人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算第二课时同步练习题

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc187329632" 1 【本节知识讲解】 PAGEREF _Tc187329632 \h 2
\l "_Tc187329633" 1.1 知识点一、向量的数量积 PAGEREF _Tc187329633 \h 2
\l "_Tc187329634" 1.2 知识点二、向量的投影 PAGEREF _Tc187329634 \h 2
\l "_Tc187329635" 1.3 知识点三、向量数量积的几何意义 PAGEREF _Tc187329635 \h 3
\l "_Tc187329636" 1.4 知识点四、向量数量积的性质 PAGEREF _Tc187329636 \h 3
\l "_Tc187329637" 1.5 知识点五、向量数量积的运算 PAGEREF _Tc187329637 \h 4
\l "_Tc187329638" 2 【本节常考题型】 PAGEREF _Tc187329638 \h 4
\l "_Tc187329639" 2.1 题型一、向量的数量积 PAGEREF _Tc187329639 \h 4
\l "_Tc187329640" 2.2 题型二、向量的模长和夹角的计算 PAGEREF _Tc187329640 \h 6
\l "_Tc187329641" 2.3 题型三、与垂直有关的问题 PAGEREF _Tc187329641 \h 7
【本节知识讲解】
知识点一、向量的数量积
平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量abcsθ叫a与b的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b=|a|⋅|b|csθ(0≤θ≤π)．并规定0与任何向量的数量积为0．
知识点剖析：
两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由csθ的符号所决定；
两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0．因为其中csθ有可能为0；
知识点二、向量的投影
如图（1），设a ， b是两个非零向量，AB=a，CD=b，作如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1 ， B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作OM=a ， ON=b．过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量．
投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ =0时投影为b；当θ =180时投影为-b；
投影向量是一个向量，当对于任意的θ∈[0 ， π]，都有OM1= |a| csθ e。
知识点三、向量数量积的几何意义
数量积a⋅b表示a的长度|a|与b在a方向上的投影bcsθ的乘积，这是a⋅b的几何意义．图所示分别是两向量a,b夹角为锐角、钝角、直角时向量b在向量a方向上的投影的情形，其中OB1=|b|csθ，它的意义是，向量b在向量a方向上的投影是向量OB1的数量，即OB1=OB1⋅a|a|．
事实上，当θ为锐角时，由于csθ>0，所以OB1>0；当θ为钝角时，由于csθ