上海市青浦区2024-2025学年高三上册期中联考数学检测试题

这是一份上海市青浦区2024-2025学年高三上册期中联考数学检测试题，共4页。
1. 设，不等式的解集为______．
2. 已知全集，，则______．
3. 已知复数满足（其中是虚数单位），则______．
4. 设．若向量与向量平行，则______．
5. 曲线在点处的切线方程为___________.
6. 展开式中常数项是___________（用数字作答）
7. 设，函数是奇函数．若，，则______．
8. 设等差数列的公差不为0，其前项和为．若，则______．
9. 设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为______．
10. 设．对于样本数据，6，9，6，12，若该样本的第60百分位数是一个整数，则符合题意的的个数为______．
11. 在空间中，是一个定点，已知圆锥上所有点到的距离都不超过1，则当该圆锥的体积取得最大值时，底面半径为______．
12. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：以及圆：，若点、分别在、上，点满足，则的最小值为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 下列方程中，能够表示双曲线的一条渐近线的是（ ）．
A. B. C. D.
14. 在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是（ ）．
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
15. 设，．若关于的等式恒成立，则满足条件的有序实数对的对数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
16. 已知函数图像为曲线．关于命题①“任取平面上的一点，与曲线关于点对称的曲线总能表示函数”和命题②“存在倾斜角的直线，使得与曲线关于对称的曲线能表示函数”的真假判断，下列说法正确的是（ ）．
A. ①和②都是真命题B. ①和②都是假命题
C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 在直四棱柱中，底面是菱形，且．
（1）求证：直线；
（2）求二面角的大小．
18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知．
（1）若，，求；
（2）若，，求的周长．
19. 为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：
（1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算、，并判断事件A，是否独立；
（2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线及圆的四个交点依次为、、、．
（1）若点纵坐标为，求；
（2）证明为定值，并求出该定值；
（3）过、分别作抛物线的切线、，且、交于点，求与的面积之和的最小值．
21. 设函数的定义域为．对于闭区间，若存在，使得对任意，均有成立，则记；若存在，使得对任意，均有成立，则记．
（1）设，分别写出及；
（2）设，．若对任意闭区间，均有不等式成立，求的最大值；
（3）已知对任意闭区间，与均存在，求证：“是上严格增函数或是上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间，，与至少有一个成立”．
书签
明信片
手绘款
40
普通教
150
120