安徽省A10联盟2025届高三上学期12月质检考试数学试题

这是一份安徽省A10联盟2025届高三上学期12月质检考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知复数满足，则（ ）
A．2B．5C．D．
3．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为（ ）
A．2B．C．3D．
5．已知，则（ ）
A．B．7C．D．
6．已知，若正实数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．4
7．已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．已知可导函数的定义域为是的导函数，且均为奇函数，，则（ ）
A．B．C．0D．1
二、多选题
9．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．数列是递增数列
C．D．
10．设函数，则（ ）
A．当时，的图象关于点对称
B．当时，方程有个实根
C．当时，是的极大值点
D．存在实数，恒成立
11．已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．当轴时，四边形的面积为
C．原点到直线距离的最大值为
D．的外接圆恒过两个定点
三、填空题
12．若向量、满足，，，则 ．
13．设双曲线的左、右焦点分别为是上一点，且．若的面积为16，则的离心率为 ．
14．若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知中，角所对的边分别为，且．
(1)若，求的值；
(2)记的面积为，当取得最小值时，求的值．
16．已知函数．
(1)解不等式：；
(2)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．
17．如图，在平行六面体中，．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面平面，点在线段上，且直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，且抛物线的准线截所得弦长为．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点（在轴上方），与轴交于点．
①记，求证：为定值；
②求的最小值．
19．若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为.
(1)记数列前项和为，证明：数列是下界数列；
(2)记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由；
(3)若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：．
《安徽省A10联盟2025届高三上学期12月质检考试数学试题》参考答案
1．B
【分析】先求出集合A，再根据交集的定义可求.
【详解】由题意得，，从而．
故选：B．
2．A
【分析】利用复数的除法运算求出复数的代数形式，再由复数模的公式求模.
【详解】由题意得，，
则，
．
故选：A.
3．C
【分析】首先根据题意得到，再解方程组求解即可.
【详解】由，得，
解得，则．
故选：C．
4．D
【分析】根据圆锥侧面展开图是半圆，结合圆周长和扇形的弧长公式，结合圆锥和圆柱的侧面积公式进行求解即可.
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，
由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，得，即，
圆锥的高，
所以圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，
故圆柱和圆锥的侧面积之比为．
故选：D
5．C
【分析】对已知前二个等式两边同时平方，并相加，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】由得：①；
由得：②；
①+②得，
由得
则有，
．
故选：C．
6．A
【分析】根据奇函数的性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最值即可.
【详解】由题意得，故是定义在R上的奇函数，
由为增函数知是增函数，
因为，所以，即，
所以.
故选：A
7．B
【分析】应用辅助角公式可得，结合正弦型函数的对称性及已知有求，最后由区间零点个数有，即可确定参数值.
【详解】由题设，函数
其对称中心到对称轴的最短距离是，两对称轴间的最短距离是，
所以，即，所以，．
因为函数在内仅有3个零点，所以，解得，
所以.
故选：B
8．D
【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性，结合导数运算法则计算即可.
【详解】因为为奇函数，则，即，
两边求导得，
所以关于直线对称， 即，∴①
又因为为奇函数，则，
即，可知关于点对称，
即②，
由①②得，，，即8为的周期．
注意到，
所以，
.
故选：D．
9．BCD
【分析】利用与的关系，结合数列增减性的判断、等比数列的通项公式与求和公式即可得解.
【详解】因为，
当时，，解得；
当时，，则，
整理得，则，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误，
则数列是递增数列，故B正确，
且，，故CD正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项.
【详解】对于A选项，当时，，
因为，所以，，
所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B选项，当时，，则，
令，可得或，列表如下：
所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以，，又因为，如下图所示：
由图可知，直线与函数的图象由三个交点，
即时，方程有个实根，故B正确；
对于C选项，，
当时，，此时函数在上单调递增，故C错误；
对于D选项，当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确．
故选：ABD．
11．AD
【分析】直接证明切线长可判断A，举反例判断B，用求两圆公共弦所在直线方程法求出直线方程，然后求点到直线的距离可判断C，用参数表示求出的外接圆方程，利用恒等式知识求得两定点坐标后判断D．
【详解】A选项，由题意得，，则．
设，所以，故A正确；
B选项，由于满足条件，但此时，故B错误；
C选项，设点到的距离为，以为直径的圆的方程为，即，
两圆方程相减得的方程为，
所以，故C错误；
D选项，由可知，的外接圆是以为直径的圆，由C可知圆的方程为，即，
由，解得或，故该圆恒过和，故D正确．
故选：AD．
12．
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为，，，
则，所以，，
所以，因此，.
故答案为：.
13．
【分析】由得，可得，结合以及三角形面积公式即可求解.
【详解】根据双曲线的定义可得，即，
由可得，
所以，又因为，
所以，即，
，即，
因为，所以，
所以，即，
解得，所以．
故答案为：.
14．
【分析】先求出过点的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线与曲线有两个交点,借助导数研究单调性和最值，结合图像可解.
【详解】曲线即曲线，
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
又切线过点，则.
令，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以．
由题意知，直线与曲线有两个交点，则，
当时，，当时，，故.
故答案为：.
15．(1)
(2)．
【分析】（1）利用诱导公式以及正弦定理可得，再利用余弦定理可得结果；
（2）利用余弦定理由基本不等式计算可得当时取得最小值，代入计算即可.
【详解】（1）因为，
所以，
即，则．
因为，所以．
（2）因为，
当且仅当时，等号成立，
此时，则，
则
16．(1)
(2)．
【分析】（1）解不等式得到，令，求导得到函数单调性，结合，得到答案；
（2），求导，不合要求，故，二次求导，得到导函数单调性，得到最值，结合函数走势得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，即．
令，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
则等价于，即，
解得，故所求不等式的解集为．
（2），，
由题意知，．
当时，在上单调递增，
所以至多有一个零点，不合题意，所以．
令，
因为存在两个极值点，所以有两个正零点，
易知，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
注意到，当，
要使有两个零点，需，
解得，即实数的取值范围是．
17．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定证得平面，因为平面，由平面与平面垂直的判断即可得得证；
（2）先由平面与平面垂直的性质得到平面，从而可得，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的法向量，利用平面与平面的夹角的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为．
由余弦定理求得，，所以，
所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，结合（1）知，两两垂直，
则以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，如图所示．
则，
故，
所以，所以．
设，则，
即，所以．
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，
令，则，
所以．
因为，
所以，
解得，从而，
记平面的法向量为，
则，令，则，所以．
则，
即平面与平面的夹角余弦值为．
18．(1)
(2)①证明见解析；②．
【分析】（1）先化简整理抛物线的标准方程，求得椭圆的左焦点为，根据题意列出 的关系式，利用待定系数法即可求解；
（2）①设直线：，且与椭圆联立方程组，求出韦达定理表达式，根据向量共线的性质可得的定值；②将韦达定理表达式表示出的关系式，采用换元法以及二次函数的最值即可求解.
【详解】（1）由题意知，抛物线 整理得，焦点为 ，
所以椭圆的左焦点为，则有，
又因为抛物线的准线截所得弦长为，
将代入，可得，
即所得弦长为椭圆通径，
解得，
故的方程为．
（2）①由题意知，，直线的斜率存在且不为零，设，
联立，消去得：，
，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则．
由，点的横坐标为0，
得，
从而
，所以为定值4．
②由①知，，
则
，
令，
当，即时，取得最小值．
【点睛】关键点点睛：第二小问中，列出韦达定理的表达式，借用向量共线问题对的求值进行运算是解题关键，本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查运算能力，属于较难题.
19．(1)证明见解析
(2)数列不是下界数列，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用等比数列的前项和公式即可求出，根据下界数列的定义，即可证明；
（2）由，可分别求出，根据下界数列的定义，即可判断数列不是下界数列；
（3）根据等比数列通项公式可得，利用放缩法可得，有．从而可得.
【详解】（1）由题意知，，
故数列是下界数列.
（2）由，知，
．
因为，
所以，
故数列不是下界数列．
（3）由题意知，，
，
因为，
所以，所以．
，当时，，
当时，
，
所以．
【点睛】关键点点睛：充分理解“下界数列”的定义是解题关键，本题考查数列的综合应用，不等式放缩法的运用，属于难题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
C
A
B
D
BCD
ABD
题号
11









答案
AD









增
极大值
减
极小值
增