四川省德阳外国语学校2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省德阳外国语学校2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
总分：100分 考试时间：120分钟； 命题人：毛国权 审题人：何明炜
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共24分）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
直接利用集合交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选:C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“”的否定是“”.
故选：B.
3. 函数（且）的图象必过点
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据列式，求得函数图像所过定点.
【详解】当时，，则，∴函数的图像必过点.
故选B.
【点睛】本小题主要考查对数中，属于基础题.
4. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】由正切函数的定义计算即可.
【详解】由题意，得.
故选：B.
5. 若函数在上是减函数，则a的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令t＝，则由题意可得函数t在区间[-2，+∞）上为增函数且t（-2）＞0，由此解得实数a的取值范围．
【详解】令t＝，则函数g（t）t 在区间（0，+∞）上为减函数，
可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（-2）＞0，
故有，
解得﹣4≤a＜5，
故选B．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用，本题属于基础题.
6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数、对数函数的单调性可得，即可得解.
【详解】由题意，，，，
所以.
故选：B.
7. 设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，
下列结论错误的是（ ）
A. 函数存在 “和谐区间”
B. 函数存在 “和谐区间”
C. 函数不存在 “和谐区间”
D. 函数存在 “和谐区间”
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，∴存在“和谐区间”，原命题正确；B中，当时，在上是单调增函数，且在
上的值域是，∴存在“和谐区间”，原命题正确；C中，是单调减函数与没有两个交点，∴不存在“和谐区间”，原命题正确；D中，当时，是单调增函数，假设存在满足题意，则，且，即，且；∴，且，即，且；这与函数的单调性矛盾，∴假设不成立，即函数不存在“和谐区间”，原命题不正确；故选D.
考点：函数的值域.
【方法点晴】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，是易错题.属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.A、B、C中，可以找出定义域中的“和谐区间”，从而作出正确的选择.D中，假设存在“和谐区间”，会得出错误的结论.
8. 设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围.
详解】当时，，
则，
即当时，，
同理当时，；
当时，.
以此类推，当时，都有.
函数和函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，，解得，
即对任意，都有，即的取值范围是.
故选：D.
二、多选题（每小题4分，选对一个或多个得2分，全部选对得4分，选错不得分，共12分）
9. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D. 为第四象限角
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系及三角函数的符号一一判定选项即可.
【详解】，，
，，故A正确；
，故C正确；
，故B错误；
因为，且，所以为第四象限角，故D正确.
故选:ACD.
10 已知实数，，且满足，则（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为7
C. 的最大值为18D. 的最小值为1
【答案】AD
【解析】
【分析】由基本不等式可判断A、B是否正确；由可判断C；由可得，再由基本不等式化简计算，可判断D.
【详解】对于A：因为，所以，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确；
对于B：，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以最小值为6，故B不正确；
对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确；
对于D：由可得，，
所以，当且仅当即时取等号，所以D正确.
故选：AD.
11. 定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A. 是偶函数B. 在上单调递增
C. D. 任意实数都满足
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法计算可得C正确；根据奇偶性定义以及函数单调性定义可判断为奇函数，且在上单调递增，可判断A错误B正确；易知，再由奇函数性质以及单调性计算可得D正确.
【详解】对于C，令，则，所以，故C正确；
对于A，令得，所以，
即，又不恒为0，所以只能为奇函数，故A错误；
对于B，令，且，故，
因为时，，所以，
即，所以，所以在上单调递增，故B正确；
对于D，由在上成立，得，
由为增函数，所以，
又为奇函数，所以，所以，故D正确，
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数性质得出奇偶性以及单调性，再根据不等式性质判断得出结论.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题4分，共12分）
12. 幂函数在区间上单调递增，则实数m的值为______.
【答案】1
【解析】
【详解】利用幂函数的定义求出实数m，然后利用单调性进行取舍
【分析】因函数是幂函数，则，解得或，
又函数在上单调递增，则，
所以实数m的值为1.
故答案为：1
13. 若函数是上的增函数．则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性结合指数函数与一次函数单调性列不等式求解即可.
【详解】函数是上的增函数．
则可得解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
14. 设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先作出图象，利用换元法，结合题意得到方程在内有两个不同的实数根，再利用二次函数根的分布得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】作出函数的图象，如图，

令，则方程化为，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程有个不同的实数解，结合图象可知，此时，
则方程在内有两个不同的实数根，
令，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题（第15-18题每小题10分，第19题12分，共52分）
15. 化简下列各式：
（1）；
（2）
【答案】（1）1； （2）．
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解；
（2）利用诱导公式化简约分即可求解.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式．
16. 已知函数是奇函数，当时，．
（1）求及时的解析式．
（2）判断当时，的单调性，并用定义证明你的结论．
【答案】（1）时，；
（2）当时，单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，则，先求出，再根据得函数解析式，将代入得的值；
（2）利用函数单调性的定义任取，化简，与0比较，故可得到单调性
【小问1详解】
设，则，∴，
∵为奇函数，∴，
∴当时，，所以；
【小问2详解】
当时，单调递减
证明：任取，则，
∵，∴，，
∴，
∴，∴在上单调递减
17. 已知集合，．
（1）若，均有，求实数的取值范围；
（2）若，设：，，求证：成立的充要条件为．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；
（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.
【小问1详解】
．
因为，均有，所以．
当时，，满足题意；
当时，，解得，所以．
综上，，即的取值范围是．
【小问2详解】
证明：充分性：当时，则，
所以当时，，所以，为真命题，充分性成立；
必要性：若：，为真命题，则：，为假命题．
先求：，为真命题时的范围，
因，所以，由：，，得．
则或，解得或，所以．
因为：，为假命题，所以.
综上，若，则成立的充要条件为．
18. 春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元．
（1）求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
（2）当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）当游客量为60万台时，该项目年利润最大，最大利润为350万元.
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式；
（2）当时，由函数单调性求出最大值，当时，由基本不等式求出最大值，比较后得到结论.
【小问1详解】
当时，
，
当时，
，
故；
【小问2详解】
当时，
，故当万人时，取得最大值，最大值为万元，
当时，
（万元），
当且仅当，即时，等号成立，
由于，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元.
19. 若关于的一元二次方程有两个实根，则称为两根之间的距离，简称“根距”.当，其中，则称该一元二次方程有级“根距”.例如，则称该一元二次方程有2级“根距”.
（1）试用表示根距；
（2）设关于的方程有两个不等实根，判断该方程的根距是多少级？
（3）若，当时，，，求的值，
并确定一元二次方程根距级数的最小值，使至少可以取到两个整数值.
【答案】（1）
（2）级.
（3），；6
【解析】
【分析】（1）利用求根公式求出方程根，然后可表示出；
（2）根据（1）的结果表示出，采用换元法结合基本不等式求解出的最大值，由此可确定出根距的级数；
（3）先根据关于的方程的解确定出的值，然后由根距表示出的范围，根据范围内整数值的个数进行分类讨论，由此可求的最小值.
【小问1详解】
当时，，
故.
【小问2详解】
由题设，可得，
所以，
设，则，所以，
当且仅当时等号成立，
且满足，所以，
因为，所以此方程的根距是级.
【小问3详解】
由，得或，则，
因为当时，，
所以，因为，所以，，
所以关于的方程根距，
由，得，
因为，当，即时，此时少于2个整数解，
若，则仅有1个整数解，
若，则仅有1个整数解，
若，则有2个整数解和，
综上，关于的一元二次方程根距级数的最小值为6，使至少可以取到两个整数值.