2023-2024学年四川省成都市九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市九年级上学期数学期中试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可．
【详解】解：A、将方程整理，得，是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、若，则方程就不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、将方程，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）二次项系数不为0．
2. 如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，( )
A. 7B. 7.5C. 8D. 4.5
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可.
【详解】∵
∴
即：

故选：D
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容并能正确的列出比例式是关键.
3. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
4. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）

A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形及正方形的判定可进行求解．
【详解】解：A、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；
B、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；
C、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故不符合题意；
D、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查矩形、菱形及正方形的判定，熟练掌握它们的判定定理是解题的关键．
5. 两个不透明盒子里分别装有3个标有数字3，4，5的小球，它们除数字不同外其他均相同，小华从两个盒子里各随机摸1个球，摸到的两个球上的数字之和为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出树状图可知共有9种等可能的结果，甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4种，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：如图：
由树状图可知共有9种等可能的结果，其中甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4种，
∴摸到球上的数字之和为奇数的概率为．
故选：C．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6. 关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣1B. k≥﹣1C. k≠0D. k＜1且k≠0
【答案】D
【解析】
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2-4ac＞0
【详解】依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．
故选：D．
7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据球队总数×每支球队需赛的场数，就可列出方程．
【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
∴方程为
故答案为：B．
8. 如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△BEF∽△DCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB的中点，
∴AB=DC=2BE，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴==，
∴DF=2BF，=()2=，
∴=，
∴S△BEF=S△DCF，S△DCB=S△DCF，
∴==，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案涂在答题卡上）
9. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
10. 已知-1是方程的一个根，则m=______，另一根为______．
【答案】 ①. 7 ②.
【解析】
【分析】先把代入方程，求得m的值，再设方程的另一个根为，利用根与系数的关系即可求解．
【详解】把代入原方程得：，得：．
方程的另一个根为，
由根与系数的关系得：
，
∴，
故，另一根为，
故答案为：7，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，注意：若是方程()的两根，则，．
11. 已知点M为线段的黄金分割点，且，若，则____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：∵点M为线段的黄金分割点，且，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查黄金分割的定义，解题的关键是熟知把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
12. 如图，中，，于点，，，则______．

【答案】3
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的判定得到，从而可根据其相似比求得结论．
【详解】解：∵在中，， ，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案：3．
13. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___．
【答案】##1.2##
【解析】
【分析】由ABGH，可得△CGH∽△CAB，从而得出=，同理可得=，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【详解】∵ABGH，
∴△CGH∽△CAB，
∴=，即=①，
同理=，即=②，
①+②，得+=+==1，
∴+=1，
解得GH=．
故答案为．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：；
（2）用配方法解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算和解一元二次方程，掌握实数运算的法则和解一元二次方程的方法是关键．
（1）先计算负指数幂、立方根、绝对值、零指数幂，进行加减运算；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
，
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

（1）作出关于轴的轴对称图形；
（2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标；
（3）请直接写出的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
（3）10
【解析】
【分析】本题考查轴对称变换，位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点位置是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质得出对应点位置，再顺次连接即可；
（2）直接利用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可，最后根据所画出图形即得出其对应坐标；
（3）用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；

由图可知，，；
【小问3详解】
的面积为，
故答案为：10．
16. 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
（2）如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 人．
（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选网名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
【答案】（1），条形统计图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；
（2）根据比赛成绩良好的占比乘以340即可求解；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：；
故答案为：；
全年级总人数为（人），
“良好”的人数为（人），
将条形统计图补充完整，如图所示：
【小问2详解】
参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：（人），
故答案为：；
【小问3详解】
画树状图，如图所示：
共有个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，
∴（选中的两名同学恰好是甲、丁）=．
【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．
17. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度．
【答案】米．
【解析】
【分析】如图（见解析），过点作于点，交于点，先根据矩形的判定与性质可得米，米，米，米，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，由此可得的长，最后根据即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
则四边形和四边形都是矩形，
，
由题意得：米，米，米，米，米，
米，米，米，米，
，
，
，即，
解得（米），
则城楼的高度为（米），
答：城楼的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
18. 已知，如图所示的四边形ABCD为菱形，AC、BD交于O，AF⊥BC于F，交于点E．
（1）求证：
（2）求证：；
（3）过点E作，若，交于点G，若菱形ABCD的面积为，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据两角对应相等来证明两个三角形相似即可；
（2）先由两角对应相等可证，再根据相似三角形对应边成比例得 ，再根据菱形的性质知OD= BD，最后可得；
（3）先由菱形面积得，再根据D，得，，设，则，BD=3m，再由求得，在中，求出，再由菱形的面积求出m，最后根据线段成比例列出GE的方程，解出方程即可．
【小问1详解】
证明：∵对顶角相等
∴
∵菱形
∴且平分与（菱形两对角线互相垂直平分）
∵
∴
∵
∴
∴（两角对应相等的两三角形相似）
【小问2详解】
由（1）得，
∴
∵菱形
∴，BD=2OD
∴即
∴，
∴（两角对应相等的两三角形相似）
∴
∴
∴．
【小问3详解】
∵菱形面积为，
∴
∵D
∴
∴
设，则,BD=3m
由（2）得：
∴
在中，，
∴
此时
（舍去负值）
则
∵，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形综合题，菱形的性质，菱形的面积，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，共20分，解答过程写答题卡上）
19. 若实数满足，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，由题意可得，将式子变形为，整体代入进行计算即可，采用整体代入的思想是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
20. 对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2=_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据新定义可得出m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1，将其代入m2+n2=（m+n）2﹣2mn中即可得出结论．
【详解】解：∵（x◆2）﹣5=x2+2x+4﹣5，
∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣1，
∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
21. 有7张正面分别标有，，，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外，其余相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使关于的分式方程有正整数解的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式求概率、分式方程的解的情况，先解分式方程得到，从而得出，，再分别计算出为，，，0，3，对应的的值，然后确定的正整数的个数，再利用概率公式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
，即，
，
解得：，
，
，
当时，，不为正整数，
当时，，不为正整数，
当时，，不为正整数，
当时，，为正整数，
当时，，不为正整数，
满足条件的的值只有个，
使关于的分式方程有正整数解的概率为，
故答案为：．
22. 如图，在中，，，，点在直线上运动，连接，在的右侧作，为的中点，连接，则的最小值为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的知识，勾股定理；过点作于点，作射线，设交于点，根据，，则，推出，根据勾股定理，求出；再根据，，推出，根据相似三角形的判定和性质，则，，，推出，则，根据，推出，则，当时，最小，根据勾股定理，求出，即可．
详解】过点作于点，作射线，设交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点的运动轨迹是射线的一部分，
∴当，最小，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

23. 在中，，，，一动点在线段上，以，为边作矩形，直线与直线，的交点分别为，，当是等腰三角形时，该三角形的腰长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的定义，矩形的性质等知识，根据矩形的性质证得，，得，进而设，表示出相关线段的长度，再由，得，由此列出方程求解，是解决问题得关键．
【详解】解：在中，，，
则，
点在线段上时，为钝角，则是等腰三角形时，只有，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，则，即：，
设，则，，，
∴，则，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即：，整理得：，
解得：，（此时点与点重合，不符合题意，应舍去）
∴，
则腰长，
故答案为：4．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 成都大运会开幕式于2023年7月28日在成都东安湖体育公园举行，大运会吉祥物为“蓉宝”， “蓉宝”的样子和形态，充分诠释了成都的新时代特点和城市魅力，吸引了无数人们的目光，因而“蓉宝”手办特别惹人喜爱．
（1）据市场调研发现，某工厂今年7月份共生产500个“蓉宝”手办，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，9月份该工厂生产了720个“蓉宝”手办，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“蓉宝”手办平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1440元，则每个“蓉宝”手办应降价多少元？
【答案】（1）
（2）每个“蓉宝”应降价4元．
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了销售问题和增长率问题，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方程．
（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求解即可；
（2）设每个“蓉宝”降价元，则每个盈利元，根据题意列出方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设该工厂平均每月生产量的增长率为，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为．
【小问2详解】
解：设每个“蓉宝”降价元，则每个盈利元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每个“蓉宝”应降价4元．
25. [基础巩固]
（1）如图1，在四边形中，对角线平分，求证：；
[尝试应用]
（2）如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连接、、，若，求的长；
[拓展提高]
（3）如图3，E是内部一点，F为边上一点，连接，已知，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）只需要证明，得到，即可证明；
（2）证明，得到，然后代值计算即可得到答案；
（3）过点C作，交的延长线于点M，证明，得到，求出，再证明，即可得到．
【详解】解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）过点C作，交的延长线于点M，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
26. 直角三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，的长是方程的两个根（）．将绕原点O顺时针旋转得到，点的对应点为，连接．点E从点D出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作轴于点F，以为斜边向左作等腰直角三角形，连接．
（1）求点的坐标；
（2）设的面积为，求S与t的关系式；
（3）在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，点的坐标为或，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出方程分别得出的长，根据旋转的性质得出，则结论可得；
（2）根据题意可得、均为等腰直角三角形，设点E运动的时间为t秒，
则，，然后分时；时；根据三角形面积公式得出关系是即可；
（3）先根据等腰直角三角形的性质得出点在射线上运动，然后分：当以C，D，G，H为顶点的正方形以为对角线时；当以C，D，G，H为顶点的正方形以为边时；两种情况进行讨论，根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质得出点的坐标，然后验证是否在射线上，若在，则点存在；若不在，则点不存在；据此解答即可．
【小问1详解】
解：，
解得：，
∵，的长是方程的两个根（），
∴，
∴点，
∵将绕原点O顺时针旋转得到，
∴，
∴点；
【小问2详解】
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵轴，
∴为等腰直角三角形，
设点E运动的时间为t秒，
则，，
当时，，
∴；
当时，，
∴，
综上所述：；
【小问3详解】
存在，点的坐标为或，
理由如下：
∵，
∴，
如图，过点作于点，
当时，点，则，
∴点，
当时，点，则，
∴点，
当时，点，则，
∴点，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
所以点在直线上，
由此可知点在射线上运动，
如图：
当以C，D，G，H为顶点的正方形以为对角线时，
，
∴，
过点作轴于点，过点作交延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点横坐标为，即，则，
∴在中，，
即，
解得：，（舍），
∴，
∴点，
∵点在射线上，
∴此正方形存在，
过点作轴于，
同理可得：，
∴，
∴点坐标为；
当以C，D，G，H为顶点的正方形以为边时，
过点作轴于点，
同理可得，
∴，
∴点，
∵点在射线上，
∴此正方形存在，
同理可得，
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求一次函数解析式等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键，注意分类讨论．