2025届高中数学二轮复习 板块二 三角函数与平面向量 创新点2　三角函数与解三角形创新题型突破（课件+练习）

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三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.
题型一　解三角形的新情境问题
题型二　三角函数的新定义问题
题型三　三角与数列的交汇
解决此类问题首先应充分理解题意，作出示意图，把已知量尽量集中在一个三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解.
我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的正弦值是________.
因为f(x)＝2x，则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x具有性质P；因为g(x)＝cs x，则g(x＋2π)＝cs(x＋2π)＝cs x，又g(2π)＝cs 2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cs x＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cs x不具有性质P.
已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cs x是否具有性质P；(直接写出结论)
(3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)＝2π.
由函数f(x)具有性质P及(2)可知，f(0)＝0，由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)，即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；由f(0)＝0，f(2π)＝kπ以及题设可知，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，kπ]，所以k∈Z且k>0；当k>2，f(x)＝π及f(x)＝2π时，均有g(x)＝sin(f(x))＝0，
这与g(x)在区间(0，2π)上有且只有一个零点矛盾，因此k＝1或k＝2；当k＝1时，f(2π)＝π，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，π]，此时函数g(x)的值域为[0，1]，而f(x＋2π)＝f(x)＋π，于是函数f(x)在[2π，4π]的值域为[π，2π]，此时函数g(x)的值域为[－1，0]，函数g(x)＝sin(f(x))在当x∈[0，2π]时和x∈[2π，4π]时的取值范围不同，与函数g(x)是以2π为周期的周期函数矛盾，故k＝2，即f(2π)＝2π，命题得证.
解决三角函数新定义问题的思路(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义；(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；(3)利用三角函数的公式、性质解答问题.
(3)在(2)的条件下证明：数列{Sn}是递减数列.
由cs nx＝Tn(cs x)，得cs 90°＝cs(5×18°)＝T5(cs 18°)＝16cs518°－20cs318°＋5cs 18°，即16cs518°－20cs318°＋5cs 18°＝0，整理得16cs418°－20cs218°＋5＝0，
A.versin θ＝AM B.csc θ＝PSC.ct θ＝BS D.sec θ＝NB
4.(2024·昆明一模)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示.
5.(2024·广州二模)在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00 m，之后将小镜子前移a＝6.00 m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60 m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75 m，则钟楼的高度大约是 m m m m
6.(2024·漳州模拟)如图，某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西北方向OB，围绕道路OA，OB打造了一个半径为2 km的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN，则MN的最小值为_____________ km.
8.(2024·南京调研)我们知道：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)成立，那么函数y＝f(x)叫做周期函数.对于一个周期函数y＝f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f(x)的最小正周期.对于定义域为R的函数h(x)，若存在正常数T，使得sin(h(x))是以T为周期的函数，则称h(x)为正弦周期函数，且称T为其正弦周期.
(2)已知函数f(x)＝|sin x|－|cs x|是周期函数，请求出它的一个周期.并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由.