2025届高中数学二轮复习 微专题5　导数中函数的构造问题（课件+练习）

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导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特性构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立问题.
显然1.012＞1.02，故b＜a①；
热点一　根据导数运算构造函数
热点二　根据数值特征构造函数
(2024·天津八校联考)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足2xf(x)＋x2f′(x)4f(2)的解集为A.(0，4) B.(2，＋∞)C.(4，＋∞) D.(0，2)
由题意，令g(x)＝x2f(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)g(2)，∴原不等式的解集为(0，2)，故选D.
考向1　利用f(x)与x构造
考向2　利用f(x)与ex构造
考向3　利用f(x)与sin x，cs x构造
1.根据条件中关于f′(x)的不等式结构，逆用导数的运算法则构造原函数，进而利用其单调性.2.熟悉知识拓展抽象函数的构造技巧，以便于构造原函数.
(1)设定义在R上的函数y＝f(x)，且当x∈(0，4]时，xf′(x)－f(x)>0，若a＝6f(2)，b＝4f(3)，c＝3f(4)，则a，b，c的大小关系是A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.b>c>a
(2)(2024·湖南师大附中、长沙一中联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>0在R上恒成立，则不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)的解集是____________.
法一　令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，所以g(x)在R上单调递增，不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)，即g(2x＋1)>g(3－x)，
根据数值特征构造函数的类型：(1)构造相同的函数，利用其单调性解决问题；(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值确定大小.
令f(x)＝ex－x－1，得f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝ex－1＝0，解得x＝0.当x0，f(x)单调递增，故f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，所以ex>x＋1(x≠0).
所以h(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
1.已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导数，设a＝f(0)，b＝2f(ln 2)，c＝ef(1)，则A.c>b>a B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a
令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0.∴g(x)在R上单调递增，又0a>b D.b>c>a
令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f′(x)＋f(x)>0，而ex>0恒成立，所以g′(x)>0，所以g(x)在定义域上是增函数，又0