点
15．下列四个命题中，真命题的个数为（ ）
①若事件A和相互独立，则；②若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化；③“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件；④函数满足，则该函数为奇函数或偶函数；
A．0B．1C．2D．3
16．若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中正确的是（ ）
A．已知，且，则
B．已知，若，则对任意，都有
C．已知，，则存在实数，使得
D．已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知集合，
(1)求；
(2)若不等式在集合上恒成立，求的取值范围.
18．在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一动点.
(1)求证：平面平面；
(2)当为中点时，求点到平面的距离.
19．设函数，且.
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式
20．已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点.
(1)求当面积最大时直线的斜率；
(2)若直线与交于点，直线与交于点
①求直线的方程；
②记、的面积分别为、，求的最大值.
21．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)①当时，恒成立，求正整数的最大值；
②证明：
答案
1．【正确答案】
【详解】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以.
故
2．【正确答案】
【详解】不等式等价于，即，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为.
3．【正确答案】
【详解】由题意可得.
故答案为.
4．【正确答案】
【详解】根据正方体的性质可知棱长为2的正方体的内切球的半径为，
所以其表面积.
故答案为.
5．【正确答案】2
【详解】根据题意，函数，
根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，
则的最小值为.
故2
6．【正确答案】
【分析】
利用导数的几何意义求出函数在处的切线斜率，即可计算作答.
【详解】
依题意，，则函数在处的切线斜率，
所以所求切线倾斜角为.
故
7．【正确答案】28
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
则展开式的常数项为.
故28.
8．【正确答案】/
【详解】由等差数列性质知，，且，
所以
，当且仅当，
即，时等号成立.
故
9．【正确答案】14
【详解】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，
当1前面只有一个数时，有种情况；
当1前面只有2个数时，有种情况；
当1前面只有3个数时，有种情况.
综上，这样的数列共有个.
故14
10．【正确答案】
【详解】解：如图所示：
在上的投影向量为，
，
又，
，
又在双曲线上，
，
则，
即，
整理得：，
即，
解得：或（舍去），
.
故答案为.
11．【正确答案】
【详解】由题设表示圆心为，其在圆心为原点，半径为1的圆上，
显然轨迹是圆心在单位圆上，且半径为4的圆，故点集与原点距离最远恒为5，最近恒为3，
所以的轨迹为圆心为，外径为5，内径为3的圆环，
所以，平面点集所构成区域的面积为.
故
12．【正确答案】
【详解】因为，所以，，，
由三角不等式，
得恒成立，
所以，即，
当或时，等号成立，
此时，
所以要对任意实数都成立，需满足.
同理恒成立，
所以，即，
当时，等号成立，
此时，
所以要对任意实数都成立，需满足.
综上所述，，即的取值集合为.
13．【正确答案】D
【详解】若，，则，，则A、B错误；
若，，则，则C错误；
，，又，，则D正确.
故选：D.
14．【正确答案】C
【详解】对于A：因为，定义域，所以fx定义域，故A错误；
对于B：设，则，故B错误；
对于C：因为，所以fx在定义域上是严格增函数，故C正确；
对于D：设，则，又因为，且fx在定义域上是严格增函数，所以fx只有一个零点，故D错误.
故选：C.
15．【正确答案】B
【详解】对于①：若事件A和相互独立，则，
所以，故①错误；
对于②：设原数据的平均数为，方差为，
将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则新数据的平均数为，方差为，
即方差不会发生改变，故②错误；
对于③：若，等价于和的夹角为锐角或为零角，
所以“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件，故③正确；
对于④：例如，满足，
但为非奇非偶函数，故④错误；
综上所述：真命题的个数为1.
故选：B.
16．【正确答案】D
【详解】A选项，由，可得，，
因为，所以，，故A错误；
B选项，由知，且，
则且，
但是不一定成立，例如：，，故B错误；
C选项，由，，
当，即时，；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以不存在实数，使得，故C错误；
D选项，由，，取，
可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确.
故选：D.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，.
（2）由题意，时，不等式恒成立，
由可得，
解得或，
所以时，不等式恒成立，
需满足或，即或.
故的取值范围为.
18．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）证明：因为是正方形，
所以，
又因为平面，平面，
所以，
平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）解：以为原点，建立如图所示的空间坐标系：
因为，为中点，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，
则，
设点到平面的距离为，
则.
19．【正确答案】(1)2；
(2)偶函数，在上单调递减，在上单调递增，解集为.
【详解】（1）由题知，，
因为，所以，
解得.
（2）由（1）知，，定义域为R，
又，所以为偶函数.
，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递减，
又因为为偶函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，
因为为偶函数，且在上单调递减，
所以，即，解得，
又，所以不等式解集为.
20．【正确答案】(1)；
(2)①；②.
【详解】（1）由题意，，
所以为椭圆的上下顶点时，面积最大，
若为上顶点，此时，
若为下顶点，此时，
综上，面积最大时直线的斜率为.
（2）如下图所示：
①设，由题意直线斜率一定存在，即，
所以，有直线，又，且相互垂直，则，
所以，故直线，
综上，，结合，可得，
所以直线交点横坐标为，
同理得，即直线交点横坐标为，
综上，直线为；
②设直线，与椭圆联立并整理得，易得，同理可得，
又，同理可得，
所以
，当且仅当时取等号，
所以最大值为.
21．【正确答案】(1)极小值为，没有极大值；
(2)①正整数的最大值为，②证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域为，
导函数，，
令，又，
所以，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
所以函数的极小值为，没有极大值；
（2）①因为当时，恒成立，
所以当x>1时，，
由（1）若时，则在上单调递减，在上单调递增，
（a）当时，在上单调递增，满足题意；
（b）当时，在上单调递减，在上单调递增，
令，则，
所以在上单调递减，
且，，，
所以存在使得，
则的解集为，
综上满足条件的正数的取值范围，其中，
所以正整数的最大值；
（ii）证明：要证
两边取对数，即证
也即证
由①知，
令，则
所以
所以
所以．