江苏省盐城市、南京市2024-2025学年高三上学期期末调研测试数学试题

这是一份江苏省盐城市、南京市2024-2025学年高三上学期期末调研测试数学试题，共10页。
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2025．1
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合S＝(－1，1)，集合T＝{y|y＝sin x}，则S∪T＝( )
A. ∅ B. S C. T D. R
2. 已知向量a＝(1，m)，b＝(2，－1).若a⊥b，则实数m的值是( )
A. －2 B. 2 C. － eq \f(1,2) D. eq \f(1,2)
3. 设a为实数，则“a＜1”是“(a－1)(a－2)＞0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在(1＋ eq \r(3,3) x)8的展开式中，系数为整数的项数是( )
A. 9 B. 4 C. 3 D. 2
5. 若函数f(x)＝x2－2x sin α＋1有零点，则cs 2α的取值集合为( )
A. {－1，1} B. {0} C. {1} D. {－1}
6. 设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|< eq \f(π,2) ).若f(x)的图象过点(0，1)，且f(x)在[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是( )
A. [ eq \f(5,3) ，＋∞) B. [ eq \f(11,6) ， eq \f(17,6) )
C. [ eq \f(5,3) ， eq \f(8,3) ) D. [ eq \f(11,6) ，＋∞)
7. 第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为( )
A. eq \f(5,6) B. eq \f(3,4) C. eq \f(2,3) D. eq \f(1,2)
8. 已知F1，F2是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为Q.若5QF1＋3QF2＋3 eq \(QP,\s\up6(→)) ＝0，则椭圆Ω的离心率为( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(2,5) C. eq \f(3,7) D. eq \f(3,8)
二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X(单位：克).若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，则下列说法正确的有( )
A. P(X＜600)＝ eq \f(1,2) B. P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606)
C. P(X＜595)＝P(X＞605) D. σ越小，P(X＜598)越大
10. 设z1，z2为复数，则下列说法正确的有( )
A. |z1|＋|z2|＝|z1＋z2| B. z1＋z2＝z1＋z2
C. 若|z1|＝|z2|，则z eq \\al(2,1) ＝z eq \\al(2,2) D. 若z eq \\al(2,1) ＜0，则z1为纯虚数
11. 已知曲线C：x3＋y3＝1，则下列说法正确的有( )
A. 曲线C关于直线y＝x对称
B. 曲线C关于坐标原点对称
C. 曲线C在直线x＋y＝0的上方
D. 曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于 eq \f(π,4)
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数f(x)＝x2＋ln x的图象在点(1，1)处的切线的斜率为________．
13. 已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，点E满足 eq \(PE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(PD,\s\up6(→)) .设三棱锥PACE和四棱锥PABCD的体积分别为V1和V2，则 eq \f(V1,V2) 的值为________．
14. 已知等差数列{an}的公差不为0.若在{an}的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为________．(用最简分数作答)
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分13分)
已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5.
(1) 若C＝2A，求sin A的值；
(2) 若△ABC为锐角三角形，且cs A＝ eq \f(9,16) ，求△ABC的面积．
16. (本小题满分15分)
如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABCA1B1C1中，E是棱AA1的中点，AB1⊥CE.
(1) 求证：平面A1ABB1⊥平面ABC；
(2) 若∠A1AB＝ eq \f(π,3) ，点P满足A1C1＝3A1P，求直线CP与平面A1ABB1所成角的正弦值．
17. (本小题满分15分)
已知F1，F2分别为双曲线E： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点F1到双曲线E的渐近线的距离为2 eq \r(2) ，A为双曲线E的右顶点，且AF1＝2AF2.
(1) 求双曲线E的标准方程；
(2) 若四边形ABCD为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线BD过定点．
18. (本小题满分17分)
设函数f(x)＝ax＋ka－x(k∈R，a＞0，a≠1).
(1) 当k＝4时，求f(x)的最小值．
(2) 讨论函数f(x)的图象是否有对称中心．若有，请求出对称中心；若无，请说明理由．
(3) 当k＝0时，∀x∈(－∞， eq \f(1,2) )，都有f(x)≤ eq \f(1,1－2x) ，求实数a的取值集合．
19. (本小题满分17分)
若数列{an}满足：对任意n∈N*(n≥3)，总存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，则称{an}是融积数列．
(1) 判断数列{e2n}是否为融积数列，并说明理由；
(2) 若等差数列{an}是融积数列，求数列{an}的通项公式；
(3) 若融积数列{an}单调递增，a1＝2，a2＝8，求使得an＝2123成立的n的最值．
数学参考答案及评分标准
1. C 2. B 3. A 4. C 5. D 6. B 7. A 8. D 9. AC 10. BD 11. ACD
12. 3 13. eq \f(1,6) 14. eq \f(1,2 425)
15. 解：(1) 因为C＝2A，所以sin C＝sin 2A＝2sin A cs A，(2分)
所以cs A＝ eq \f(sin C,2sin A) .
在△ABC中，由正弦定理，得 eq \f(sin C,sin A) ＝ eq \f(AB,BC) ，
而AB＝6，BC＝5，所以cs A＝ eq \f(sin C,2sin A) ＝ eq \f(AB,2BC) ＝ eq \f(3,5) .(4分)
因为A∈(0，π)，所以sin A＝ eq \r(1－cs2A) ＝ eq \r(1－（\f(3,5)）2) ＝ eq \f(4,5) .(6分)
(2)在△ABC中，因为cs A＝ eq \f(9,16) ，所以sin A＝ eq \r(1－cs2A) ＝ eq \r(1－（\f(9,16)）2) ＝ eq \f(5\r(7),16) .(8分)
由正弦定理，得 eq \f(sinC,sin A) ＝ eq \f(AB,BC) ，所以sin C＝ eq \f(AB,BC) sin A＝ eq \f(6,5) × eq \f(5\r(7),16) ＝ eq \f(3\r(7),8) .(10分)
因为△ABC为锐角三角形，所以cs C＝ eq \r(1－sin2C) ＝ eq \r(1－（\f(3\r(7),8)）2) ＝ eq \f(1,8) ，
所以sinB＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin A cs C＋cs A sin C＝ eq \f(5\r(7),16) × eq \f(1,8) ＋ eq \f(9,16) × eq \f(3\r(7),8) ＝ eq \f(\r(7),4) .(12分)
所以△ABC的面积S△ABC＝ eq \f(1,2) ×AB×BC×sin B＝ eq \f(1,2) ×6×5× eq \f(\r(7),4) ＝ eq \f(15\r(7),4) .(13分)
16. (1) 证明：取AB的中点O，连接EO，A1B，OC.
因为E为AA1中点，O为AB中点，所以EO∥A1B.
在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，则四边形ABB1A1是菱形，得AB1⊥A1B，
则AB1⊥EO.
又AB1⊥CE，EO∩CE＝E，EO，CE⊂平面EOC，
所以AB1⊥平面EOC.(2分)
又OC⊂平面EOC，所以OC⊥AB1.
因为△ABC是等边三角形，O为AB中点，所以OC⊥AB.
又OC⊥AB1，AB∩AB1＝A，AB，AB1⊂平面A1ABB1，
所以OC⊥平面A1ABB1.(4分)
又OC⊂平面ABC，
所以平面A1ABB1⊥平面ABC.(6分)
(2) 解：连接A1O.
因为∠A1AB＝ eq \f(π,3) ，AB＝AA1，所以△A1AB是等边三角形，所以A1O⊥AB.
又平面A1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，
所以A1O⊥平面ABC.(8分)
以O为坐标原点，OC，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，C( eq \r(3) ，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0， eq \r(3) )，B1(0，2， eq \r(3) ).
设C1(x，y，z)，由CC1＝BB1，解得C1( eq \r(3) ，1， eq \r(3) ).(10分)
则 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝CA1＋ eq \f(1,3) A1C1＝(－ eq \f(2\r(3),3) ， eq \f(1,3) ， eq \r(3) ).(12分)
因为平面A1ABB1的一个法向量为n＝(1，0，0)，所以cs 〈 eq \(CP,\s\up6(→)) ，n〉＝ eq \f(\(CP,\s\up6(→))·n,|\(CP,\s\up6(→))|·|n|) ＝－ eq \f(\r(30),10) .
设直线CP与平面A1ABB1所成角为θ，
则sin θ＝|cs 〈 eq \(CP,\s\up6(→)) ，n〉|＝ eq \f(\r(30),10) .(15分)
17. (1) 解：设双曲线E的焦距为2c，则F1(－c，0)，
故点F1到双曲线E的渐近线bx±ay＝0的距离为 eq \f(|bc|,\r(b2＋a2)) ＝b＝2 eq \r(2) .(2分)
由AF1＝2AF2，得c＋a＝2(c－a)，即c＝3a.(4分)
又c2＝a2＋b2，所以(3a)2＝a2＋8，解得a2＝1.
所以双曲线E的标准方程为x2－ eq \f(y2,8) ＝1.(6分)
(2) 证明：① 当直线BD的斜率不存在时，由AB⊥AD，可得直线BD的方程为x＝－ eq \f(9,7) .(7分)
② 当直线BD的斜率存在时，设直线BD的方程为y＝kx＋m，B(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立双曲线E和直线BD的方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,8)＝1，,y＝kx＋m，)) 得(8－k2)x2－2kmx－m2－8＝0.
当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8－k2≠0，,Δ＞0)) 时，x1＋x2＝ eq \f(2km,8－k2) ，x1x2＝－ eq \f(m2＋8,8－k2) .(9分)
因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，(11分)
所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0，
所以－ eq \f(（k2＋1）（m2＋8）,8－k2) ＋ eq \f(2km（km－1）,8－k2) ＋ eq \f(（8－k2）（m2＋1）,8－k2) ＝0，
所以7m2－2km－9k2＝0，(13分)
所以(m＋k)(7m－9k)＝0，即m＝－k或m＝ eq \f(9,7) k.
当m＝－k时，直线BD的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过定点A(1，0)，不合题意，舍去．
当m＝ eq \f(9,7) k时，直线BD的方程为y＝kx＋ eq \f(9,7) k＝k(x＋ eq \f(9,7) )，恒过定点(－ eq \f(9,7) ，0).
综上，直线BD恒过定点(－ eq \f(9,7) ，0).(15分)
18. 解：(1) 当k＝4时，f(x)＝ax＋4a－x≥2 eq \r(ax·4a－x) ＝4(当且仅当ax＝4a－x，即x＝lga2时取等号)，所以当x＝lga2时，f(x)取最小值4.(4分)
(2) 设点P(m，n)为函数f(x)的对称中心，则f(x)＋f(2m－x)＝2n，
所以ax＋ka－x＋a2m－x＋ka－2m＋x＝2n，即ax(1＋ka－2m)＋a－x(k＋a2m)＝2n，(6分)
所以a2x(1＋ka－2m)－2nax＋(k＋a2m)＝0，
所以1＋ka－2m＝0，k＋a2m＝0，2n＝0，
即a2m＝－k，n＝0.(7分)
所以当k≥0时，m无解，此时函数f(x)的图象没有对称中心；(8分)
当k＜0时，m＝ eq \f(1,2) lga(－k)，此时函数f(x)图象的对称中心为P( eq \f(1,2) lga(－k)，0).(9分)
(3) 当k＝0时，f(x)＝ax，所以ax≤ eq \f(1,1－2x) 在(－∞， eq \f(1,2) )上恒成立，即x ln a＋ln (1－2x)≤0.
令φ(x)＝x ln a＋ln (1－2x)，则φ(0)＝0，
所以φ′(x)＝ln a－ eq \f(2,1－2x) ，φ″(x)＝－ eq \f(4,（1－2x）2) ＜0，
所以φ′(x)在(－∞， eq \f(1,2) )上单调递减．(11分)
① 当0＜a＜1时，φ′(x)＜0，则φ(x)在(－∞， eq \f(1,2) )上单调递减，
此时当x＜0时，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去．(13分)
② 当a＞1时，令φ′(x)＝ln a－ eq \f(2,1－2x) ＝0，解得x＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ＜ eq \f(1,2) .
1°当a＝e2时， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ＝0，
所以当x∈(－∞，0)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增；
当x∈(0， eq \f(1,2) )时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，
所以当x＝0时，φ(x)取极大值，则φ(x)≤φ(0)＝0，
所以a＝e2满足题意．(15分)
2°当1＜a＜e2时， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ＜0，
所以当x∈( eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ， eq \f(1,2) )时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，
当x∈( eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ，0)时，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去．
3°当a＞e2时， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) ＞0，
所以当x∈(－∞， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) )时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，
当x∈(0， eq \f(1,2) － eq \f(1,ln a) )时，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去．
综上，实数a的取值集合为{e2}．(17分)
19. 解：(1) {e2n}是融积数列，证明如下．
设bn＝e2n，当n≥3时，取i＝1＜j＝n－1＜n，则bibj＝e2ie2j＝e2e2n－2＝e2n＝bn，
即存在i，j∈N*，i≠j，i＜n，j＜n，使得bn＝bibj，
则{e2n}是融积数列．(3分)
(2) 设等差数列{an}的公差为d.
又{an}是融积数列，所以对任意的n∈N*(n≥3)，总存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，则a3＝a1a2.(4分)
考察a4，有下列三种情况：
① 若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝a1a2，,a4＝a1a2，)) 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝0；))
② 若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝a1a2，,a4＝a1a3，)) 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝0；))
③ 若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a3＝a1a2，,a4＝a2a3，)) 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝\f(2,3)，,d＝－\f(1,6)；))
由①②③，得an＝0或an＝1或an＝－ eq \f(1,6) n＋ eq \f(5,6) .(7分)
对于an＝0，取i＝1＜j＝n－1＜n(n≥3)，则an＝0＝0×0＝aiaj，所以{an}是融积数列．
对于an＝1，同上，可得{an}也是融积数列．
对于an＝－ eq \f(1,6) n＋ eq \f(5,6) ，则a5＝0，当i＜5，j＜5时都有ai≠0，aj≠0，
故不存在i，j∈N*，使得a5＝aiaj，故{an}不是融积数列．
综上，an＝0或an＝1.(9分)
(3) 因为{an}是单调递增的融积数列，a1＝2，a2＝8，所以an＋2≤an＋1an，
所以a3＝a1a2＝24，a4≤a2a3＝27，a5≤a3a4≤211，a6≤a4a5≤218，
a7≤a5a6≤229，a8≤a6a7≤247，a9≤a7a8≤276，a10≤a8a9≤2123，
所以an＝2123≥a10.
又{an}单调递增，所以n≥10，
当以上各式等号同时成立时，a10＝2123，故nmin＝10.(13分)
因为{an}是融积数列，所以对任意的n∈N*(n≥3)，总存在i，j∈N*，使得an＝aiaj.
而a1＝2，a2＝8＝23，所以对任意的n∈N*必存在k∈N*，使得an＝2k.
又{an}是单调递增数列，所以an＋1≥2an，则 eq \f(an,an－1) · eq \f(an－1,an－2) ·…· eq \f(a3,a2) ≥2n－2(n≥3)，
则an≥2n＋1，由an＝2123≥2n＋1，得n≤122，
当an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n＋1，n≥2)) 时取等号，故nmax＝122.
综上，nmin＝10，nmax＝122.(17分)