中考数学二轮复习几何专项知识精讲+基础提优训练专题04 垂直模型巩固练习（基础）（2份，原卷版+解析版）

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【解答】
【解析】过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴，
∴，
∴AD＝2AE＝．
2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B＝60°，CD＝，求AB的长．
【解答】（1）见解析；（2）8
【解析】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC平分∠DAB．
（2）连接BE交OC于点H．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝∠DAC＝30°，
∴∠EAB＝60°，
∵∠DEH＝∠EDC＝∠DCH＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，
∴EH＝CD＝，∠EHC＝90°，
∴OC⊥EB，
∴EH＝HB＝2，
∴BE＝4，
∴AB＝＝8．
3．如图，在Rt△ABC中，BC＝1，∠A＝30°．
（1）求AB的长度：
（2）过点A作AB的垂线，交AC的垂直平分线于点D，以AB为一边作等边△ABE．
①连接CE，求证：BD＝CE；
②连接DE交AB于F．求的值．
【解答】（1）2；（2）①见解析；②1
【解析】（1）∵在Rt△ABC中，BC＝1，∠A＝30°．
∴AB＝2BC＝2，
（2）①连接CD，
∵过点A作AB的垂线，交AC的垂直平分线于点D，
∴AD＝CD，∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，∠EAB＝60°，
∴∠EAC＝90°，
在△AEC与△ABD中
，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD；
②∵DQ是AC的垂直平分线，
∴QD∥BC，
∴∠AQD＝∠ABC＝60°，2AQ＝AB
∵∠QAD＝90°，
∴QD＝2AQ＝AB，
∵∠QFD＝∠EFA，
∵QD∥AE∥BC，
∴∠QDF＝∠AEF，
∴△QFD∽△AFE，
∴，
∵AE＝AB，DQ＝AB，
∴．
4．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC＝3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．
（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．
（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．
【解答】（1）直线PC与⊙O相切，理由见解析；（2）以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是
【解析】（1）直线PC与⊙O相切，
理由是：如图1，∵AC⊥MN，
∴∠ACM＝90°，
∴∠A+∠AMC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝∠NPM＝90°，
∴∠PNM+∠AMC＝90°＝∠A+∠ABP，
∴∠ABP＝∠AMC，
∵OP＝OB，
∴∠ABP＝∠OPB，
Rt△PMN中，C为MN的中点，
∴PC＝CN，
∴∠PNM＝∠NPC，
∴∠OPC＝∠OPB+∠NPC＝∠ABP+∠PNM＝∠AMC+∠PNM＝90°，
即OP⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切；
（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，
∵MN为直径，
∴∠MDN＝90°，
则∠MDC+∠NDC＝90°，
∵∠DCM＝∠DCN＝90°，
∴∠MDC+∠DMC＝90°，
∴∠NDC＝∠DMC，
则△MDC∽△DNC，
∴，即DC2＝MC•NC
∵∠ACM＝∠NCB＝90°，∠A＝∠BNC，
∴△ACM∽△NCB，
∴，即MC•NC＝AC•BC；
即AC•BC＝DC2，
∵AC＝AO+OC＝2+3＝5，BC＝3﹣2＝1，
∴DC2＝5，
∴DC＝，
∵MN⊥DD'，
∴D'C＝DC＝，
∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．
5．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．
（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．
【解答】（1）∠BPC＝90°+∠BAC，（2）∠BOC＝2∠BAC；（3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°
【解析】（1）∠BPC＝90°+∠BAC
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC；
（2）∠BOC＝2∠BAC
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC；
（3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°，
∵点P为三角形三个内角平分线的交点，
∴∠BPC＝90°+∠BAC
由∠BAC＝2∠BPC﹣180°
点O为三角形三边垂直平分线的交点
∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，
即4∠BPC﹣∠BOC＝360°．
6．如图，AB、CD、EF都垂直于直线l，AB＝12，EF＝7，BD：DF＝2：3，求CD的长．
【解答】10
【解析】如图，作EH⊥AB于H，交CD于G．
∵AB、CD、EF都垂直于直线l，
∴AB∥CD∥EF，
∵EH⊥AB，
∴EH⊥CD，
∴四边形EFBH是矩形，四边形EFDG是矩形，
∴BH＝DG＝EF＝7，BD＝HG，DF＝EG，AH＝12﹣7＝5，
∵BD：DF＝2：3，
∴HG：EG＝2：3，
∴EG：EH＝3：5，
∵CG∥AH，
∴，
∴CG＝3，
∴CD＝3+7＝10．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上．
（1）如图，若CE⊥AD于点E，求证：DC2＝DE•DA．
（2）如图，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC和AD于点F，G，P，若tan∠CAD＝，BD＝2CD，FG＝5，求线段AD的长度．
【解答】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵∠C＝90°，CE⊥AD，
∴∠ACD＝∠CED＝90°，
∵∠ADC＝∠CDE，
∴△ADC∽△CDE，
∴，
∴DC2＝DE•DA；
（2）过点B作MN∥AC，延长GF交MN于点M，延长AD交MN于点N，如图所示：
设GP＝x，
∵tan∠CAD＝，
∴AP＝PD＝2x，
∴AD＝4x，
，
∵tan∠CAD＝，
∴AC＝2CD，
AD2＝AC2+CD2＝4CD2+CD2＝5CD2＝（4x）2，
∴CD＝x，
∴AC＝x，
∵MN∥AC，
∴∠CAD＝∠BND，∠ACD＝∠NBD，
∴△ADC∽△NDB，
∴，
∴ND＝2AD＝8x，BN＝2AC＝，
同理，△APG∽△NPM，
∴，
即，
∴MN＝5x，PM＝5x，
∴BM＝，
同理，△AFG∽△BFM，
∴，
即，
∴FM＝9，
∴PF＝GF﹣GP＝5﹣x，
∴PM＝PF+FM，
即5x＝5﹣x+9，
解得：x＝，
∴．
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AB＝10，∠COD＝60°，求：
（1）弦CD的长；
（2）∠COE的度数；
（3）线段BE的长（结果用根号表示）．
【解答】（1）5；（2）∠COE＝30°；（3）5﹣
【解析】（1）∵半径OC＝OD，即△OCD为等腰三角形，
又∵∠COD＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD＝OC＝AB＝5；
（2）∵直径AB垂直于弦CD于E，
∴CE＝ED，
又∵OC＝OD，即OE为等腰△OCD的底边CD上的高，
∴OE平分∠COD（三线合一），
∵∠COD＝60°，
∴∠COE＝30°；
（3）在Rt△OCE中，
∵＝cs∠COE，
∴OE＝OC•cs∠COE
＝5•cs30°＝，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣．
9．如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC交于点E，交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠F．
（Ⅰ）求证：FD与⊙O的相切；
（Ⅱ）若AB＝10，AC＝8，求FD的长．
【解答】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）DF＝
【解析】（Ⅰ）证明：∵∠CDB＝∠CAB，∠CDB＝∠BFD，
∴∠CAB＝∠BFD，
∴FD∥AC（同位角相等，两直线平行），
∵∠AEO＝90°，
∴∠FDO＝90°，
∴FD是⊙O的一条切线；
（Ⅱ）由垂径定理可知，E是弦AC的中点，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝3，
∵AE∥DF，
∴，
∴，
∴DF＝.
10．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M．
求证：BN＝CM．
【解答】见解析
【解析】证明：∵PA平分∠BAC，PM⊥AC，PN⊥AB，
∴PM＝PN，∠N＝∠PMC＝90°，
∵PQ垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴Rt△PNB≌Rt△PMC（HL），
∴BN＝MC．
11．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD．
（1）求证：DB＝DE；
（2）尺规作图：过点D作DF垂直于BE，垂足为F；（保留作图留痕迹，不写作法）
（3）若CF＝3，求△ABC的周长．
【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）36
【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°．
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠E，
∴．
∴∠DBC＝∠E．
∴DB＝DE．
（2）如图所示．
（3）∵DF⊥BE，由（1）知，DB＝DE，
∴DF垂直平分BE．
∴在Rt△DFC中，∠CDF＝90°﹣∠DCB＝90°﹣60°＝30°．
∴DC＝2CF＝6．
∵AD＝CD，
∴AC＝2CD＝12．
∴C△ABC＝3AC＝36．
12．如图，在△ABC中，AB＞AC，边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角∠BAM平分线于点D，垂足为E，DF⊥AB，垂足为F．求证：BF＝AC+AF．
【解答】见解析
【解析】证明：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，
则DN＝DF（角平分线性质），DB＝DC（线段垂直平分线性质），
又∵DF⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DFB＝∠DNC＝90°，
在Rt△DBF和Rt△DCN中
∵，
∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）
∴BF＝CN，
在Rt△DFA和Rt△DNA中
∵，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）
∴AN＝AF，
∴BF＝AC+AN＝AC+AF，
即BF＝AF+AC．