江苏省四大名校G4苏州中学校等学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

这是一份江苏省四大名校G4苏州中学校等学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题，共9页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。

(满分：150分 考试时间：120分钟)
2024．12
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M满足∁UM＝{0，3}，则( )
A. 2∈M B. 3∈M C. 1∉M D. 4∉M
2. 若复数z＝2＋i，则 eq \f(2i,zz－1) ＝( )
A. 2i B. eq \f(1,2) i C. －2 D. eq \f(1,2)
3. 若向量a＝(m，2)，b＝(1，3)，且(a－b)∥b，则实数m＝( )
A. eq \f(4,3) B. － eq \f(4,3) C. eq \f(2,3) D. － eq \f(2,3)
4. 设等比数列{an}的公比为q.若a1＋a5＝4，a2a4＝4，则q＝( )
A. 1 B. －2 C. － eq \f(1,2) 或2 D. －1或1
5. 设x∈R，若p：|x－3|＞1，q：x2－3x＋2＜0，则p是q的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 若cs 2α＝ eq \f(3,5) ，则sin4α＋cs4α＝( )
A．－ eq \f(17,25) B. eq \f(17,25) C. － eq \f(8,25) D. eq \f(8,25)
7. 若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为( )
A. 2π B. π C. eq \f(2π,3) D. eq \f(π,2)
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P，Q分别在C的左、右两支上，且在x轴上方．
若F1P∥F2Q，PF1⊥PF2，F2Q＝3F1P，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y＝± eq \f(\r(2),4) x B. y＝± eq \f(\r(6),3) x
C. y＝± eq \f(\r(6),2) x D. y＝±2 eq \r(2) x
二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项正确的有( )
A. 若随机变量X服从两点分布，也称0－1分布，且E(X)＝ eq \f(1,2) ，则D(X)＝ eq \f(1,8)
B. 若随机变量X满足P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(k,2) C eq \\al(2－k,4) ,C eq \\al(2,6) ) ，k＝0，1，2，则E(X)＝ eq \f(2,3)
C. 若随机变量X～B(2， eq \f(1,3) )，则D(X)＝ eq \f(4,9)
D. 若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤4)＝P(X≥0)，则μ＝2
10. 设直线l1，l2分别是函数y＝|ln x|在点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)处的切线．若l1⊥l2，且直线l1，l2分别与y轴交于点C，D，则下列结论正确的有( )
A. x1x2＝1 B. y1y2＝1
C. CD＝2 D. 直线AB的斜率为2
11. 已知函数f(x)，g(x)及其导函数f′(x)，g′(x)的定义域均为R.若f(x＋2)－g(1－x)＝2，f′(x)＝g′(x＋1)，且g(x＋1)为奇函数，则下列结论正确的有( )
A. g(1)＝0
B. 函数g′(x)的图象关于直线x＝2对称
C. eq \(∑,\s\up6(2 024),\s\d4(k＝1)) g(k)＝0
D. eq \(∑,\s\up6(2 025),\s\d4(k＝1)) f(k)g(k)＝0
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ( eq \f(2,x) － eq \r(x) )6的展开式中的常数项为________．
13. 已知数列{an}的所有项均为正整数，an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(an,2)，当an为偶数时，,3an＋1，当an为奇数时．)) 若a4＝1，则a1所有可能的值为________．
14. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 eq \f(tan A,tan B) ＝2，则 eq \f(a,b＋c) 的取值范围是____________．
四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分13分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AD＝4，Q为棱PB上一点．
(1) 求证：平面PBD⊥平面ACQ；
(2) 当Q为PB的中点时，求点B到平面ACQ的距离．
16.(本小题满分15分)
某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项．已知每次抽奖抽中“幸运奖”得奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖．设甲每次抽中“幸运奖”的概率为 eq \f(1,3) ，抽中“安慰奖”的概率为 eq \f(2,3) ，且每次抽奖结果相互独立．
(1) 记甲抽奖2次所得的累计奖金为X，求X的分布列和数学期望；
(2) 求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率．
17.(本小题满分15分)
如图，已知A，B分别是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F是C的左焦点，且AF＝ eq \f(1,3) FB.过点F且不与y轴垂直的直线l与C交于P，Q两点，直线AP，BQ分别与y轴交于点M，N，△ABP面积的最大值为2 eq \r(3) .
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 求证：△FAM的面积与△FBN的面积相等．
18. (本小题满分17分)
设a∈R，已知函数f(x)＝ex－a sin x，g(x)＝ln x＋a cs x.
(1) 若a＝1，判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2) 若0＜a＜ eq \f(1,2) ，判断g(x)的零点个数，并给出证明；
(3) 若f(x)≥g(x)，求正整数a的值．
19. (本小题满分17分)
记集合M中的元素的个数为|M|.设n，k∈N*，n≥3，集合A＝{x|1≤x≤n，x∈N*}，集合Bk是A的一个子集，满足：|Bk|≥2，且Bk中的任意两个元素之和都不等于k和k＋1.
(1) 当n＝4时，写出B3的所有可能结果．
(2) 记|Bk|的最大值为mk.
① 当n＝9时，直接写出m9，并写出使得|B9|＝m9的B9；
② 求 eq \(∑,\s\up6(2n),\s\d4(k＝1)) mk的值．
数学参考答案及评分标准
1. A 2. B 3. C 4. D 5. C 6. B 7. A 8. C 9. BCD 10. AC 11. ACD
12. 60 13. 1，8 14. ( eq \f(1,2) ，1)
15. (1) 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.(1分)
又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.(3分)
因为BD∩PD＝D，BD，PD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，(5分)
又AC⊂平面ACQ，所以平面PBD⊥平面ACQ.(6分)
(2) 解：(解法1)以{ eq \(DA,\s\up6(→)) ， eq \(DC,\s\up6(→)) ， eq \(DP,\s\up6(→)) }为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则
A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，D(0，0，0)，P(0，0，4)，Q(2，2，2)，
所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(－4，4，0)， eq \(AQ,\s\up6(→)) ＝(－2，2，2)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，4，0).(8分)
设平面ACQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))·n＝－4x＋4y＝0，,\(AQ,\s\up6(→))·n＝－2x＋2y＋2z＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝y，,z＝0.)) 令y＝1，则n＝(1，1，0).(10分)
设点B到平面ACQ的距离为d， eq \(AB,\s\up6(→)) ·n＝(0，4，0)·(1，1，0)＝4，
则d＝| eq \(AB,\s\up6(→)) |·|cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ，n〉|＝| eq \(AB,\s\up6(→)) |· eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|\(AB,\s\up6(→))|·|n|) ＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|) ＝ eq \f(4,\r(2)) ＝2 eq \r(2) .(13分)
(解法2)设AC，BD交于点O.
因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点．又Q为PB的中点，所以QO∥PD.(7分)
因为PD⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以PD⊥BO，所以QO⊥BO.(9分)
因为四边形ABCD是正方形，所以BO⊥AC.
又QO∩AC＝O，QO，AC⊂平面ACQ，所以BO⊥平面ACQ.(11分)
所以BO即为点B到平面ACQ的距离．
又BO＝2 eq \r(2) ，所以点B到平面ACQ的距离为2 eq \r(2) .(13分)
16. 解：(1) X所有可能的取值为20，40，60.(2分)
且P(X＝20)＝ eq \f(2,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(4,9) ，P(X＝40)＝C eq \\al(1,2) · eq \f(1,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(4,9) ，P(X＝60)＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,9) ，(5分)
所以X的分布列为
故E(X)＝20× eq \f(4,9) ＋40× eq \f(4,9) ＋60× eq \f(1,9) ＝ eq \f(100,3) .(7分)
(2) 设“甲恰好抽奖3次后停止抽奖”为事件A，
甲恰好抽奖3次后停止抽奖，则甲累计奖金为50元或70元．(8分)
① 若甲累计奖金为50元，则甲抽中“幸运奖”1次，抽中“安慰奖”2次，
其概率为C eq \\al(2,3) ·( eq \f(2,3) )2× eq \f(1,3) ＝ eq \f(4,9) ；(11分)
② 若甲累计奖金为70元，则甲抽中“幸运奖”2次，抽中“安慰奖”1次，且第3次抽中“幸运奖”，
其概率为C eq \\al(1,2) · eq \f(1,3) × eq \f(2,3) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(4,27) .(14分)
综上，P(A)＝ eq \f(4,9) ＋ eq \f(4,27) ＝ eq \f(16,27) .
答：甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率为 eq \f(16,27) .(15分)
17. (1) 解：设椭圆C的焦距为2c(c＞0)，
由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－c＝\f(1,3)（a＋c），,\f(1,2)·2a·b＝2\r(3)，)) 又a2＝b2＋c2，(2分)
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝3，)) 故椭圆C的方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1.(5分)
(2) 证明：(解法1)由C的方程可知，左焦点为F(－1，0).
因为直线l过点F，且不与y轴垂直，所以可设l的方程为x＝my－1，
联立直线l与椭圆C的方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，)) 消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0.①
由直线l与椭圆C有两个不同的公共点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
可知方程①有两个不相等的实数根，则Δ＝144m2＋144＞0.
y1＋y2＝ eq \f(6m,3m2＋4) ，y1y2＝ eq \f(－9,3m2＋4) ，所以my1y2＝－ eq \f(3,2) (y1＋y2).(8分)
因为直线AP的方程为y＝ eq \f(y1,x1＋2) (x＋2)，令x＝0，则yM＝ eq \f(2y1,x1＋2) .
同理，yN＝ eq \f(－2y2,x2－2) .(11分)
所以 eq \f(OM,ON) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(yM,yN))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y1（x2－2）,y2（x1＋2）))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y1（my2－3）,y2（my1＋1）))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－\f(3,2)（y1＋y2）－3y1,－\f(3,2)（y1＋y2）＋y2))) ＝3.(14分)
又AF＝ eq \f(1,3) FB，所以S△FAM＝ eq \f(1,2) AF·OM＝ eq \f(1,2) BF·ON＝S△FBN，
即△FAM的面积与△FBN的面积相等．(15分)
(解法2)由C的方程可知，左焦点为F(－1，0).
连接BP，设直线BP，BQ，AP的斜率分别为k1，k2，k3，点P的坐标为(x0，y0).
因为点P在椭圆C上，且不与A，B两点重合，所以k1k3＝ eq \f(y0,x0－2) · eq \f(y0,x0＋2) ＝ eq \f(y eq \\al(2,0) ,x eq \\al(2,0) －4) ＝ eq \f(y eq \\al(2,0) ,－\f(4,3)y eq \\al(2,0) ) ＝－ eq \f(3,4) .(7分)
因为直线l过点F，所以可设l的方程为－ eq \f(1,3) (x－2)＋my＝1.①
椭圆方程可化为 eq \f(（x－2＋2）2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1，即3[(x－2)2＋4(x－2)＋4]＋4y2－12＝0.②
将①式代入②式构造齐次化方程，得3(x－2)2＋4y2＋12(x－2)[－ eq \f(1,3) (x－2)＋my]＝0.
化简，得4( eq \f(y,x－2) )2＋12m· eq \f(y,x－2) －1＝0.
所以k1，k2可以看作关于k的二次方程4k2＋12mk－1＝0的两根．
由根与系数的关系，得k1k2＝－ eq \f(1,4) ，(10分)
所以k3＝3k2.(11分)
因为直线AP的方程为y＝k3(x＋2)，直线BQ的方程为y＝k2(x－2)，
得M(0，2k3)，N(0，－2k2)，即OM＝3ON.(14分)
又AF＝ eq \f(1,3) FB，所以S△FAM＝ eq \f(1,2) AF·OM＝ eq \f(1,2) BF·ON＝S△FBN，
即△FAM的面积与△FBN的面积相等．(15分)
18. 解：(1) 若a＝1，则f(x)＝ex－sin x，f′(x)＝ex－cs x，(1分)
当x＞0时，ex＞1≥cs x，故f′(x)＝ex－cs x＞0，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．(3分)
(2) g(x)＝ln x＋a cs x，g′(x)＝ eq \f(1,x) －a sin x，0＜a＜ eq \f(1,2) ，
当0＜x＜2时，g′(x)＝ eq \f(1,x) －a sin x＞ eq \f(1,2) －a≥0，故g(x)在(0，2)上单调递增．(4分)
又g( eq \f(1,e) )＝－1＋a cs eq \f(1,e) ＜－1＋ eq \f(1,2) ＜0，g(2)＝ln 2＋a cs 2＞ln 2－ eq \f(1,2) ＞0，
故g(x)在(0，2)上存在唯一零点．(6分)
当x≥2时，g(x)＝ln x＋a cs x＞ln 2－ eq \f(1,2) ＞0恒成立．(8分)
综上，若0＜a＜ eq \f(1,2) ，g(x)有且仅有1个零点．(不写扣1分)
(3) 设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－ln x－a(sin x＋cs x)＝ex－ln x－ eq \r(2) a sin (x＋ eq \f(π,4) )，
① 若a＝1，令M(x)＝ex－x－1，M′(x)＝ex－1，令M′(x)＝0，解得x＝0.
当x＜0时，M′(x)＜0；当x＞0时，M′(x)＞0，
即M(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
又M(0)＝0，所以M(x)≥M(0)＝0，即ex≥x＋1.
同理，ln x≤x－1.
h(x)＝ex－ln x－sin x－cs x＝ex－ln x－ eq \r(2) sin (x＋ eq \f(π,4) )≥(x＋1)－(x－1)－ eq \r(2) ＝2－ eq \r(2) ＞0，
所以a＝1满足题意．(11分)
② 若a＝2，令N(x)＝ex－ln x，N′(x)＝ex－ eq \f(1,x) ，N″(x)＝ex＋ eq \f(1,x2) ＞0，
故N′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又N′( eq \f(2,3) )＝e eq \s\up6(\f(2,3)) － eq \f(3,2) ＞2 eq \f(2,3) － eq \f(3,2) ＞0，
所以，当x＞ eq \f(2,3) 时，N′(x)＞N′( eq \f(2,3) )＞0，N(x)在( eq \f(2,3) ，＋∞)上单调递增．
又 eq \f(2,3) ＜ eq \f(π,4) ＜1，所以h( eq \f(π,4) )＝e eq \f(π,4) －ln eq \f(π,4) －2 eq \r(2) ＜e－ln 1－2 eq \r(2) ＝e－2 eq \r(2) ＜0，
所以a＝2不符合题意．(14分)
③ 若a≥3，当x∈( eq \f(π,4) ， eq \f(π,2) )时，sin x＋cs x＝ eq \r(2) sin (x＋ eq \f(π,4) )∈(1， eq \r(2) )，
又 eq \f(π,4) ＜1＜ eq \f(π,2) ，所以sin 1＋cs 1＞1，h(1)＝e－a(sin 1＋cs 1)＜e－3＜0，
所以a≥3不符合题意．(16分)
综上，正整数a的值为1.(17分)
19. 解：(1) B3＝{1，4}或{2，3}或{2，4}或{3，4}或{2，3，4}．(3分)
(2) ① m9＝5.(5分)
B9＝{5，6，7，8，9}．(7分)
构造数列
9，1，8，2，7，3，6，4，5，
该数列共9项，且数列中任意相邻两项和为9或10.
若|B9|≥6，则必然会在上述数列中选出相邻两项，不符合要求，故|B9|≤5.
当|B9|＝5时，由于只能间隔取数，故选择第1，3，5，7，9项构成集合B9，
即m9＝5，且此时的集合B9的个数只有一个，是{5，6，7，8，9}．
② 当k≤n且k为奇数时，构造数列
k，1，k－1，2，k－2，3，…， eq \f(k＋3,2) ， eq \f(k－1,2) ， eq \f(k＋1,2) ，k＋1，k＋2，…，n，
在前k项与后(n－k)项中各任选一项，两项的和一定大于k＋1，所以无论前k项怎么选，都不影响后(n－k)项的选择．
对于前k项，任意相邻两项的和都为k或k＋1，所以最多选出 eq \f(k＋1,2) 项，
对于后(n－k)项，任意两项的和都大于k＋1，所以都可以选．
故mk＝ eq \f(k＋1,2) ＋(n－k)＝ eq \f(2n－k＋1,2) .
当k≤n且k为偶数时，构造数列
k，1，k－1，2，k－2，3，…， eq \f(k,2) ＋1， eq \f(k,2) ，k＋1，k＋2，…，n，
同理，前k项中最多选出 eq \f(k,2) 项，后(n－k)项都可以选，故mk＝ eq \f(2n－k,2) .(10分)
当k＞n且k为奇数时，构造数列
k－n，n，k－n＋1，n－1，…， eq \f(k－1,2) ， eq \f(k＋1,2) ，1，2，…，k－n－1，
同理，前(2n－k＋1)项中最多选出 eq \f(2n－k＋1,2) 项，后(k－n－1)项都可以选，故mk＝ eq \f(k－1,2) .
当k＞n且k为偶数时，构造数列
k－n，n，k－n＋1，n－1，…， eq \f(k,2) －1， eq \f(k,2) ＋1， eq \f(k,2) ，1，2，…，k－n－1，
同理，前(2n－k＋1)项中最多选出( eq \f(2n－k,2) ＋1)项，后(k－n－1)项都可以选，故mk＝ eq \f(k,2) .(13分)
所以，当n为偶数时，
eq \(∑,\s\up6(2n),\s\d4(k＝1)) mk＝m1＋m2＋m3＋m4＋…＋mn－1＋mn＋mn＋1＋mn＋2＋…＋m2n－2＋m2n－1＋m2n
＝n＋(n－1)＋(n－1)＋(n－2)＋…＋( eq \f(n,2) ＋1)＋ eq \f(n,2) ＋ eq \f(n,2) ＋( eq \f(n,2) ＋1)＋…＋(n－1)＋(n－1)＋n
＝ eq \f(3,2) n2；(15分)
当n为奇数时，
eq \(∑,\s\up6(2n),\s\d4(k＝1)) mk＝m1＋m2＋m3＋m4＋…＋mn－1＋mn＋mn＋1＋mn＋2＋…＋m2n－2＋m2n－1＋m2n
＝n＋(n－1)＋(n－1)＋(n－2)＋…＋ eq \f(n＋1,2) ＋ eq \f(n＋1,2) ＋ eq \f(n＋1,2) ＋ eq \f(n＋1,2) ＋…＋(n－1)＋(n－1)＋n
＝ eq \f(3n2＋1,2) .(17分)X
20
40
60
P
eq \f(4,9)
eq \f(4,9)
eq \f(1,9)