中考数学二轮培优训练第11讲 相似三角形中的“A”字模型（2份，原卷版+解析版）

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模型展示：
(1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).
(2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC).
(3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(CD,BC).

图1 图2 图3
【多题一解】
一、单选题
1．（2021·山东滨州·统考中考真题）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论①，连接DF，EN，通过SAS定理证明△MDF≌△FEN判断结论②，利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论③，利用相似三角形的判定和性质判定结论④．
【详解】解：∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ABM是等腰直角三角形，
∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°，
∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故结论①正确；
连接DF，EN，
∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ACN是等腰直角三角形，
∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°，
∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC，
∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC，
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
，
∴△MDF≌△FEN（SAS），
∴∠DMF=∠EFN，故结论②正确；
∵EF∥AB，DF∥AC，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴∠DFE=∠BAC，
又∵△MDF≌△FEN，
∴∠DFM=∠ENF，
∴∠EFN+∠DFM
=∠EFN+∠ENF
=180°-∠FEN
=180°-（∠FEC+∠NEC）
=180°-（∠BAC+90°）
=90°-∠BAC，
∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°，
∴MF⊥FN，故结论③正确；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴S△CEF=S四边形ABFE，故结论④错误，
∴正确的结论为①②③，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，题目难度适中，有一定的综合性，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是_____．
【答案】5
【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值
【详解】解：如图所示：过点C作，且，连接FG，
设，则,
当点A、F、G三点共线时，的最值小，
∵，且，
∴四边形CEFG是平行四边形；
∴，，
又∵点A、F、G三点共线，
∴，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵，
∴四边形AECF是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
又∵，，则，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得，
，所以
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵，，
∴，即最小值是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定．
3．（2021·福建厦门·福建省同安第一中学校考一模）如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则 ________．
【答案】
【分析】过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，由点A，B关于原点对称，可得OA=OB，AG=BN，可证，可求，可得，由，可求即可
【详解】解：过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，如下图：
∵
∴
由题意可得：点A，B关于原点对称，
∴OA=OB，AG=BN，
∵BN⊥y轴，MH⊥y轴，AG⊥y轴
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为2．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及了相似三角形的判定以及性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________．
【答案】2
【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．
【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，
∵在中，，
∴，
又∵，
∴ ，
∴在等腰直角三角形中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
5．（2022春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考阶段练习）如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为_______．
【答案】##
【分析】根据题意，取的中点，连接,，过点作，过点作，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，根据求解即可．
【详解】如图，取的中点，连接,，过点作，过点作，
，
，
四边形是正方形，
的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线是解题的关键．
三、解答题
6．（2021秋·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．
【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．
【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图
∵
∴
∵
∴
∴
又∵DE∥AC
∴
∴，解得
设正方形的边长为x米，如图乙
∵DE∥AB
∴
∴，解得
∵
∴乙木匠的加工方法符合要求．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
7．（2021·辽宁锦州·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）判断CD与⊙O的位置关系；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
【答案】（1）CD与⊙O相切；（2）．
【分析】（1）要判断CD与⊙O的位置关系，可连接OD，判断OD与CD能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF=OF-OE，所以要求EF，只需设法分别求出OF和OE的长度即可；由于AB是⊙O的直径，可以判断出OF与BD平行的位置关系，从而利用和，即可分别求出OF和OE的长度．
【详解】（1）CD与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADO+∠BDO=∠DAO+∠B=90°，
∵OF⊥AD，OD=OA，
∴∠AOD=2∠AOF，∠DAO=∠ODA．
∵∠AOD=2∠B，
∴∠ADC=∠B．
∴∠ADC+∠ADO=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．
∴CD与⊙O相切．
（2）设⊙O的半径为r．
在Rt△OCD中，
∵，
∴，
∴．
∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD．
∴且．
由，得，．
∴．
由，得，．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点．熟知切线的判定方法和相似三角形的判定与性质的综合运用是解题的基础；在解决问题的过程中，善于观察和思考，努力寻找和发现解决问题的方法是关键．
8．（2020秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考阶段练习）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．
（1）EF与AC的数量关系为__________．
（2）与的面积比为___________．
【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF与AC的数量关系为；（2）与的面积比为．
【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得，再根据平行线的判定即可得证；
定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得；
（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得，设，再根据三角形的面积公式分别求出与的面积，由此即可得出答案．
【详解】定理证明：点D、E分别是AB、AC的中点，
，
在和中，，
，
，
，且；
定理应用：（1），
，
在和中，，
，
，
即；
（2）如图，过点O作于点M，作于点N，
四边形ABCD是矩形，
，即，
，
点O是AC的中点，
、是的两条中位线，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即与的面积比．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键．
9．（2020·湖北武汉·统考二模）如图，AB是的直径，D为AB上一点，C为上一点，且，延长CD交于点E，连接CB．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明，利用，得到两底角相等，结合三角形的内角和定理可得答案；
（2）连接OC，OE，由， 证明，再证明，结合，设，，建立关于的方程可得答案．
【详解】解：（1）∵AB是的直径，，
∴，
∵，∴，
∴，
∴；
（2）连接OC，OE，
∵，
∴，
∵，
∴，
又．
∴．
又，
∴，
∴，
又，∴，，
设，，则，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
即．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）BE＝12．
【分析】（1）连接OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥PC，再利用垂径定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，利用垂径定理得到，根据圆周角定理得∠ACG=∠CAE，则AF=CF=5，在Rt△ADF中利用三角函数的定义可计算出DF=3，AD=4，再证明△OAH≌△OCD得到AH=CD=8，所以AE=2AH=16，然后证明Rt△ADF∽Rt△AEB，于是利用相似比可计算出BE．
【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵C是弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∴PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，
∵CG⊥AB，
∴，
∴，
∴∠ACG＝∠CAE，
∴AF＝CF＝5，
∵PC∥AE，
∴∠EAB＝∠P，
在Rt△ADF中，
∵sin∠P＝sin∠FAD＝＝，
∴DF＝3，AD＝4，
在△OAH和△OCD中,
，
∴△OAH≌△OCD（AAS），
∴AH＝CD＝5+3＝8，
∴AE＝2AH＝16，
∵∠DAF＝∠EAB，
∴Rt△ADF∽Rt△AEB，
∴DF：BE＝AD：AE，即3：BE＝4：16，
∴BE＝12．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
11．（2020·陕西·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB＝10，BF＝，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）AE＝8．
【分析】（1）连接OD、AD，由AB＝AC且∠ADB＝90°知D是BC的中点，由O是AB中点知OD∥AC，根据OD⊥DE进一步求证即可；
（2）通过证明△ODF∽△AEF，可得，据此进一步求AE的长即可．
【详解】（1）连接OD、AD，
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴D是BC的中点，
又∵O是AB中点，
∴OD∥AC，
∵OD⊥DE，
∴DE⊥AC；
（2）∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OD＝5，
∴OF＝BO+BF＝，AF＝BF+AB＝，
由（1）得OD∥AC，
∴∠ODF=∠AEF，∠F=∠F，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∴，
∴AE＝8．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
12．（2020·湖北随州·统考模拟预测）如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OA，由OA=OB，GA=GE得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA，最后得出∠GAO=90°求得答案；
（2）BC为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF∽△BCA，求得EF、BF的长，进一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的长即可．
【详解】（1）连接OA，
∵OA=OB，GA=GE
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABO+∠BEF=90°，
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE=90°，
即AG与⊙O相切．
（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴
∴EF=1.8，BF=2.4，
∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，
∴OE=．
考点：1．切线的判定；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．相似三角形的判定与性质．
13．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：
（1）当为___________时，？
（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.
（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；
（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=，根据平行线分线段成比例定理可得，可得出BE=，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；
（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得，可得PE=6-，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=，可得出BH=，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；
（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
若PQ∥AB，
∴四边形PABQ是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴8-2t=t，
∴t=，
∴当t=时，PQ∥AB；
故答案为：；
（2）如图，过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，
∵∠ADB=90°，
∴BD2=AB2-AD2=100-64=36，即BD=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠QBH，
又∵∠ADB=∠BHQ=90°，
∴△ADB∽△BHQ，
∴，即，
∴，
∵PE∥BD，
∴，即，
∴，
∴y=S四边形APQB-S△BEQ=；
（3）如图：
∵PE∥BD，
∴∠APE=∠ADB，
∵∠A=∠A，
∴△APE∽△ADB，
∴，即，
∴，
∵点E在线段PQ的垂直平分线上，
∴EQ=，
由（2）得，
∴，
∴，
Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，
∴，即t2+2t-4=0，
解得：（舍去），
∴当t=时，点E在PQ的垂直平分线上；
（4）连接FF'交AB于点N，
∵点F关于AB的对称点为F′，
∴∠FEB=∠F′EB，FN⊥EB，
∵点P，E，F′三点共线，PE∥AB，
∴∠F′EB=∠ABD，
∴∠FEB=∠ABD，
∴EF=FB，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPF=∠FQB，
∵DFP=∠BFQ，
∴△DPF∽△BQF，
∴，
∴DF=2BF，
∴2BF+BF=6，
∴BF=2，
∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，
∴△BNF∽△BDA，
∴，
∴，解得：t=，
∴存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线，t的值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
14．（2021·山东·统考三模）如图1，平行四边形的对角线，相交于点，边的垂直平分线交于点，连接，．
（1）过点作交于点，求证：；
（2）如图2，将沿翻折得到．
①求证：；
②若，，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）根据题意证明，即可证明，在根据垂直平分可得，即可证的结果；
（2）①过点作交于点，根据（1）中结论，然后证明即可；
②求证，则，据此解答即可．
【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
∵垂直平分，
∴．
∴；
（2）如图2，过点作交于点．
①证明：由（1）可知，，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②解：∵，
∴，
由翻折可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴．（负根舍去）
经检验：是原方程的根，且符合题意，
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，能够根据已知条件证明相关三角形全等和相似是解题的关键．
15．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【答案】（1）4;（2）①90°；②
【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，==4.
（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AF＝,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．（2021·山东聊城·统考一模）如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）9．
【分析】（1）连接，利用，，证得，易证，故为的切线；
（2）证得，求得，利用求得答案即可．
【详解】证明： 连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
【点睛】此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
17．（2022秋·重庆·九年级重庆市第十一中学校校考期中）中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）过点作于，通过解直角三角形可求出的长；
（2）过点作交于，通过证明，得，设，设，用和的代数式表示出和的长，即可解决问题；
（3）取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于，设，可表示出和的长，再根据的长，可求出，可求得，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，且点与点重合时，最小，再利用相似三角形的性质求出的长即可．
【详解】（1）如图，过点作于，则，
在中，，，
，，
，，，
，
又，，
，
在中，由勾股定理得：
，
；
（2）如图，过点作交于，则，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
设，
则，
设，
则，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，取的中点，连接，，其中交于，过作于，过点作于，
设，
，，
，
，
，
，
，，
，
点在以为圆心，2为半径的圆上运动，
点与点重合时，最小，
是等腰直角三角形，，
，
，
在中，由勾股定理得，
当点与点重合时，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：当最小时，的面积为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，综合性较强，对学生的逻辑思维能力要求较高，属于中考压轴题．
18．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，抛物线的表达式为，它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接交抛物线于点E，且．
(1)求点A的坐标和抛物线表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线相切，求点Q的坐标．
【答案】(1)，抛物线表达式为
(2)存在，
(3)
【分析】（1）由抛物线得对称轴为直线，过点E作轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，证出，求出点E的坐标，代入抛物线表达式即可求出a的值，进一步写出抛物线的表达式；
（2）由题意得，如图2，过点D作，垂足为点H，设点，通过，列出比例式，求出b的值即可；
（3）设，求出点B，C，D的坐标，分情况讨论：①如图3-1，点Q在左上方抛物线上，过点Q作y轴的垂线，交于点N，求出直线的解析式，由得到，由可求出m的值，即可写出Q的坐标；②如图3-2，当点Q在下方抛物线上时，过点Q作x轴的垂线交于点N，则，由可列出方程，由于方程无解，故此情况不存在．
【详解】（1）由抛物线得对称轴为直线，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过点E作轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把点代入抛物线表达式，
得，
∴抛物线表达式为；
（2）在中，，
当时，；当时，，
∴，，，
由题意得，
如图2，过点D作，垂足为点H，设点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
①如图3-1，点Q在左上方抛物线上，过点Q作y轴的垂线，交于点N，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
即，
解得（舍去），
∴；
②如图3-2，当点Q在下方抛物线上时，过点Q作x轴的垂线交于点N，
则，
∴，
即，
整理得，
，
∴方程无解，
综上所述：．
【点睛】本题考查了三角形的内心，解直角三角形，二次函数的图象及性质，切线的性质定理，三角形的面积等，综合性较强，解题的关键是能够熟练掌握各性质定理，并能灵活运用等．
19．（2020·江苏南通·统考中考真题）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
【答案】（1）；（2）BF＝3．
【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG=x，则BG=4-x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴，
∴．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得：x＝（负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴，
∴，
∴BF＝3．
【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
【一题多解】
1．（2022·山东东营·统考三模）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接AC，将三角形ABC沿AC翻折，使B点落在E点处，连接EC，AE，AE交DC于F点．
(1)求DF的长．
(2)若将△CEF沿着射线CA方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点C沿CA方向所经过的线段长度）．当点F平移到线段AD上时，如图②，求出相应的m的值．
(3)如图③，将△CEF绕点C逆时针旋转一个角a（0°＜a＜∠ECB），记旋转中的△CEF为△CE′F′，过E′作E′G⊥AD于G点，在旋转过程中，当△DCE′为等腰三角形时，求出线段E′G的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)4或
【分析】（1）利用矩形性质、折叠性质找出DF、AF之间关系，利用勾股定理解即可；
（2）利用平移性质、平行线性质，、对应边成比例，列式即可求解；
（3）分，两种情况，分别进行计算．
（1）
解：（1）如图①，
四边形是矩形，AB=8，AD=6，
‖CD，，
由折叠可知∠1=∠2，
又‖CD，
∠1=∠3，
∠2=∠3，
AF=CF，
设AF=CF= ，则DF=，
在中，，，DF=，
由勾股定理得：，
解得，
则DF=．
（2）
设平移中的三角形为△，如图②所示：
由勾股定理得：，
由（1）知，
由平移性质可知，， ，
，
又，
，
，
，
解得，
.
（3）
①当时，△DCE'为等腰三角形，
E'在DC的垂直平分线上，过E'作E'H⊥CD于点H，则四边形DGE'H为矩形，．
②当时，△DCE'为等腰三角形，
过E'作E'H⊥CD于点H，则四边形DGE'H为矩形，连接DE'，
设，则，
由勾股定理得：，
综合可得：，
，解得，
．
【点睛】本题考查折叠的性质、平移的性质、矩形的性质、等腰三角形判定、勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度，特别是第（3）问需要分类讨论，不要出现遗漏．
2．（2021秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为或．
【分析】（1）AD＝AC，∠ADC＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD =∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）；
（2）①根据AD＝AC，∠ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH =∠CDG即可；
②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得，，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=．
【详解】（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，
∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD，
∵∠GDH=∠CDA=60°，
∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°，
∴∠HDA =∠CDG，
在△ADH和△CDG中
△ADH≌△CDG（ASA）；
（2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α，
∴∠ACD=∠ADC＝α，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，
∵∠GDH=α=∠ADC，
∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α，
∴∠ADH =∠CDG，
∴△ADH∽△CDG；
②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，
∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG，
∴△AGE∽△CGD，
∴，
∴，
∵AD=AC=12，
∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12，
∴AG=3，
∴CG=AC-AG=12-3=9，
∵AC=AD=BC，CN⊥AB，
∴AN=BN=，
在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=，
∴GM∥CN，
∴△AMG∽△ANC，
∴，
∴,，
∴EM=AE-AM=，
在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=，
当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，
∵AE∥CD，
∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC，
∴△GAE∽△GCD，
∴，
∴，
∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,
∴GA=6，
∵AC=AD=BC，CN⊥AB，
∴AN=BN=，
在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=，
∵CN⊥AB， GM⊥AE，
∴GM∥CN，
∴△GMA∽△CNA，
∴，
∴，，
∴EM=AE-AM=3-，
在Rt△GME中，根据勾股定理EG=，
∴综合EG的长为或．
【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键．
3．（2020·安徽亳州·九年级统考阶段练习）在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；
（3）联结，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）的长分别为或3．
【分析】（1）由比例中项知 ，据此可证 得，再证明 可得答案；
（2）先证 ，结合 ，得 ，从而知 ，据此可得 ，由（1）得，据此知 ，求得 ；
（3）分 和 两种情况分别求解可得．
【详解】（1）证明：∵是和的比例中项
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵与互相垂直
∴
∵
∴
∴
由（1）得
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
由（1）得
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（3）∵，
又，由（1）得
∴
当与以点、、为顶点所组成的三角形相似时
1) ，如图
∴
由（2）得：
2），如图
过点作，垂足为点
由（1）得
∴
∴又
设，则，，
又
∴，解得
∴
综上所述，的长分别为或3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，利用三角形相似以及相关的等量关系来求解MN和DE的长．