湖南省长沙市雨花区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题试题(Word版附答案)
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这是一份湖南省长沙市雨花区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题试题(Word版附答案),共11页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.(5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|﹣1<x<3},则A∩B=( )
A.{1,2,3}B.{x|1<x<3}C.{1,2}D.{x|1≤x≤2}
2.(5分)函数y=sin的最小正周期是( )
A.B.πC.2πD.4π
3.(5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1B.y=﹣x3C.D.y=x|x|
4.(5分)已知不等式ax2+bx+c>0解集为,下列结论正确的是( )
A.a+b+c>0B.a>0C.b<0D.c<0
5.(5分)函数y=lga(x+1)(a>0,且a≠1)与函数y=x2﹣2ax+1在同一直角坐标系中的图象大致是( )
A.B.
C.D.
6.(5分)“a>3”是“函数f(x)=(a﹣1)x在R上为增函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.(5分)在△ABC中,已知bcsA=acsB,判断△ABC的形状( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形
(多选)8.(5分)已知函数f(x)=sin2x+2cs2x﹣1,下列四个结论正确的是( )
A.函数f(x)在区间[﹣,]上是增函数
B.点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C.函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到
D.若x∈[0,],则f(x)的值域为[0,]
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)
(多选)9.(5分)给定数集M,若对于任意a,b∈M,有a+b∈M,且a﹣b∈M,则称集合M为闭集合,则下列说法中不正确的是( )
A.集合M={﹣4,﹣2,0,2,4}为闭集合
B.正整数集是闭集合
C.集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合
D.若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合
(多选)10.(5分)下列不等式中正确的是( )
A.1.20.3<1.30.3B.0.20.3>0.20.2
C.lg0.31.2>lg0.31.3D.lg1.20.3>lg0.20.3
(多选)11.(5分)函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.点是f(x)的对称中心
B.直线是f(x)的对称轴
C.f(x)在区间上单调递减
D.f(x)的图象向右平移个单位得到y=cs2x的图象
三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
12.(5分)已知集合A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若A∪B=A,则m的范围是 .
13.(5分)已知α为钝角,且cs(+α)=﹣,则csα= .
14.(5分)设f(x)=,则f(5)的值是 .
四、解答题(本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知tanα,tanβ是方程3x2+5x﹣7=0的两根,求下列各式值:
(1)tan(α+β);
(2).
16.已知函数f(x)=b+lgax(x>0且a≠1)的图象经过点(8,2)和(1,﹣1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若[f(x)]2=3f(x),求实数x的值.
17.已知函数f(x)=(m+6)x2+2(m﹣1)x+m+1恒有零点.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若函数有两个不同的零点,且其倒数之和为﹣4,求实数m的值.
18.设函数f(x)=sinx+csx(x∈R).
(Ⅰ)若x∈[0,π],求函数y=f(x)的值域;
(Ⅱ)若函数y=[f(x)]2在区间(﹣m,m)(m>0)上单调递增,求实数m的取值范围.
19.已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且f(2)=3.若对任意的m,n∈[﹣2,2],m+n≠0,都有>0.
(1)若f(2a﹣1)+f(﹣a)<0,求实数a的取值范围;
(2)若不等式f(x)≤(5﹣2a)t+1对任意x∈[﹣2,2]和a∈[﹣1,2]都恒成立,求实数t的取值范围.
2024-2025学年湖南省长沙市雨花区高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|﹣1<x<3},则A∩B=( )
A.{1,2,3}B.{x|1<x<3}C.{1,2}D.{x|1≤x≤2}
解:∵A={1,2,3,4,5},B={x|﹣1<x<3},
∴A∩B={1,2}.
故选:C.
2.(5分)函数y=sin的最小正周期是( )
A.B.πC.2πD.4π
解:y=sin,
则,
故最小正周期T==.
故选:D.
3.(5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1B.y=﹣x3C.D.y=x|x|
解:由于函数y=x+1是非奇非偶函数,故排除A;
由于y=﹣x3是奇函数,且在R上是减函数,故排除B;
由于y=在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性,故排除C;
A,B,C都不对,
对于D,y=,故函数在R上递增且为奇函数;
故选:D.
4.(5分)已知不等式ax2+bx+c>0解集为,下列结论正确的是( )
A.a+b+c>0B.a>0C.b<0D.c<0
解:由于不等式ax2+bx+c>0解集为,
所以a<0;
故﹣和2为ax2+bx+c=0的两根;
所以,整理得:3a+2b=0,故;
由于a<0,所以b>0;
故a+c=0,整理得c=﹣a,所以c>0;故B、C、D错误.
所以当x=1时,a+b+c>0,故A正确;
故选:A.
5.(5分)函数y=lga(x+1)(a>0,且a≠1)与函数y=x2﹣2ax+1在同一直角坐标系中的图象大致是( )
A.B.
C.D.
解:函数y=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a,且恒过定点(0,1),观察选项可知,选项C可能符合,
若选C,则由图象可知,此时0<a<1,函数y=lga(x+1)单调递减,且恒过定点(0,0),符合题意.
故选:C.
6.(5分)“a>3”是“函数f(x)=(a﹣1)x在R上为增函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解:若f(x)在R上为增函数,则a﹣1>1,即a>2,
则a>3是a>2的充分不必要条件,
故选:A.
7.(5分)在△ABC中,已知bcsA=acsB,判断△ABC的形状( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形
解:因为在△ABC中,bcsA=acsB,
由正弦定理可知,sinBcsA=sinAcsB,
所以sin(A﹣B)=0,
因为A,B是三角形内角,
所以A=B,三角形是等腰三角形.
故选:D.
(多选)8.(5分)已知函数f(x)=sin2x+2cs2x﹣1,下列四个结论正确的是( )
A.函数f(x)在区间[﹣,]上是增函数
B.点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C.函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到
D.若x∈[0,],则f(x)的值域为[0,]
解:函数f(x)=sin2x+2cs2x﹣1=sin2x+cs2x=:
若x∈[﹣,],则∈,因此函数f(x)在区间[﹣,]上是增函数,因此A正确;
∵==sinπ=0,因此点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,B正确;
C由函数y=sin2x的图象向左平移得到y==,因此由函数y=sin2x的图象向左平移不能得到函数f(x)的图象;
若x∈[0,],则∈,∴∈,∴f(x)的值域为[﹣1,],因此D不正确.
故选:AB.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)
(多选)9.(5分)给定数集M,若对于任意a,b∈M,有a+b∈M,且a﹣b∈M,则称集合M为闭集合,则下列说法中不正确的是( )
A.集合M={﹣4,﹣2,0,2,4}为闭集合
B.正整数集是闭集合
C.集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合
D.若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合
解:根据对于任意a,b∈M,有a+b∈M,且a﹣b∈M,
对于A.当集合M={﹣4,﹣2,0,2,4}时,而2+4∉M,所以集合M不为闭集合.
对于B.设a,b是任意的两个正整数,当a<b时,a﹣b<0不是正整数,所以正整数集不为闭集合.
对于C.当M={n|n=3k,k∈Z}时,设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z,则a+b=3k1+3k2=3(k1+k2)∈M
a﹣b=3k1﹣3k2=3(k1﹣k2)∈M,所以集合M闭集合.
对于D.设A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z}是闭集合,且3∈A1,2∈A2,而2+3∉A1∪A2,此时A1∪A2不为闭集合.
所以,说法中不正确的是ABD;
故选:ABD.
(多选)10.(5分)下列不等式中正确的是( )
A.1.20.3<1.30.3B.0.20.3>0.20.2
C.lg0.31.2>lg0.31.3D.lg1.20.3>lg0.20.3
解:对于A,∵1.2<1.3,∴1.20.3<1.30.3,故A正确;
对于B,∵y=0.2x是减函数,∴0.20.3<0.20.2,故B错误;
对于C,∵y=lg0.3x是减函数,∴lg0.31.2>lg0.31.3,故C正确;
对于D,∵lg1.20.3<lg1.21=0,lg0.20.3>lg0.21=0,
∴lg1.20.3<lg0.20.3,故D错误.
故选:AC.
(多选)11.(5分)函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.点是f(x)的对称中心
B.直线是f(x)的对称轴
C.f(x)在区间上单调递减
D.f(x)的图象向右平移个单位得到y=cs2x的图象
解:由图象可得A=1,T=﹣,解得T=π,所以ω==2,
由五点作图法可得2×+φ=0,所以φ=﹣,
所以f(x)=sin(2x﹣),
因为f()=sin(2×﹣)=1,故点不是f(x)的对称中心,故A错误;
因为f()=sin(2×﹣)=0,不是最值,故直线不是f(x)的对称轴,故B错误;
当x∈时,2x﹣∈[,π]⊆[,π],所以f(x)在区间上单调递减,故C正确;
f(x)的图象向右平移个单位得到y=sin[2(x﹣)﹣]=sin(2x﹣)=cs2x的图象,故D正确.
故选:CD.
三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
12.(5分)已知集合A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若A∪B=A,则m的范围是 (﹣∞,3] .
解:分两种情况考虑:
(i)若B不为空集,可得m+1≤2m﹣1,
解得:m≥2,
∵A∪B=A,
∴B⊆A,
∵A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1<x<2m﹣1},
∴m+1≥﹣2,且2m﹣1≤5,
解得:﹣3≤m≤3,
此时m的范围为2≤m≤3;
(ii)若B为空集,符合题意,可得m+1>2m﹣1,
解得:m<2,
综上,实数m的范围为(﹣∞,3].
13.(5分)已知α为钝角,且cs(+α)=﹣,则csα= ﹣ .
解:∵cs(+α)=﹣sinα=﹣,
∴sinα=,
∵α为钝角,
∴csα=﹣=﹣.
故答案为:﹣
14.(5分)设f(x)=,则f(5)的值是 24 .
解:根据题意,f(x)=,
则f(5)=f(f(10))=f(f(f(15)))=f(f(18))=f(21)=24,
故答案为:24.
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知tanα,tanβ是方程3x2+5x﹣7=0的两根,求下列各式值:
(1)tan(α+β);
(2).
解:(1)∵tanα,tanβ是方程3x2+5x﹣7=0的两根,
∴tanα+tanβ=﹣,tanα•tanβ=﹣,
∴tan(α+β)==;
(2)===.
16.已知函数f(x)=b+lgax(x>0且a≠1)的图象经过点(8,2)和(1,﹣1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若[f(x)]2=3f(x),求实数x的值.
(1)由已知得,b+lga8=2,b+lga1=﹣1,(a>0且a≠1),
解得a=2,b=﹣1,
故f(x)=lg2x﹣1(x>0);
(2)[f(x)]2=3f(x),即f(x)=0或3,
∴lg2x﹣1=0或3,
∴x=2或16.
17.已知函数f(x)=(m+6)x2+2(m﹣1)x+m+1恒有零点.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若函数有两个不同的零点,且其倒数之和为﹣4,求实数m的值.
解:(1)当m+6=0时,m=﹣6,函数为y=﹣14x﹣5显然有零点,
当m+6≠0时,m≠﹣6,由Δ=4(m﹣1)2﹣4(m+6)(m+1)=﹣36m﹣20≥0,得m≤﹣,
∴当m≤﹣且m≠﹣6时,二次函数有零点,
综上可得,m≤﹣,即m的范围为(﹣∞,﹣].
(2)设x1,x2是函数的两个零点,则有x1+x2=﹣,x1x2=,
∵=﹣4,即=﹣4,
∴﹣=﹣4,解得m=﹣3,
当m=﹣3时,m+6≠0,Δ>0,符合题意,
∴m的值为﹣3.
18.设函数f(x)=sinx+csx(x∈R).
(Ⅰ)若x∈[0,π],求函数y=f(x)的值域;
(Ⅱ)若函数y=[f(x)]2在区间(﹣m,m)(m>0)上单调递增,求实数m的取值范围.
解:(Ⅰ)f(x)=sinx+csx=2(sinx+csx)=2sin(x+),
∵x∈[0,π],∴x+∈[,],
即当x+=时,f(x)取得最小值为f(x)=2sin=2×(﹣)=﹣,
当x+=时,f(x)取得最大值为f(x)=2sin=2,
即函数f(x)的值域为[﹣,2].
(Ⅱ)y=[f(x)]2=4sin2(x+)=4×=2﹣2cs(2x+),
由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,
得2kπ﹣≤2x≤2kπ+,k∈Z,
即kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,
即函数y=[f(x)]2的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z,
当k=0时,递增区间为[﹣,],
∵函数y=[f(x)]2在区间(﹣m,m)(m>0)上单调递增,
∴,得,得0<m≤,
即实数m的取值范围是0<m≤.
19.已知f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且f(2)=3.若对任意的m,n∈[﹣2,2],m+n≠0,都有>0.
(1)若f(2a﹣1)+f(﹣a)<0,求实数a的取值范围;
(2)若不等式f(x)≤(5﹣2a)t+1对任意x∈[﹣2,2]和a∈[﹣1,2]都恒成立,求实数t的取值范围.
解:(1)设任意的x1,x2满足﹣2≤x1<x2≤2,
由题意可得f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=•(x1﹣x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在[﹣2,2]上递增,
则f(2a﹣1)<f(a)可化为﹣2≤2a﹣1<a≤2,解得﹣≤a<1,
即a的取值范围是[﹣,1);
(2)由(1)可得f(x)≤(5﹣2a)t+1对任意x∈[﹣2,2]和a∈[﹣1,2]都恒成立,
即为f(x)max≤(5﹣2a)t+1对任意的a∈[﹣1,2]恒成立,
所以3≤(5﹣2a)t+1恒成立,即2ta﹣5t+2≤0对任意的a∈[﹣1,2]恒成立.
令g(a)=2ta﹣5t+2,a∈[﹣1,2],
只需,
解得t≥2,
所以t的取值范围是[2,+∞).
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