大理白族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份大理白族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,若,则( )
A.B.C.1D.2
3．已知命题,;命题,,则( )
A.p和q都是真命题B.和q都是真命题
C.p和都是真命题D.和都是真命题
4．记为等差数列的前n项和.若,则公差d为( )
A.2B.C.1D.
5．圆与圆的公共弦的弦长等于( )
A.2B.4C.D.
6．设经过点的直线与抛物线相交于A,B两点,若线段中点的横坐标为2,则( )
A.4B.5C.6D.7
7．已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．设双曲线的左､右焦点分别为,,过做平行于y轴的直线交C于A,B两点,若,,则C的离心率为( )
A.B.C.D.1
二、多项选择题
9．有一组样本数据,,,其中是最小值,是最大值,则( )
A.,,,的平均数等于,,,的平均数
B.,,,的中位数等于,,,的中位数
C.,,,的标准差不小于,,,的标准差
D. ,,,的极差不大于,,,的极差
10．对于函数和,下列结论中,下列正确的有( )
A.与有相同零点
B.与有相同最大值
C.与有相同的最小正周期
D.与的图象有相同的对称轴
11．已知定点,,动点P到B的距离和它到直线的距离的比是常数,则下列说法正确的( )
A.点P的轨迹方程为：
B.P,A,B不共线时,面积的最大值为
C.存在点P,使得
D.O为坐标原点,的最小值为4
三、填空题
12．已知直线,,,若且,则_______________.
13．已知等差数列,,,则________________.
14．已知,是椭圆的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若的面积为16,则_____________.
四、解答题
15．已知圆E经过点,,且过直线与直线的交点C.
(1)求圆E的方程;
(2)求过点的圆E的切线方程.
16．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求A;
(2)若边上的高为2,且的平分线交边于D,,求.
17．如图,在直三棱柱中,是边长为2的正三角形,,D为中点,点E在棱上,且,.
(1)当时,求证：平面;
(2)当时,求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆的长轴长为,离心率为,斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A,B.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l的方程为：,椭圆上点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上,求t的值;
(3)设,直线与椭圆的另一个交点为C,直线与椭圆的另一个交点为D,若点C,D和点三点共线,求k的值.
19．函数的定义域为,如果存在区间,使得在区间上单调,且函数的值域是,则称区间是函数的一个“优美区间”.
(1)判断函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论,不要求证明）;
(2)求函数的“优美区间”;
(3)如果函数在R上存在“优美区间”,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：,
故选：C.
2．答案：D
解析：因为,所以,
所以即,故,
故选：D.
3．答案：B
解析：对于p而言,取,则有,故p是假命题,是真命题,
对于q而言,取,则有,故q是真命题,是假命题,
综上,和q都是真命题.
故选：B.
4．答案：A
解析：由等差数列前项n和公式：,
可得：.
故选：A.
5．答案：D
解析：圆,圆心为,半径为;
圆,圆心为,半径为;
圆心距,,两圆相交,
联立两圆方程,得,
即公共弦所在直线的方程为,
故圆心到公共弦的距离为,
公共弦长为：.
故选：D.
6．答案：C
解析：设,,A,B中点横坐标为,则,解得：;
.
故选：C.
7．答案：B
解析：因为在R上单调递增,且时,单调递增,
则需满足,解得,
即a的范围是.
故选：B.
8．答案：A
解析：如图所示,因为双曲线关于x轴对称,
所以,,
由双曲线的定义得：,
由直角三角形得：
所以离心率.
故选：A.
9．答案：BD
解析：取,,,
,,,的平均数等于2,,,,,的平均数,选项A错误;
,,,的标准差为0,,,,的标准差,选项C错误;
不妨设,
则,,,的中位数等于,,,,的中位数等于,
,,,的中位数等于,,,的中位数,B正确;
,,,的极差为,,,,的极差为,
则,,,的极差不大于,,,的极差,D正确.
故选:BD.
10．答案：BC
解析：A选项,令,解得,,即为零点,
令,解得,,即为零点,
显然,零点不同,A选项错误;
B选项,显然,B选项正确;
C选项,根据周期公式,,的周期均为,C选项正确;
D选项,根据正弦函数的性质的对称轴满足,,
的对称轴满足,,
显然,图像的对称轴不同,D选项错误.
故选：BC.
11．答案：BD
解析：选项A,设,则,平方整理得,即为P点轨迹方程,A错;
选项B,由轨迹方程知P点轨迹是椭圆,,,由于,椭圆的焦点是A,B,
当P点为椭圆短轴顶点时,面积最大,此时面积为,B正确;
选项C,由于,因此以为直径的圆与椭圆没有交点,因此不存在P,使得,C错;
选项D,如图,作,C为垂足,则,,
当且仅当O,P,C共线时,取得最小值4,即的最小值为4,D正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：因为直线,,且,
所以,解得,经检验成立,
因为直线,,且,
所以,解得,
所以.
故答案为：.
13．答案：8
解析：在等差数列中,.
故答案为：8.
14．答案：4
解析：,
,①
又,
②
①②得：,
的面积为16,
,
.
故答案为：4.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由,解得,,即点,
设圆E的方程为,
依题意,,解得,
所以圆E的方程为,即.
(2)由,得点P在圆外,
圆E的圆心到直线的距离为2,则过点P的圆E切线方程可以是;
当切线斜率存在,设切线方程为,即,
由,解得,切线方程为,
所以过点的圆E的切线方程为或.
16．答案：(1);
(2).
解析：(1)因为,
所以由正弦定理得,
又,所以,所以,
又
所以,故,
所以,又,所以.
(2)由题可得①,
又因为,是的平分线,所以,,
因为,所以,所以由正弦定理得②,
又由余弦定理得③,
所以由①②③计算可得,,,
所以由即
得.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取的中点,连接,
因为三棱柱为直棱柱,且为正三角形,
以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,
根据已知条件得、、、、,
当时,,则,
所以,,,
所以,,
所以,,
又,、平面,所以平面.
(2)易知,则,
当时,点,,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,
所以,
故当时,求直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)椭圆的长轴长为,离心率为,
则,,则,则,
则椭圆的方程为.
(2)设椭圆上点关于直线l的对称点,
则,
解之得,则,
由N在椭圆上,可得,
整理得,解之得或,
当时与点M重合,舍去,
则.
(3)设,,,,则,,
又,则,直线的方程为,
由,整理得,
则,则,
又,则,
则,则,
令则,直线的方程为,
由,整理得,
则,则,
又,则,
则,则,
则,
,
由点C,D和点三点共线,可得,
则,
整理得,则.
19．答案：(1)不存在
(2)
(3)
解析：(1)函数在区间单调递增,若存在“优美区间”,则,
所以,方程有两个不同的实数解,即,
由于,故方程无解,
所以,函数在区间上不存在“优美区间”.
(2)因为,在上单调递增.
若函数存在“优美区间”,则,
即方程有两解,解得,,
故函数的“优美区间”为.
(3)假设函数在R上存在“优美区间”是,
因为函数在单调递减,在单调递增.
①若,则,即有两个不相等的非负实数根,
则,
设此时方程两根分别为、,则;
②若,则,即,
所以,即方程有两个不相等的非正实根,
则,
设此时方程两根分别为、,则,即.
综上,a的取值范围是.