中考数学二轮培优训练第12讲 相似三角形中的“手拉手”旋转型（2份，原卷版+解析版）

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模型展示：
如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Cm]
【多题一解】
一、单选题
1．（2020·四川眉山·统考中考真题）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
2．（2021·四川成都·统考二模）如图，在一个的网格中，点都在格点上，，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为____________，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）____________．
三、解答题
3．（2022春·九年级课时练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．
【探究】求证：．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)的值为______．
(2)若，则MN的长为______．
4．（2022秋·全国·九年级专题练习）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；
【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；
【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为（0°＜＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．
5．（2021·山东威海·统考模拟预测）发现规律
（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC的度数．
（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．
应用结论
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．
6．（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明：四边形CEGF是正方形；
（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝9，GH＝3，求BC的长．
7．（2022春·九年级课时练习）观察猜想
(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．
8．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题：
(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．
9．（2021·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．
10．（2022春·九年级课时练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当与的大小满足怎样的关系时，；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，（如图3），连接，．试求的值（用a，b表示）．
11．（2022秋·全国·九年级专题练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时，的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长．
12．（2020·江苏盐城·校考一模）如图1，若点P是△ABC内一点，且有∠PBC=∠PCA=∠PAB，则称点P是△ABC的“等角点”
（1）如图1，∠ABC=70°，则∠APB=
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是△ABC的“等角点”， 若∠BAC=45°
①求的值；
②求tan∠PBC的值；
13．（2020·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
14．（2020·山东枣庄·中考真题）在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求DN的长．
15．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，.
(1)观察猜想
如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．
(1)如图1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面积；
(2)如图2，过点M作与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AM翻折得，连接B'N，当B'N取得最小值时，直接写出的值．
17．（2021秋·广东深圳·九年级深圳市南山外国语学校校联考期中）（1）如图1，Rt△ABC与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，连接BD，CE．求证：．
（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC绕点A逆时针旋转90°，并放大2倍，点B对应点D．点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB＝5，连接BE，BF．求BE+BF的最小值．
18．（2021·广东深圳·统考中考真题）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．
（1）①__________；
②__________；
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：
①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）
19．（2021·重庆·统考一模）如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转．
（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；
（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值．
20．（2020·河南濮阳·统考一模）矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点．
（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：
①________；②与的等量关系为_________．
（2）拓展探究
如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（3）思维延伸
如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
21．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
22．（2020·山东威海·统考中考真题）发现规律：
（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数
（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数
应用结论：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值
【一题多解】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，和是有公共顶点直角三角形，，点P为射线，的交点．
（1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
（2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作．
（1）如图1摆放，当点在上，点在上，得知，，求的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，连结，求的面积．
（3）如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板绕着点旋转，连结、，当时，求的值．
（4）不变，当的三边长扩大一倍后，绕点旋转一周，直线与交于点，请你直接写出点所经过的运动路径．
3．（2020·山东日照·中考真题）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
4．（2020·河南·统考中考真题）将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；
当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．