中考数学二轮培优训练第17讲 解直角三角形中的“拥抱”型（2份，原卷版+解析版）

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【模型展示】
【多题一解】
一、解答题
1．（2017·陕西·中考真题）某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cs23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cs24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）
【答案】34米．
【详解】试题分析：作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
试题解析：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，∵ME﹣MD=DE=BC，∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1，∴x=，解得x≈34（米）．
答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
2．（2022秋·全国·九年级期末）如图,某幢大楼顶部有广告牌CD,小宇身高MA为1.89米,他站在立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°;接着他向大楼前进15米,站在点B处测得广告牌顶端点C的仰角为45°.
(1)求这幢大楼的高DH;
(2)求这块广告牌CD的高度.(取≈1.732,计算结果保留一位小数)
【答案】（1）楼高DH为27.9米；（2）广告牌CD的高度为4.0米.
【分析】在Rt△DME与Rt△CNE；应利用ME-NE=AB=15构造方程关系式，进而可解即可求出答案．
【详解】解:(1)在Rt△DME中,ME=AH=45;由tan 30°=,得DE=45×≈15×1.732=25.98;又因为EH=MA=1.89,故大楼DH=DE+EH=25.98+1.89=27.87≈27.9.
(2)在Rt△CNE中,NE=45-15=30,由tan 45°=,得CE=NE=30,因而广告牌CD=CE-DE=30-25.98≈4.0.
答:楼高DH为27.9米,广告牌CD的高度为4.0米.
【点睛】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.
3．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）某公园的人工湖边上有一座山，山顶上有一直竖的建筑物，高为10米.某校数学兴趣小组的同学为了测量山的高度，在公园找了一水平地面，在处测得建筑物点（即山顶）的仰角为，沿水平方向前进20米到达点，测得建筑物顶部点的仰角为，求山的高度.（结果精确到1米，参考数据：，，）
【答案】假山的高度DE约为70米．
【分析】过点D作水平线的垂线，利用直角三角形中的三角函数解答即可．
【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，
设DE的长为x米，
在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，
∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，
在Rt△ADE中，∠A＝35°，
AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，
tanA＝，
∴tan35°＝≈，
解得：x≈70，
答：假山的高度DE约为70米．
【点睛】此题是解直角三角形的应用---仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．
4．（2021·吉林·统考模拟预测）宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求柳宗元塑像的高度.
（精确到.参考数据：，，，）
【答案】柳宗元塑像的高度约为.
【分析】在中，利用正切函数的定义求得AC 的长，继而求得BC的长，在中，同样利用正切函数的定义求得CD的长，从而求得结果.
【详解】在中，
∵，，，
∴，
∴
∵
∴
在中，
∵，，，
∴，
∴
∴
答：柳宗元塑像的高度约为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－俯角仰角问题，要先将实际问题抽象成数学问题，分别在两个不同的直角三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系.
5．（2021·河南·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cs30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cs59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米
【分析】设，则，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值．
【详解】解：在Rt△ACD中，，则.
设，则
在Rt△BCD中，.
∴
∴
解得：.
在Rt△ACE中，.
∴
答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米.
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错．
6．（2020·四川眉山·统考中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度．
【答案】小山的高度为米
【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高．
【详解】解：设为米，则米，∵ ∴，而米，
在中，，
则米，米，
在中，，
解得．
答：小山的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键．
7．（2021秋·云南昆明·九年级云南师大附中校考期末）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cs34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）
【答案】炎帝塑像DE的高度约为64m．
【分析】根据正切的定义用x表示出BC，再根据正切的定义求出AC，结合图形列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设DE=xm，则DC=(x+54)m，
在Rt△DCB中，tan∠DBC=，
∴BC===(x+54)，
在Rt△ECA中，tanA=，
∴AC=≈=90，
由题意得，90﹣(x+54)=22，
解得，x≈64，
答：炎帝塑像DE的高度约为64m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（2020·山西太原·统考模拟预测）山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．
任务：
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：，，，，，
）
（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器测出仰角，再测出的长来计算塑像高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【答案】（1）毛主席塑像的高度为；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出．
【分析】（1）根据题意ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，可推得四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形，其中BG=CE=1.70m，，EG=DF，在AEG和ADF分别用正切函数写出对应边的式子，即可求得AG的长度，则AB的长度可求；
（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC．
【详解】解：（1）由题意，得ABBC，CEBC，ABEG，ABDF，
∴，
∴四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形，
∴BG=CE=1.70m，，EG=DF，
在AEG中，∠AEG=33.5°，∠AGE=90°，
且，即，
在ADF中，∠ADF=35.0°，∠AFD=90°，
，即，
∴，即，
解得：AG=10.56m，
∴AB=AG+BG=10.56+1.70=12.26m，
答：毛主席塑像的高度为12.26米．
（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC．
【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，解题的关键是找出两个直角三角形，并运用正切函数写出对应边的比例式子．
9．（2021秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°；前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，再前进4米后到达景区指示牌底部A处，求指示牌的高MN长（结果精确到0.1米，=1.414，=1.732）
【答案】MN2.9米
【分析】通过两次解直角三角形计算出AN和AM，再根据AM-AN即可求出MN的长
【详解】解：∵汽车由东西行驶到C处，测得景区指示牌的上沿M处仰角为30°，
∴∠MCA=30°，
∵前进8米后到达B处，测得景区指示牌的下沿N处仰角为45°，
∴BC=8m，∠
∵前进4米后到达景区指示牌底部A处，
∴AB=AN=4m
∴AC=AB+BC=4+8=12m
∵∠ACM=30°
∴
∴
∵=1.732
∴（米）
答：指示牌的高MN长约为2.9米．
【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
课题
测量毛主席塑像的高度组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
测倾器，皮尺等
成员
测量工具
测量示意图
说明：线段的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，为测点，线段，表示测倾器（点在上），点，，，，都在同一竖直平面内，且，；、表示两次测量的仰角，点，在上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
的度数
的度数
测倾器的高
测倾器的高