中考数学二轮培优训练专题12 半角模型（2份，原卷版+解析版）

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基本模型：
1）90°的半角模型（常考）
已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：
①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE ③C∆CEF=2倍正方形边长
④S∆ABE +S∆ADF =S∆AEF ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）
⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点
⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA ⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆
⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形 (11) EF=OP
(12) S∆AEF=2S∆APO (13)AB2=BP×OD
(14)CE•CF=2BE•DF (15) ∆EPC为等腰三角形
(16) PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)
证明：
①思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM
先根据已知条件∆ABE ≌ ∆ADM (SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM
而∠BAE+∠FAD =45°，所以∠DAM+∠FAD =45°，可证明∆AEF ≌ ∆AMF (SAS)，
由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF
②思路：∵∆AEF ≌ ∆AMF (SAS) ∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF
∴AF平分∠DFE 又∵∠AMF=∠AEB
∴∠AEB=∠AEF ∴AE平分∠BEF
③思路：C∆CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+ EC）+（DF+ FC）=BC+DC=2BC
④、⑤思路：过点A作AG⊥EF，垂足为点G
根据②证明过程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG
因此可以证明: ∆ABE ≌ ∆AGE (AAS), ∆AGF ≌ ∆ADF(AAS)
所以AB=AG=AD，S∆ABE =S∆AGE，S∆AGF =S∆ADF
则S∆AEF= S∆AGE+ S∆AGF= S∆ABE + S∆ADF
⑥思路：绕点A将∆APD逆时针旋转90°得到∆ANB ,使AD，AB重合
因为∆APD ≌ ∆ANB (AAS) 所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN
因为∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°
因为∠BAE+∠PAD=45° 所以∠NAB+∠BAE=45°
则∆ANO ≌ ∆APO (SAS) 所以NO=OP
在Rt∆NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2 ，则OP2=OB2+OD2
⑦思路：已知tan∠EAB=∠EAB+∠FAD=45°
∴tan∠FAD，∴DF:AD=1:3，即点F为CD的三等分点。
⑧思路：假设∠AEF的度数为α，∠AFE的度数为β。
在右图中已知表示45°角，表示角的度数为α，表示角的度数为β
所以∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA
⑨、⑩思路：1）∵∠EAP=∠EBO=45°，∴ABEP四点共圆
∵∠EBA =90°，∴AE为直径，∴∠APE=90° 则AP⊥PE
∴∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=45° ∴∆APE为等腰直角三角形
2）同理AOFD四点共圆， ∵∠ADF =90°，∴AF为直径，∴∠AOF=90° 则AO⊥OF
∴∠AFO=180°-∠AOF-∠OAF=45° ∴∆AOF为等腰直角三角形
3)∵∠EOF=∠EPF= ∠ECF =90°，∴OECFP五点共圆
(11) 思路：∵∆APO∽∆AEF ∴ ,假设AP长为1，则AE=,∴EF=OP
(12) 思路：∆APO∽∆AEF 相似比为，则面积的比为 ，S∆AEF=2S∆APO
(13) 思路：∵∆ABP∽∆ODA ∴ ,∴AB×AD=BP×OD 则AB2=BP×OD
(14) 思路：假设正方形的边长为m，BE长为a，DF长为b，则EF长为a+b
根据勾股定理可得EC2+FC2=EF2 ,则(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2
化简得(m-a)(m-b)=2ab 所以CE•CF=2BE•DF
(15) 思路：根据⑩证明过程可知∆APE为等腰直角三角形，所以AP=PE
再证明∆ADP ≌ ∆CDP (SAS)，所以AP=PC，
则PE=PC 所以∆EPC为等腰三角形
(16) 思路：过点E作EX⊥BD，垂足为点X, 过点A作AY⊥BD，垂足为点Y，连接PE
先证明∆APY ≌ ∆PEX (AAS) (“一线三垂直模型”)，所以AY=PX
∵AY= ,∴PX= 所以BX+DP= PX=
2）120°半角模型
模型一：已知∆ABC为等边三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，
则MN=BM+NC
证明(思路)：延长AC至点E，使CE=BM连接DE
先证明∆MBD ≌ ∆ECD (SAS)，所以DM=DE，BM=CE，∠BDM=∠CDE
∵∠BDC=120°，∠MDN=60 ∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠CDE +∠CDN=60°则∠EDN=60°
再证明∆DNM ≌ ∆DNE (SAS) ∴MN=NE 而NE=NC+CE 所以MN= NC+MB
模型二：已知∆ABC为等边三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，
则MN=NC-BM
证明(思路)：线段AC取一点E，使CE=BM连接DE、MN
先证明∆MBD ≌ ∆ECD (SAS)，所以DM=DE，∠BDM=∠CDE
∵∠BDC=120°，∠MDN=60 ∴∠BDN+∠CDE=60°
∴∠EDN=120°-∠BDN-∠CDE=60°
再证明∆NBD ≌ ∆NED (SAS) ∴MN=NE 而NE=NC-CE 所以MN= NC-MB
3）135°半角模型
在Rt∆ABC中，点E、点D分别为AB、AC边上动点，四边形AEFD是正方形，
且∠BFC=135°，则CB=CD+BE
证明(思路)：延长DA至点M，使DM=BE，连接FM
先证明∆FDM ≌ ∆FEB(SAS)，所以BF=FM，∠DFM=∠2
∵∠1+∠2=360°-90°-135°=135°
∴∠1+∠DFM =135°则∠CFM=∠CFB
再证明∆CMF ≌ ∆CBF(SAS), ∴MC=BC 则CB=CD+BE
【提高测试】
1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36B．21C．30D．22
2．（2022·安徽·校联考一模）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．②③C．②③④D．③④
4．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
5．（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____．
6．（2022春·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______．
7．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，点在边上，．若，则的长为__________．
8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．
9．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．
10．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．
11．（2021·湖北黄石·统考中考真题）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．
（1）若正方形的边长为2，则的周长是______．
（2）下列结论：①；②若是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．
12．（2022秋·江苏·八年级期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
13．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E．
(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E；
(2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）
14．（2022春·陕西西安·七年级统考期末）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．
实际应用：
如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．
15．（2022·全国·九年级专题练习）折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
(1)∠EAF＝ °，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；
(2)转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ；
(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则 ；
(4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．求证：BM2＋DN2＝MN2．
16．（2022秋·八年级课时练习）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
17．（2022秋·全国·八年级期中）如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面积．
（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．
18．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；
（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．
19．（2022秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．
（1）如图①，，，．求证：；

（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；
（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．
20．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： ＋ ＝ ．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
21．（2022秋·八年级课时练习）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；
（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；
（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
22．（2021春·河南安阳·八年级统考期中）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）
23．（2022秋·全国·八年级专题练习）（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．
24．（2022秋·八年级课时练习）如图，，，，，．
（1）求的度数；
（2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．
25．（2022秋·八年级课时练习）如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．
（1）如图①，当时，则的周长为______；
（2）如图②，求证：．
26．（2020秋·四川成都·八年级统考期末）已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式；
（3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论．
27．（2015·辽宁本溪·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°