新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一上学期1月份期末模拟数学试卷(含答案)

这是一份新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一上学期1月份期末模拟数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知命题,,则命题p的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
2．设正实数x,y,z满足,则当取得最大值时,的最大值为( )
A.9B.1C.D.3
3．已知为定义在R上的函数,,且为奇函数,则( )
A.4B.2C.0D.2
4．已知函数,若对于,且,都有,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．函数的部分图像大致为( )
A.B.
C.D.
6．若,,,则a、b、c的大小关系为( )
A.B.C.D.
7．已知曲线与曲线恰有两个公共点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数是定义在R上的减函数,且为奇函数,对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．近年来,某市积极响应国家号召,大力推行全民健身运动.为了解该市市民一周的体育锻炼情况,从本市市民中随机抽取了500名进行在线调查,收集了他们每周参加体育锻炼时间（单位：小时）的数据,并将样本数据分成,,,,,,,,,九组,绘制成如图所示的频率分布直方图,则( )
A.a的值为0.05
B.样本中每周体育锻炼时间低于10小时的市民人数不超过260人
C.估计样本中市民每周体育锻炼的众数为9小时
D.估计该市市民每周体育锻炼时间的第70百分位数为11小时
10．下列说法正确的是( )
A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率是0.1
B.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23
C.已知数据,,,的极差为6,方差为2,则数据,,,的极差和方差分别为12,8
D.随机事件A、B,若,且,则A、B为互斥事件
11．下列说法正确的是( )
A.命题：“,”的否定是“,”
B.“”是“”的一个必要不充分条件
C.已知函数的定义域为,则函数的定义域为
D.函数的值域为
三、填空题
12．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段）,则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为________________.
13．的值为_______________.
14．设函数存在最小值,则a的取值范围是_________________.
15．已知集合,.
(1)当时,求和;
(2)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）分成六段：,,…,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数,中位数;
(2)已知落在的平均成绩是54,方差是7,落在的平均成绩为66,方差是4,求两组成绩合并后的平均数和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,,n,;n,,,记两组数据总体的样本平均数为.则总体样本方差.
17．某科研小组研究发现：一颗梨树的产量y（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时,;投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时,.此外,还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种梨的市场售价为18百元/百千克,且市场需求始终供不应求.记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）.
(1)求利润的函数解析式;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
18．定义,A中元素称为x奇函数;,B中元素称为y奇函数;,C中元素称为双偶函数.例如：,,
(1)在下面横线上填下列词的一个：“真包含”“真包含于”“相等”,___________C,并说明理由;
(2)若所有项系数均为正数的多项式函数,满足,且,则可以找到关于t的多项式函数,使得当,时,,且等号当时取到,求这样的;
(3)证明：对任何函数,,均可得到如下分解：,其中为x奇函数,为y奇函数,为双偶函数.
四、解答题
19．已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数在区间上的单调性,并用定义法证明;
(3)解关于的不等式.
参考答案
1．答案：D
解析：命题,的否定为：,.
故选：D.
2．答案：B
解析：,
,又x,y,z均为正实数,
（当且仅当时取“”）,
,此时.
,
,当且仅当时取得,满足题意.
的最大值为1.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为为奇函数,
所以,
令,得,所以.
故选：A.
4．答案：B
解析：不妨设,由,可得：,
则函数,在R上单调递增,
则,解得,
即实数a的取值范围为.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为,又函数的定义域为,故为奇函数,排除AB;
根据指数函数的性质,在R上单调递增,当时,,故,则,排除C.
故选：D.
6．答案：D
解析：因为在为增函数,
所以,即;
又为增函数,所以,
所以.
故选：D.
7．答案：C
解析：的图象是以为端点的两条射线.
当时,曲线与曲线恰有两个公共点,,如图1,
当时,曲线与曲线的公共点就是曲线与曲线的交点与,如图2.
当时,曲线与曲线只有一个公共点,如图3.
当时,曲线与曲线无公共点,如图4.
综上,a的取值范围为.
故选：C.
8．答案：B
解析：令,则,
由,可得,
即,.
因为是定义在R上的减函数,所以也是定义在R上的减函数,
故,即.
因为,所以,即实数t的取值范围是.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：对A：由频率分布直方图得,
解得,故A正确;
对B：每周体育锻炼时间低于10小时的市民人数约为：
,故B错误;
对C：第5组频率最大,故众数为（小时）,故C正确;
对D：前5组频率之和为,
前6组频率之和为,故第70百分位数在第6组,
又第6组频率为0.2,故第70百分位数为该组的组中值11（小时）,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：对于A,从50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则个体m被抽到的概率是,故A正确;
对于B,对10个数据从小到大排序为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30.
又,则第70百分位数为第7个数据和第8个数据的平均数,
即为,故B错误;
对于C,数据,,,的极差为6,方差为2,则数据,,,的极差和方差分别为,,故C正确;
对于D,注意到,且事件,,互斥,
则,则A、B为互斥事件,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABC
解析：对于A：命题：“,”的否定是“,”,故A正确;
对于B：由推得出,所以“”是“”的必要条件;
而由可得或,所以“”不是“”的充分条件;
所以“”是“”的一个必要不充分条件,故B正确;
对于C：因为函数的定义域为,
对于函数,令,解得,所以函数的定义域为,故C正确;
对于D：因为,所以,
所以函数的值域为,故D错误.
故选：ABC.
12．答案：5
解析：根据图象,设.代入点,解得.
.
因此,年平均利润.
, ,当且仅当,即时,等号成立.
故要使平均利润最大,则客车营运年数为5.
故答案为：5.
13．答案：
解析：原式.
故答案为：.
14．答案：
解析：①当时,,
当时,单调递增,且,
当时,,
因此不存在最小值;
②当时,,
当时,,故函数存在最小值;
③当时,,
当时,单调递减,,
当时,,
而,故函数存在最小值;
④当时,,
当时,单调递减,,
当时,,
因为,
所以,因此不存在最小值.
综上,a的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：(1);或
(2)
解析：(1)由得,
解得,即,或,
当时,,或,
所以,或,
(2)若是的充分不必要条件,则A是B的真子集,
由(1)知：,
所以且等号不同时成立,解得,
即实数a的取值范围是.
16．答案：(1);第75百分位数为84,中位数为75.
(2)总平均数为;总方差为
解析：(1)因为每组小矩形的面积之和为1,
所以,
则.
成绩落在内的频率为,
落在内的频率为,
设第75百分位数为m,
由,得,故第75百分位数为84.
成绩落在[40,70)内的频率为,
成绩落在内的频率为,
故中位数在[70,80)内,由,得样本成绩的中位数为75,
(2)由图可知,成绩在的市民人数为,
成绩在的市民人数为,
故这两组成绩的总平均数为,
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：.
17．答案：(1)
(2)2百元,52百元
解析：(1)由题意,,
即;
(2)当时,,
当且仅当,即时,等号成立,所以当时,取得最大值52;
当时,,所以当时,取得最大值,最大值为
所以当投入的肥料费用为2百元时,该梨树获得的利润最大,最大利润是52百元.
18．答案：(1)真包含于;理由见解析
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)根据题意知,集合A中的元素满足
集合B中的元素满足
所以集合中的元素同时满足和
即,代入得
即中的元素满足集合C中元素的条件;
又,而,,
所以真包含于C.
(2)根据题意,,
则,
（其中,,且,）,
取,则
因为,
所以,且当时,
,
.
(3)令,
,
,
则,
,
,
所以,,,
且.
19．答案：(1),
(2)函数在区间上单调递增,证明见解析
(3)
解析：(1)由函数是定义在上的奇函数,
可知,即,则.
由,解得,
则满足题意,故,;
(2)由(1)可得,此时为奇函数,满足题意.
函数在区间上单调递增,证明如下：
任取,,且,
则
因为,所以,,
所以,即,
因此函数在区间上单调递增.
(3)由题意,函数是定义在上的奇函数,
则由,得,
即,
又函数是定义在区间上的单调递增函数,
所以,解得.
则关于m的不等式的解集为.