四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高一上学期期末模拟测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高一上学期期末模拟测试数学试卷（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了 已知集合，则， 下列函数中，与函数相等的是， 已知，且，则的值为， 已知，且，则的最小值是， 下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：谢兴栏，审题 李勇 丁胜杰
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合，根据对数函数的定义域化简集合，再利用并集的定义求解即可.
【详解】因为或，
，
所以或，
故选：D.
2. 下列函数中，与函数相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数相等的判断方法，即从函数定义域和对应法则一一分析即可.
【详解】的定义域为R，
对于A，，定义域为R，与不是相等函数，故A错误；
对于B，，定义域为R，与是相等函数，故B正确；
对于C，，定义域为，与不是相等函数，故C错误；
对于D，的定义域为，与不是相等函数，故D错误.
故选：B.
3. 已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用扇形面积公式列方程求半径.
【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为r，，
由题意得：扇形的面积为，可得，解得．
故选：A
4. 若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定幂函数的解析式，再求给定函数的定义域.
【详解】设幂函数，由.
所以.
由，所以所求函数定义域为：.
故选：B
5. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式即可求解.
【详解】因为，则，
又，所以，
所以.
所以.
故选：D
6. 美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年．
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由题设有，即可求参数、的值，进而判断的单调性且，即可判断植物的高度超过至少需要多少年.
【详解】依题意可得，则，解得，
∴，
因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减，
所以在上单调递增，而，，
即，
∴该植物的高度超过，至少需要年.
故选：C.
7. 已知，且，则的最小值是（ ）
A. B. 5C. D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.
【详解】，，可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为7.
故选：D.
8. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意作出分段函数的图象，根据题意结合图象，即得的取值范围.
【详解】在同一直角坐标系中，分别作出函数的图象如图：

因无解；由解得；
由解得，由解得或.
结合图象，要使函数的值域为，需使.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的值域问题，属于难题.
求解分段函数的值域单调性问题，一般采用数形结合的方法，易于发现参数的取值范围，是解决本题的一个很好的方法.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A.
B. “”是“”成立的充分不必要条件
C. 命题“”的否定是“”
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对数的运算性质判断A的真假；根据充分不必要条件的判断方法进行判断；根据存在量词命题的否定形式判断C的真假；根据对数的运算性质判断D的真假.
【详解】对A：，故A错误；
对B：由“”可得“”，但“”得不到“”，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；
对C：存在量词命题“”的否定时全称量词命题“”，故C正确；
对D：由可得，，且，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
10. 若函数，定义域为，下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称
B. ，使
C. 在和上单调递减
D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性判断A；令，求出的值和定义域比较判断B；分别在和研究函数单调性判断C；求出函数的值域判断D.
【详解】对于A，，定义域，关于原点对称，
，
所以为偶函数，关于轴对称，故A正确；
对于B，，则，
即，解得，与定义域矛盾，
所以不存在，使，故B错误；
对于C，，
因为当和，单调递增，
所以单调递减，即单调递减，故C正确；
对于D，由选项C可知，，
因为且，则且，
所以且，即且，
所以的值域为，故D错误，
故选：AC.
11. 设函数，已知在上有且仅有个零点，则以下结论中正确的是（ ）
A. 在上有且仅有3个最大值点
B. 在上有且仅有2个最小值点
C. 在上单调递增
D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】将看成整体角，根据题意得，结合正弦函数的图象观察分析求得，且易得在上有且仅有3个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由推得，根据求得的判断的范围能确保单调递增即得.
【详解】设，由，可得，作出的图象如图，要使在上有且仅有5个零点，
须使，解得：，故D项正确；
对于A项，由图可知时，，在此区间上函数有且仅有3个最大值点，故A项正确；
对于B项，由图可知时，，在此区间上，函数的最小值点可能有2个或3个，故B项错误；
对于C项，当时，，由上分析知，
则，即，
而此时单调递增，故在上单调递增，故C项正确.
故选：ACD．
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案直接填在答题卷中的横线上.
12. __________.
【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式及特殊角三角函数值即可求解.
【详解】，
故答案为：
13. 已知函数，则使得不等式成立的的取值集合为__________.
【答案】
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式，解不等式可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，
且，所以函数为偶函数；
当时，，因为当时，为增函数，为减函数，
所以在上为增函数，在上为减函数.
所以，
所以.
故答案为：
14. 已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数都有，若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】采用“赋值法”求函数值.
【详解】令得：；
令得：；
令得：；
令，得：.
所以.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设函数的定义域为，集合.
（1）求集合，并求；
（2）记集合，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数函数的性质可得，由二次不等式可得，再由集合的交集、补集的概念即可得解；
（2）转化条件为，按照、分类，运算即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
又，或，
所以；
【小问2详解】
因为是的充分条件，
所以，
当时，，解得，符合题意；
当时，则；
综上：a 的取值范围是.
16. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.

（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？
（2）当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.
【答案】（1）的长应在
（2）当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米
【解析】
【分析】（1）设出米，则米，求出矩形面积的表达式，根据矩形的面积大于32平方米解不等式可得答案；
（2）利用基本不等式求解可得答案.
【小问1详解】
设，则由与相似得
，整理得，
矩形的面积，
即，
当时，得，整理得，
解得，或，又，
所以的长应在；
【小问2详解】
时，，
当且仅当即时等号成立，
所以，
所以，当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若不等式在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域.
（2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解.
【小问1详解】
因为，
由对数函数单调性可知，当时，，
令，，函数，，
函数的开口向上，对称轴为，
由二次函数性质可知当时，，当时，，
所以可得当时，函数的值域为.
【小问2详解】
当时，，令，，
不等式，则在上有解，
即在上有解，函数在上单调递增，
当时，.
所以的取值范围是.
18. 已知函数的图像经过点，且两条对称轴间的距离的最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）当，求函数的单调递增区间；
（3）若关于的方程在上有且仅有两个实数根，求实数的取值范围，并求出的值.
【答案】（1）
（2）
（3）取值范围：，的值为：或.
【解析】
【分析】（1）由图像过点求得的值，由两条对称轴间的距离的最小值为，求得的值，从而求得函数的解析式；
（2）令求出函数的单调递增区间，然后取为和后得到在内的区间，从而写出单调递增区间；
（3）由（2）可知函数在区间上函数单调递增，在上单调递减，且存在两条对称轴分别为和，由函数大致图像得到的取值范围，并得到的值.
【小问1详解】
∵的图像经过点，
∴，∴或，
∵，∴，
令，解得，
∵两条对称轴间的距离的最小值为，
∴，且，
∴，
∴
【小问2详解】
令，
解得，
当时，，时，
又∵，∴函数的单调递增区间为.
【小问3详解】
由（2）可知函数在区间上函数单调递增，在上单调递减，
在区间内存在两条对称轴分别为和，
，，，
函数大致图像为：
∵有且仅有两个实根，即有两个交点，如图所示
由图像可知的取值范围：，
由三角函数的对称性可知的值为：或.
19. 已知函数，其中为实数.
（1）若函数的定义域为，求的取值范围；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（3）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意可得对任意都成立，分与讨论，利用判别式法列不等式即可求解.
（2）由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.；
（3）由题意，根据题意可得即可.令，则，令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可.
【小问1详解】
由题意，函数的定义域为，
则不等式对任意都成立．
①当时，得，此时函数定义域为，不合题意；
②当时，欲使不等式即对任意都成立，
则，即，解得．
综上，实数的取值范围为．
【小问2详解】
函数在区间上单调递增，
由函数在定义域内单调递增，
则函数在上单调递增，且在上恒成立，
当时，在上单调递减，且，显然不符合题意；
当时，开口向下，对称轴为，
在上单调递减，显然不符合题意；
当时，开口向上，对称轴为，
由题意得，解得．
综上a的取值范围是.
【小问3详解】
当时，．
所以当时，；
令，显然在上递增，则．
则.
令，,
若存在实数满足对任意，都存在，
使得成立，则只需.
①当即时，函数在上单调递增．
则．解得，与矛盾；
②当即时，函数在上单调递减，
在上单调递增．则，解得；
③当即时，函数在上单调递减．
则．解得，与矛盾．
综上，存在实数满足条件，其取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.