中考数学二轮培优训练专题15 海盗埋宝模型（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮培优训练专题15 海盗埋宝模型（2份，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮培优训练专题15海盗埋宝模型原卷版doc、中考数学二轮培优训练专题15海盗埋宝模型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。

模型数学概述：如图，∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形，点B、
C为直角顶点，连接DE，点F为DE的中点，连接BF、CF，
则∆BFC为等腰直角三角形，点F为直角顶点。
证明方法一：
1)如右图，延长BF至点P，使得BF=FP，连接PE、PC，延长PE交AB于点Q
连接BC
∵ 点F为DE的中点 ∴DF=EF
在∆BDF和∆PEF中
BF=FP
∠BFD=∠PFE ∴∆BDF≌∆PEF（SAS） ∴BD=PE ∠DBF=∠EPF
DF=EF
∴BD‖PE ∴∠DBA=∠EQA
∵∆ABD和∆ACE是等腰三角形 ∴AB=BD ∠DBA=90°AC=AE ∠ACE=90°
∴AB=PE ∠DBA=∠EQA=90°
在四边形EQAC中
∵∠EQA +∠ECA =90° + 90°= 180°
∴∠QAC +∠QEC =360°-180°= 180°
又∵∠PEC +∠QEC= 180° ∴∠QAC=∠PEC
在∆BAC和∆PEC中
AB=PE
∠BAC=∠PEC ∴∆BAC≌∆PEC（SAS） ∴BC=PC ∠ACB=∠ECP
AC=AE
∴∠ACB+∠BCE=∠ECP+∠BCE 即∠ACE=∠BCP=90°
∴∆BCP为等腰直角三角形 又∵BF=PE
∴CF⊥BP CF=BF
∴∆BFC为等腰直角三角形
2) 如右图，延长BF至点P，使得BF=FP，连接PE、PC，延长PE交AB延长线于点Q，PQ与AC边相交于点G,连接BC
∵PQ‖BD ∴∠Q=90°
∴∠QAG=∠GEC （8字模型）
∴∠BAC=∠PEC
其它证明过程相同
证明方法二（思路）：
将∆DAB沿AB对称得∆PAB，将∆EAC沿AC对称得∆QAC，连接PE，DQ
∵∆ABD和∆ACE是等腰直角三角形
∴AB=BD ∠DBA=90°AC=CE ∠ACE=90°∠DAB=∠EAC=45°
∵∠DAP=∠EAQ ∴∠DAP+∠EAD =∠EAQ+∠EAD 即∠PAE=∠DAQ
则∆PAE≌∆DAQ（SAS） ∴ PE=DQ ∠APE=∠ADQ 则PE⊥DQ（手拉手模型）
∵BF是∆DPE的中位线，FC是∆EDQ的中位线
∴BF=PE，BF‖PE，FC=DQ，FC‖DQ
∴CF⊥BF CF=BF
∴∆BFC为等腰直角三角形
证明方法三（思路）：
连接BC，以BC边中点为坐标系原点，建立如图所示坐标系，假设A点坐标（m，n），B(-1,0)，C(1,0)，
过点D、A、E作BC边垂线，分别与BC边相交于点P、Q、M
已知∆DBP≌∆BAQ，∆CQA≌∆EMC （一线三垂直模型）
∴BP=AQ,BQ=DP
已知AQ=-n，OQ=m BO=1 CO=1
∴BP=-n 则OP=1-（-n）=1+n
BQ=1+m 则DP=1+m
所以点D的坐标为（-（1+n），1+m）
同理QC=EM=1-m，OM=1-（-n）=1+n
所以点E的坐标为（1+n，1-m）
已知点F为线段DE中点，所以点F的坐标为（0，1）
∴∆BFC为等腰直角三角形
【培优训练】
1．（2022春·广东深圳·八年级校联考期中）如图，已知△BAD≌△EBC，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为________；
（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；
（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．
2．（2022秋·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
3．（2022春·江苏·八年级专题练习）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
4．（2020秋·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD =∠BCE = 90°，点M为AN的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N。
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：AD=NE ；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图1，已知等腰中，E为边AC一点，过E点作于F点，以为边作正方形，且，．
(1)如图1，连接，求线段的长；
(2)连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
(3)将等腰绕A点旋转至如图2的位置，连接，M点为的中点，连接、，求与关系．
6．（2020·山东济南·中考真题）在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是 ．线段BE与线段CF的数量关系是 ；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
7．（2020·河南·统考中考真题）将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；
当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
8．（2019·广西贵港·中考真题）已知：是等腰直角三角形，，将绕点顺时针方向旋转得到，记旋转角为，当时，作，垂足为，与交于点
（1）如图1，当时，作的平分线交于点.
①写出旋转角的度数；②求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，设是直线上的一个动点，连接，，若，求线段的最小值.（结果保留根号）
9．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）在中，是边的中点．
(1)如图，，分别是的两条高，连接，，则与的数量关系是 ；若，则 ；
(2)如图，点，在的外部，和分别是以，为斜边的直角三角形，且，连接，．
①判断(1)中与的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；
②求的度数；
(3)如图，点，在的内部，和分别是以，为斜边的直角三角形，且，连接，，直接写出的度数（用含的式子表示）．
10．（2018·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考二模）阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．
求证：AD2+BC2=AB2+CD2
证明：∵四边形ABCD是垂美四边形∴AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．
拓展探究：（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；
问题解决：
如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长．
11．（2018秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期中）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点P为边BC的中点，分别以AB和AC为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠DAB=∠EAC=α，连结PD，PE，DE．
（1）如图1，若α=45°，则= ；
（2）如图2，若α为任意角度，求证：∠PDE=α；
（3）如图3，若α=15°，AB=8，AC=6，则△PDE的面积为 ．
12．（2021春·北京·八年级期中）在△ABC中，M是BC边的中点．
（1）如图1，BD，CE分别是△ABC的两条高，连接MD，ME；则MD与ME的数量关系是 ．
（2）如图2，点D，E在∠BAC的外部，△ABD和△ACE分别是以AB，AC为斜边的直角三角形，且∠BAD=∠CAE=30°，连接MD，ME．
①判断（1）中MD与ME的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；
②求∠DME的度数．
13．
如图①，在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，其中，DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD，ME，MF，MG．则下列结论正确的是__________（填写序号）
①四边形AFMG是菱形；②△DFM和△EGM都是等腰三角形；③MD=ME；④MD⊥ME．
（2）数学思考：
如图②，在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．
（3）类比探究：如图③Rt△ABC中，斜边BC=10，AB=6，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABD和ACE，请直接写出DE的长．
14．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，在的同侧以、为底边向外作等腰、，其中，为的中点，连接、．
(1)如图，当时，直接写出与的关系．
(2)如图，当时，（1）的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；
(3)如图，当，，连接，取其中点，若动点A从的位置运动到时停止，则点的运动路径长为______．
15．（2022秋·浙江·八年级专题练习）数学活动课中，老师给出以下问题：

（1）如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围______．
（2）如图2，在中，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连结，请探索由三条线段 、、构成的三角形的形状，并说明理由．
（3）已知：如图3，且，F是线段的中点．求证：．
16．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，为锐角三角形，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，分别为和，D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，连接MN.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图，若，，求MN的长.