中考数学二轮培优训练第02讲 平面直角坐标系与图形运动（2份，原卷版+解析版）

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【必备知识】
一、平面直角坐标系的有关概念，直角坐标平面上的点与坐标之间的一一对应关系
1．在平面内取一点，过点画两条互相垂直的数轴，且使它们以点为公共原点．这样，就在平面内建立了一个直角坐标系．通常，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作轴）；另一条是铅直放置的，它的正方向向上，这条数轴叫做纵轴（记作轴）．如图所示，记作平面直角坐标系；点叫做坐标原点（简称原点），轴和轴统称为坐标轴．
建立直角坐标系的平面叫做直角坐标平面（简称坐标平面）
2．在平面直角坐标系中，点所对应的有序实数对叫做点的坐标，记作，其中叫做横坐标，叫做纵坐标．
3.平面直角坐标系的两条坐标轴把平面分成四个区域．这四个区域依次叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．同时规定，轴、轴不属于任何象限．
4．经过点且垂直于轴的直线可以表示为直线，经过点且垂直于轴的直线可以表示为直线．
二、平面直角坐标平面上点的平移、对称及简单图形的对称问题
1．一般地，如果点沿着与轴或轴平行的方向平移个单位，那么
向右平移所对应的点的坐标为；
向左平移所对应的点的坐标为；
向上平移所对应的点的坐标为；
向下平移所对应的点的坐标为．
2．一般地，在直角坐标平面内，与点关于轴对称的点的坐标为；与点关于轴
对称的点的坐标为．
3．一般地，在直角坐标平面内，与点关于原点对称的点的坐标为．
【思考】在平面直角坐标系中，点的平移和对称在坐标的变化方面有何异同？
三、平面直角坐标平面上两点间距离公式
在直角坐标平面内，平行于轴的直线上的两点、的距离；平行于轴的直线上的两点、的距离．
2．两点的距离公式：如果直角坐标平面内有两点、，它们的坐标分别为、，那么两点的距离．
【思考】两点间距离公式是如何推导的？
【注意】在运用两点间距离公式时注意坐标的符号．
【应对方法与策略】
1.对于直角坐标平面内的任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，可得点在轴上所对应的实数；再过点作轴的垂线，垂足为，可得点在轴上所对应的实数，那么有序实数对表示点，这样的有序实数对是唯一确定的．反过来，任意给定一对有序实数，可在轴上描出实数所对应的点，在轴上描出实数所对应的点；再过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，那么这两条垂线的交点表示有序实数对，这样的点也是唯一确定的．于是，平面内的每一点都有唯一的有序实数对与它对应．
2.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小；关于轴对称，两对称点在一条垂直轴的直线上，所以横坐标不变，纵坐标互为相反数，同理关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
【记忆技巧】
点的平移右加左减，上加下减；
【多题一解】
题型一： 点的坐标（共5小题）
1．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定A点位置．
【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，
∴点A（﹣1，﹣2）在第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特点是解题的关键．
2．（2022•六盘水）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是（ ）
A．狐狸B．猫C．蜜蜂D．牛
【分析】根据点的坐标解决此题．
【解答】解：由题意知，咚咚﹣咚咚对应（2，2），咚﹣咚对应（1，1），咚咚咚﹣咚对应（3，1）．
∴咚咚﹣咚对应（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚对应（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚对应（1，3），表示T．
∴此时，表示的动物是猫．
故选：B．
【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标的表示方法与意义是解决本题的关键．
3．（2022•青海）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣3，0）
【分析】根据点A坐标就可以求出线段OA的长，又因为AB＝3，所以求出CO长即可解答．
【解答】解：∵A（2，0），AB＝3，
∴OA＝2，AC＝AB＝3，
∴OC＝AC﹣OA＝3﹣2＝，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形性质的应用，解题关键是熟练掌握正负半轴表示的点的坐标的性质．
4．（2022•河池）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．﹣＜m＜0B．m＞﹣C．m＜0D．m＜﹣
【分析】根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．
【解答】解：根据题意得，
解①得m＜0，
解②得m＜．
则不等式组的解集是m＜﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
5．（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据平方数非负数判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴点P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
题型二：规律型：点的坐标（共4小题）
6．（2022•河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（，﹣1）B．（﹣1，﹣）C．（﹣，﹣1）D．（1，）
【分析】由正六边形的性质可得A（1，），再根据由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，由2022÷4＝505……2，可知点A2022与点A2重合，求出点A2的坐标可得答案．
【解答】解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，
∵AB∥x轴，
∴∠APO＝90°，
∴∠AOP＝30°，
∴AP＝1，OP＝，
∴A（1，），
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，
由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，
∴2022÷4＝505……2，
∴点A2022与点A2重合，
∵点A2与点A关于原点O对称，
∴A2（﹣1，﹣），
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣），
故选：B．
【点评】本题主要考查了正六边形的性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，根据旋转的性质确定每4次为一个循环是解题的关键．
7．（2022•济南）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，﹣1），再将O2（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为 （﹣1，﹣1） ．
【分析】根据变换的定义解决问题即可．
【解答】解：点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1），点（﹣1，﹣1）经过011变换得到点（0，1），点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为 （﹣1011，） ．
【分析】根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可求得该题结果．
【解答】解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，
∵2022÷4＝505……2，
∴点C2022在第二象限，
∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，），
点C6的坐标为（﹣3，），
点C10的坐标为（﹣5，），
……
∴点∁n的坐标为（﹣，），
∴当n＝2022时，﹣＝﹣＝﹣1011，＝＝，
∴点C2022的坐标为（﹣1011，），
故答案为：（﹣1011，）．
【点评】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律．
9．（2022•荆门）如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，……，依次进行下去，则点A20的坐标为 （1024，﹣1024） ．
【分析】写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合20＝5×4即可找出点A20的坐标．
【解答】解：当x＝1时，y＝2，
∴点A1的坐标为（1，2）；
当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，
∴点A2的坐标为（﹣2，2）；
同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，
∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），
A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）．
∵20＝5×4，
∴错误，应改为：∴点A20的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210），
即（1024，﹣1024）．
故答案为：（1024，﹣1024）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）”是解题的关键．
题型三：坐标确定位置（共2小题）
10．（2022•烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 （4，1） ．
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
“帅”所在的位置：（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点评】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
11．（2021•山西）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为 （2，﹣3） ．
【分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），
∴得出坐标轴如下图所示位置：
∴点C的坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．
题型四：坐标与图形性质（共4小题）
12．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）
【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD＝AB＝6，并证明AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC∥y轴，由此即可得到答案．
【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），
∴AB＝6，AB∥x轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，
同理可得AD∥BC∥y轴，
∵点C（3，﹣1），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．
13．（2022•台湾）已知坐标平面上有一直线L与一点A．若L的方程式为x＝﹣2，A点坐标为（6，5），则A点到直线L的距离为何？（ ）
A．3B．4C．7D．8
【分析】根据L的方程式为x＝﹣2，A点坐标为（6，5），可知A点到直线L的距离为：6﹣（﹣2），然后计算即可．
【解答】解：∵L的方程式为x＝﹣2，A点坐标为（6，5），
∴A点到直线L的距离为：6﹣（﹣2）＝6+2＝8，
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，求出点A到直线L的距离．
14．（2022•槐荫区一模）以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（ ）
A．（csα，1）B．（1，sinα）
C．（sinα，csα）D．（csα，sinα）
【分析】作PA⊥x轴于点A．那么OA是α的邻边，是点P的横坐标，为csα；PA是α的对边，是点P的纵坐标，为sinα．
【解答】解：作PA⊥x轴于点A，则∠POA＝α，
sinα＝，
∴PA＝OP•sinα，
∵csα＝，
∴OA＝OP•csα．
∵OP＝1，
∴PA＝sinα，OA＝csα．
∴P点的坐标为（csα，sinα）
故选：D．
【点评】解决本题的关键是得到点P的横纵坐标与相应的函数和半径之间的关系．
15．（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 （2，0） ．
【分析】由图象可得OB与圆的直径重合，由BO⊥AC及垂径定理求解．
【解答】解：由图象可得OB与直径重合，
∵BO⊥AC，
∴OA＝OC，
∵A（﹣2，0），
∴C（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．
题型五：坐标方法的简单应用
一、单选题
1．（2020·河北·中考真题）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（ ）
A．从点向北偏西45°走到达
B．公路的走向是南偏西45°
C．公路的走向是北偏东45°
D．从点向北走后，再向西走到达
【答案】A
【分析】根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可．
【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PH，
选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，
又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形，
∴PH=km，故选项A错误；
选项B：站在公路上向西南方向看，公路的走向是南偏西45°，故选项B正确；
选项C：站在公路上向东北方向看，公路的走向是北偏东45°，故选项C正确；
选项D：从点向北走后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH=AP=3，故再向西走到达，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．
2．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋❶的位置用有序数对(0，−1)表示，黑棋❷的位置用有序数对(−3，0)表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据黑棋①的坐标向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋③的坐标即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图，
白棋③的坐标为（-2，1）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．
3．（2022·河南开封·二模）如图是东西流向且两岸，互相平行的一段河道，在河岸有一棵小树，在河岸的琪琪观测到小树在他的北偏西方向上，则琪琪的位置可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别画出在，，，处观察小树的角度，判断即可．
【详解】解，如图，
，，，分别是
小树在点，，，处的方位角，
小树在点的北偏西方向上，
故选C．
【点睛】本题主要考查根据方位描述确定物体的位置，明确题意、熟知方位是解题的关键．
二、填空题
4．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是______．
【答案】
【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；
【详解】解：如图，
根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，
∴黄河母亲像的坐标是 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征是解题的关键．
5．（2022·浙江丽水·三模）如图，射线表示北偏西，若射线，则射线表示的方向为_________．
【答案】北偏东
【分析】求出的度数，根据方向角的概念得出答案即可．
【详解】如图
∵，
∴，
∵由射线OA表示北偏西30°，得，
∴，
∴射线OB表示的方向为北偏东，
故答案为：北偏东．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
三、解答题
6．（2020·黑龙江绥化·中考真题）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：，，，，，．）
【答案】．
【分析】先在中求出PC，进而在中即可求出PB．
【详解】解：由已知，得．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
答： B处距离观测塔约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航行中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
题型六：两点间距离公式
一．选择题（共1小题）
1．（2022•江阴市模拟）如图，半径为1的⊙O的圆心在坐标原点，P为直线y＝﹣x+2上一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP．下列结论：
①当△OAP为等腰直角三角形时，点P坐标为（1，1）；
②当∠AOP＝60°时，点P坐标为（2，0）；
③△OAP面积最小值为；
④∠APO≤45°．
其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据切线的性质可得∠OAP＝90°，根据题意设P（a，﹣a+2），利用两点间距离公式可得OP＝，当△OAP为等腰直角三角形时，可得OP＝OA＝，然后进行计算即可判断①；当∠AOP＝60°时，可求出∠APO＝30°，从而可得OP＝2OA＝2，然后进行计算即可判断②；在Rt△AOP中，利用勾股定理可得AP2＝OP2﹣OA2＝2（a﹣1）2+1，从而求出AP的最小值，然后利用三角形的面积进行计算即可判断③；在AP上取一点为C，使AC＝OA＝1，从而可求出∠ACO＝45°，然后利用③的结论可得AP≥1，从而可得∠APO≤∠ACO，即可判断④．
【解答】解：∵AP与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵点P在直线y＝﹣x+2上，
∴设P（a，﹣a+2），
∴OP＝，
当△OAP为等腰直角三角形时，
∴OA＝AP＝1，
∴OP＝OA＝，
∴＝，
∴a1＝a2＝1，
∴P（1，1），
故①正确；
当∠AOP＝60°时，
∴∠APO＝90°﹣∠AOP＝30°，
∴OP＝2OA＝2，
∴＝2，
∴a1＝0，a2＝2，
∴P（0，2）或（2，0），
故②不正确；
在Rt△AOP中，OP2＝a2+（2﹣a）2，OA2＝1，
∴AP2＝OP2﹣OA2
＝a2+（2﹣a）2﹣1
＝2a2﹣4a+3
＝2（a﹣1）2+1，
∴当a＝1时，AP2的最小值为1，
∴AP的最小值为1，
∴△OAP面积最小值＝OA•AP＝×1×1＝，
故③正确；
如图：在AP上取一点为C，使AC＝OA＝1，
∵∠OAP＝90°，
∴∠AOC＝∠ACO＝45°，
由③可得：AP≥1，
∴∠APO≤∠ACO，
∴∠APO≤45°，
故④正确，
所以，上列结论，其中正确的有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，切线的性质，等腰直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，两点间距离公式，熟练掌握二次函数的最值，以及两点间距离公式是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
2．（2022•海曙区自主招生）如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是 6 ．
【分析】连接AC，OD，DE，设E（x，y），利用90°的圆周角所对的弦是直径可得，AC是⊙D的直径，再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出CE2+BE2＝2（x2+y2）+2，OE2＝x2+y2，可得当OE为⊙D的直径时，OE最大，CE2+BE2的值最大，然后进行计算即可解答．
【解答】解：连接AC，OD，DE，
设E（x，y），
∵∠AOC＝90°，
∴AC是⊙D的直径，
∵AO＝BO＝CO＝1，
∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0），
∴AC＝，
CE2＝（x﹣1）2+y2，
BE2＝（x+1）2+y2，
∴CE2+BE2＝（x﹣1）2+y2+（x+1）2+y2＝2（x2+y2）+2，
∵OE2＝x2+y2，
∴当OE为⊙D的直径时，OE最大，CE2+BE2的值最大，
∴OE2＝AC2＝（）2＝2，
∴CE2+BE2的最大值＝2×2+2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共1小题）
3．（2021•西吉县二模）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算；
（2）根据平行于坐标轴的两点间距离公式计算；
（3）根据两点间距离公式分别求出DE、EF、DF，根据等腰三角形的概念判断即可．
【解答】解：（1）AB＝＝13；
（2）AB＝4﹣（﹣1）＝5；
（3）△DEF是等腰三角形，
理由如下：DE＝＝5，EF＝＝6，DF＝＝5，
则DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【点评】本题考查的是两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解题的关键．
题型七：数形结合思想
1．（2022•馆陶县模拟）如图，出租车司机王师傅从A地出发，要到距离A地13km的C地去，先沿：北偏东70°方向行驶了12km，到达B地，然后再从B地行驶了5km到达C地，此时王师傅位于B地的（ ）
A．北偏东20°方向上B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上
【分析】由AB＝15km，BC＝5km，AC＝13km，得出AC2＝BC2+AB2，即∠ABC＝90°，作出平行线，利用其性质和互余的性质推理即可得出．
【解答】解：过B作BD∥AE，
∵AB＝15km，BC＝5km，AC＝13km，
∴AC2＝BC2+AB2，
即∠ABC＝90°，
又∵∠DAB＝70°，
∴∠1＝90°﹣70°＝20°，
∴∠2＝∠1＝20°，
即C点在B点北偏西20°方向上，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形有关的方向角问题，解题关键在于能够利用勾股定理的逆定理和平行线的性质与解三角形进行解答．
二．填空题（共4小题）
2．（2022•惠阳区一模）等腰Rt△A1BC1，等腰Rt△A2C1C2，等腰Rt△A3C2C3…按如图所示放置，点B的横坐标为1，点A1，A2，A3，A4…在直线y＝x上，分别以A2C1，A3C2，A4C3…的中点O1，O2，O3…为圆心，A2O1，A3O2，A4O3…的长为半径画，，…依次按此作法进行下去，则的长是 22019π （结果保留π）．
【分析】根据等腰直角三角形性质，OB＝1，可得A1B＝1，A2C1＝2，A3C2＝4，A4C3＝，可以此类推，则AnCn﹣1＝2n﹣1，由分别以A2C1，A3C2，A4C3…的中点O1，O2，O3…为圆心，可得
的半径为2﹣1，的半径为4﹣2，的半径为8﹣，可以此类推，的半径为2n﹣2n﹣1，再根据是以半径为22021﹣22020的圆，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，根据等腰直角三角形性质可得，
A1B＝1，A2C1＝2，A3C2＝4，A4C3＝，
以此类推，则AnCn﹣1＝2n﹣1，
∵的半径为2﹣1，的半径为4﹣2，的半径为8﹣，
以此类推，的半径为2n﹣2n﹣1，
∴是以半径为22021﹣22020的圆，
∴＝＝＝π（22020﹣22019）＝22019π．
故答案为：22019π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，规律型问题及一次函数图象上坐标的特征，熟练掌握弧长的计算，及一次函数图象上坐标的特征，找出问题的规律进行计算是解决本题的关键．
3．（2022•浑南区一模）在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，3），直线y＝﹣2x+8交x轴于点B，交y轴于点C，第一象限内有一动点P，且满足PA＝PC+2，则△PAB周长的最小值为 4+7 ．
【分析】根据题干所给条件，利用待定系数法求出点B和点C的坐标，再利用勾股定理求出AB和BC的长度，再利用PA与PC的关系将求解PA+PB转化为求解PC+PB，即可求解．
【解答】解：如图，
∵直线y＝﹣2x+8交x轴于点B，交y轴于点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，8），
∴OB＝4，OC＝8，
∵A点坐标为（0，3），
∴OA＝3，
∴AB＝＝5，BC＝＝4，
∵第一象限内有一动点P，且满足PA＝PC+2，
∴△PAB周长＝AB+PA+PB
＝AB+PB+PC+2，
∵PB+PC≥BC，
∴PB+PC+AB+2≥BC+AB+2，
即PB+PC+AB+2≥4+7，
∴△PAB周长的最小值为4+7，
故答案为：4+7．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，最短路径等知识点，解题的关键是利用PA与PC的关系将求解PA+PB转化为求解PC+PB．
4．（2022•和县一模）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 7 米．
【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，由待定系数法求得抛物线的解析式，令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（0，1.68）代入得：
4a+2＝1.68，
解得a＝﹣0.08，
∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，
令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
5．（2022•越秀区校级二模）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y＝﹣x2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为 10 米．
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y＝0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
【解答】解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知，点A（0，），点B（8，），代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，
解得．
∴y＝﹣x2+x+，
当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．
∴该学生推铅球的成绩为10m．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
6．（2022•桂林模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）若点P是△ABC与△A1B1C1的对称中心，请直接写出点P的坐标；
（3）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△ABC放大到原来的2倍，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A1，B1，C1，描点即可．
（2）根据点P是△ABC和△A1B1C1的对称中心，即可得出点P坐标．
（3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，则把A，B，C的横坐标分别乘以﹣2得到A2，B2，C2的坐标，再描点即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）∵点P是△ABC与△A1B1C1的对称中心，
∴P（2，0）．
（3）△A2B2C2如图所示．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键．
7．（2022•深圳模拟）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点的坐标为 （2，0） ；
（2）连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 ；
（3）连接BC，将线段BC绕点D旋转一周，求线段BC扫过的面积．
【分析】（1）线段AB与BC的垂直平分线的交点为D；
（2）连接AC，先判断∠ADC＝90°，则可求的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，由此可求底面圆的半径；
（3）设BC的中点为E，线段BC的运动轨迹是以D为圆心DC、DE分别为半径的圆环面积．
【解答】解：（1）过点（2，0）作x轴垂线，过点（5，3）作与BC垂直的线，
两线的交点即为D点坐标，
∴D（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）连接AC，
∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），
∴AD＝2，CD＝2，AC＝2，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴的长＝×2π×2＝π，
∵扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，
∴π＝2πr，
∴r＝，
故答案为：；
（3）设BC的中点为E，
∴E（5，3），
∴DE＝3，
∴S＝π×（CD2﹣DE2）＝2π，
∴线段BC扫过的面积是2π．
【点评】本题考查圆锥的展开图，垂径定理，能够由三点确定圆的圆心位置，理解圆锥展开图与圆锥各部位的对应关系是解题的关键．
8．（2022•汉阳区模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC的顶点坐标分别为A（1，6），B（6，6），C（2，2），请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：
（1）画出格点A关于直线BC的对称点D，并写出点D的坐标 （6，1） ；
（2）在AB上画点E，使∠ACE＝∠ABC；
（3）在BD上画点F，使BF＝BE；
（4）在BC上画点G，使EG∥AC．
【分析】（1）取格点D，使△ABD为等腰直角三角形即可．
（2）取格点T，连接CT，交AB于点E，则点E即为所求．
（3）取格点W，连接CW，交BD于点F，使得△CDW为等腰直角三角形，则点F即为所求．
（4）取格点P，Q，连接PQ，交BC于点G，则点G即为所求．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求，点D的坐标（6，1）．
故答案为：（6，1）．
（2）如图，点E即为所求．
（3）如图，点F即为所求．
（4）如图，点G即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质，学会利用数形结合思想解决问题．
【一题多解】
题型八：利用数形结合思想分类讨论
1.（2022•宾阳县二模）如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（4，0），C（0，2）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴的右侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OA1P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）分别作出对称后的对应点，再描点即可．
（2）根据位似变换的概念作出变换后的对应点，再描点即可．
（3）直接利用三角形面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）∵△OA1P的面积为6，点P在y轴上，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换和轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换和轴对称变换的概念和性质，并据此作出变换后的对应点．
2．（2022•建平县模拟）如图，已知点A（0，8），B（16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连接AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连接PC，BC，设P（t，0）．
（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．
（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．
【分析】（1）利用平行和翻折的性质可得出答案．
（2）分别讨论t＞0和t＜0两种情况，由翻折可得∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC，再利用锐角三角函数求解．
【解答】解：（1）等腰三角形．
理由如下：
∵AP∥BC，
∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，
由翻折可得∠APO＝∠APC，OP＝PC，
∴∠BCP＝CBP，
即PC＝PB，
∴△BCP为等腰三角形．
（2）当t＞0时，如图．
由翻折可得∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，
∴∠ACP+∠PCB＝180°，
即点A，C，P三点共线，
∵A（0，8），B（16，0），
∴OA＝8，OB＝16，
∴AB＝，PB＝16﹣t，
∵sin∠ABO＝，
∴，
解得t＝4﹣4．
当t＜0时，如图．
由翻折可得AC＝AO，OP＝PC＝﹣t，
∵OA＝8，OB＝16，
∴AB＝，PB＝16﹣t，
∵sin∠ABO＝，
∴，
解得t＝﹣4﹣4．
综上所述，t的值为4﹣4或﹣4﹣4．
【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、等腰三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．