2025届高中数学二轮复习 微专题6　切线与公切线问题（课件+练习）

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曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________.
3.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，___________.
导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.
由y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2，设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，把原点(0，0)代入切线方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.
求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.
(1)已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝A.－1 B.－2 C.－3 D.0
导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.
考向1　切点相同的公切线问题
(2)已知曲线f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝A.－3 B.1 C.2 D.5
设曲线f(x)＝x2－2m和g(x)＝3ln x－x的公共点为(x0，y0)，
因为函数f(x)＝ln x与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝ln x与g(x)互为反函数，所以g(x)＝ex，则g′(x)＝ex.
考向2　切点不同的公切线问题
由h(x)＝ex＋1－1，得h′(x)＝ex＋1，设直线l与函数g(x)＝ex的图象的切点坐标为(x1，ex1)，与函数h(x)＝ex＋1－1的图象的切点坐标为(x2，ex2＋1－1)，则直线l的斜率k＝ex1＝ex2＋1，故x1＝x2＋1，显然x1≠x2，
(2)(2024·湖北名校联考)若直线x＋y＋m＝0是曲线f(x)＝x3＋nx－52与曲线g(x)＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝A.－30 B.－25 C.26 D.28
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
训练2 (1)已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.3 B.2 C.1 D.0
(2)已知曲线y＝aln x和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为__________________________.
1.(2024·开封模拟)已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为A.x－y－1＝0 B.x－y＋1＝0C.x·ln 2－y－1＝0 D.x·ln 2－y＋1＝0
函数f(x)＝2x，求导得f′(x)＝2xln 2，则f′(0)＝ln 2，而f(0)＝1，所以所求切线方程为y－1＝ln 2·(x－0)，即x·ln 2－y＋1＝0.
2.(2024·茂名模拟)曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝A.－2 B.－1 C.1 D.2
因为曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线y＝2x平行，故曲线f(x)＝ex＋ax在点(0，1)处的切线的斜率为2，因为f′(x)＝ex＋a，所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1.
设切点为(x0，ln x0)，
5.已知直线l为曲线y＝x＋1＋ln x在A(1，2)处的切线，若l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1也相切，则a等于A.0 B.－4 C.4 D.0或4
则两切点重合，即f(a)＝g(a)，
9.已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是A.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1B.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1C.过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条D.过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条
对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f′(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；
对于C，因为点(0，1)在曲线上，所以点(0，1)是切点，则f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D，因为点(0，0)不在曲线上，所以设切点(x0，ex0)，则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，因为点(0，0)在切线上， 所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误.
10.(2024·温州适考)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点P，Q，使得f(x)的图象在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是A.f(x)＝sin x＋cs xB.f(x)＝sin(cs x)C.f(x)＝x＋sin xD.f(x)＝x2＋sin x
当x＝2kπ，k∈Z时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值sin 1，直线y＝sin 1是函数图象的切线，且过点(2kπ，sin 1)，k∈Z，故B正确；
显然当m∈(－4e－2，0)时，g(x)＝－m有三个解，即有三条切线，n＝3；当m＝0时，g(x)＝－m有一个解，即有且仅有一条切线，n＝1；当m>0时，g(x)＝－m无解，即不存在切线，不符合题意；当m＝－4e－2时，g(x)＝－m有两个解，即有两条切线，n＝2；当m