中考数学二轮复习二次函数核心考点突破训练专题18 二次函数与几何交点问题（2份，原卷版+解析版）

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备用图
(1)求二次函数的表达式；
(3)若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：由表格可知，二次函数的图象经过点，，，代入得到
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（3）由表格可知点、，
将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到、，
由题意可得，二次函数，与线段只有一个交点，
当时，抛物线开口向上，顶点在下方，
当时，，
即，
解得，
∴，
当时，，即，
解得，
∴，
此时满足题意，
当时，抛物线开口向下，顶点在上时，，
解得，
此时满足题意，
将点代入得到，解得，
将点代入得到，解得，
∴，此时满足题意，

综上可知， 且或．
2．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值；
【详解】（1）设抛物线的解析式为，
，
，
，
把，代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为
（2）直线表达式，
直线经过定点，
将过点的直线旋转观察和新图象的公共点情况
把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的解析式为，
新图象表达式为：时，；或时，，
如下图当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，

联立，得：，
整理得：
，
，
，
，
，
时，即如上图所示，符合题意，
时，如下图所示，经过点，

不符合题意，故舍去，
如下图，当直线经过点时，和新图象有三个公共点，

把代入，得：，
解得：，
综上所述，当平面内的直线与新图象有三个公共点时，k的值为或
3．（2023·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．

(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或
【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标；
（2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标；
（3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，解得：，
抛物线表达式为，
当时，，
解得：（舍去），，
；
（2）解：设直线的表达式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的表达式为：，
点在抛物线上，
设点，
，，且由平移得到，
点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，

点在直线上，
将代入，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，
点坐标为；
（3）解：四边形是正方形，，
，，
，
点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2，
将代入，得：，
，
顶点坐标为，
①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，

，解得：；
②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，

，解得：，
综上所述，的取值范围为或．
4．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

(1)求点C，D的坐标；
(3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．
①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴；
（3）解：①当时，抛物线解析式为，，
∴，
∴，，
当时，，
∴抛物线恰好经过；
∵抛物线对称轴为直线，
由对称性可知抛物线经过，
∴点时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点；
综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；

②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴点T的纵坐标为，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
解得（舍去，因为此时点F在点D下方）

如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，
当 时，，
∴不符合题意；

综上所述，．
5．（2022·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴．
(1)求该抛物线对应的函数表达式：
(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标；
(3)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
(4)当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或或．
【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，根据对称性可得，根据，即可求解；
（3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形点在轴上时，此时与点重合，当经过抛物线的对称轴时，进而观察图像即可求解；
（4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线（b是常数）经过点
∴
解得
（2）如图，
由
则对称轴为直线，
设，则
解得
（3）点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴
，且在轴上，如图，
①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合，
的解析式为
，将代入
即
解得
观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当经过抛物线的对称轴时，
解得，
观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
综上所述，m的取值范围为或
（4）①如图，设正方形与抛物线的交点分别为，当时，则
是正方形的中心，
即
②如图，当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时，
交点的纵坐标之差为，
的纵坐标为
的横坐标为
在抛物线上，
解得
③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图，
则
即
设直线解析式为
则
解得
直线解析式为
联立
解得（舍去）
即的横坐标为，即，
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
6．（2022·湖南永州·中考真题）已知关于的函数．
(1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；
(2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围．
(3)阅读下面材料：
设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；
②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；
③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需．
综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)或，0
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；
（2）利用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论；
（3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可．
【详解】（1）根据题意，得
解之，得，所以
函数的表达式或，当时，的最小值是-8．
（2）根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以．
（3）函数的图象
图1： 即，
所以，的值不存在．
图2： 即的值.
图3： 即
所以的值不存在
图4：即
所以的值不存在．
图5：
即
所以的值为
图6：函数与轴的交点为
所以的值为0成立．
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观．
7．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．
(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；
（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．
【详解】（1）解：由翻折可知：.
令，解得：，，
∴，，
设图象的解析式为，代入，解得，
∴对应函数关系式为=．
（2）解：联立方程组，
整理，得：，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点；
（3）解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x= 对称，
∴点N的横坐标为1，∴；
如图2，当时，，此时，点纵坐标为2，
由，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以；
如图3，当时，，此时，直线的解析式为，
联立方程组：，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以，
因此，综上所述：点坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．