中考数学二轮培优训练专题16 婆罗摩笈多模型（2份，原卷版+解析版）

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2）等线段：BC=DC CE=CG
3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90°
一、基础模型
已知：四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线
若点I为中点，则CH⊥BE，BE=2IC，S∆DCG=S∆BCE
证明（思路）：
①延长IC到点P，使PI=IC，连接PG
先证明∆DIC≌∆GIP(SAS)，所以DC=PG，∠DCI=∠P 则DC‖PG
∵四边形ABCD、CEFG为正方形
∴DC=BC CE=CG ∠GCE=∠BCD=90° ∴BC=PG
∵∠PGC= =180°-∠DCG (两直线平行同旁内角互补)
∠BCE=360°-90°-90°-∠DCG=180°-∠DCG
∴∠PGC=∠BCE
则∆PCG≌∆BEC(SAS) ∴∠PCG=∠CEB
∵∠PCG+∠ECH=180°-90°=90°
∴∠CEB +∠ECH=90° ∴∠CHE=90°
∴CH⊥BE
②∵∆PCG≌∆BEC ∴PC=BE ∴BE=2IC
③S∆EBC=S∆PCG=S∆PIG+S∆GCI= S∆DIC+S∆GCI=S∆DCG
【问题二 已知垂直证中点】
已知：四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线
若CH⊥BE, 则点I为中点，BE=2IC，S∆DCG=S∆BCE
证明（思路）：
①分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N
∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3
由已知条件可得∆CDM≌∆BCH(AAS) ∴DM=CH CM=BH
同理∆GCN≌∆CEH(AAS) ∴NG=CH NC=HE ∴NG=DM
再证明∆DMI≌∆GNI(AAS) ∴DI=IG MI=NI
则点I为中点
②BE=BH+HE=CM+NC=NM+NC+NC=2NI+2NC=2IC
③∵S∆BHC=S∆DMC S∆GNC=S∆CHE S∆DMI=S∆GNI
∴S∆DCG= S∆DCI + S∆GNI + S∆CNG= S∆DMC+ S∆GNC= S∆BHC+ S∆CHE= S∆BCE
二、变形
变形一：如图∆AOB、∆COD为等腰直角三角形，连接AC、BD，MN
过点O且与AC交于点N、BD交于点M
则有如下结论：
1）若点N为中点，则MN⊥BD，
2）若MN⊥BD，则点N为中点
3）BD=2ON
4）S∆BOD=S∆AOC
证明（思路）：
1）延长MN至点H，使NH=NO，连接HC
先证明∆ANO≌∆CNH(SAS)，所以AO=HC，∠AON=∠H 则AO‖HC
再证明∆HOC≌∆BDO(SAS) ∴∠COH=∠ODB HO=BD
∴BD=2ON，S∆BOD=S∆AOC
∵∠COH+∠DOM=90°
∴∠ODB +∠DOM=90° ∴∠OMD=90°
∴MN⊥BD
2）方法一：构造一线三垂直模型（与问题二证明方法相同）
方法二：在BD上截取一点P，使BP=ON，连接OP
先证明∆ANO≌OBP(SAS) ∴∠ANO=∠BPO AN=OP ON=BP
再证明∆NOC≌∆PDO(SAS) ∴NC=OP ON=PD
∴BD=2ON，S∆BOD=S∆AOC
变形二：如图∆AOB、∆COD为等腰直角三角形，连接AC、BD，MN
过点O且与AC交于点N、BD交于点M
则有如下结论：
1）若点N为中点，则MN⊥BD，
2）若MN⊥BD，则点N为中点
3）BD=2ON
4）S∆BOD=S∆AOC
证明（自行证明）：
1）延长ON至点H，使ON=NH，连接AH
2）在BD上截取DH=ON，连接OH

【培优训练】
1．（2021秋·重庆·八年级重庆市大学城第一中学校校联考期中）如图，在锐角中，是边上的高，分别以为一边，向外作等腰和等腰其中，连接与的延长线交于点，下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．（2022春·四川自贡·八年级校考期中）如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论是( )
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
3．（2022·浙江温州·校考一模）如图， 在中以 为边向外作正方形与正方形， 连结， 并 过点作于并交于． 若， 则的长为 ( )．
A．B．C．D．
4．（2022秋·浙江温州·九年级温州市第十二中学校考阶段练习）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，延长，交边于点，连接，分别交边，于点，，已知，，则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2022秋·八年级课时练习）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．
7．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是_________．
8．（2023秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期末）如图，以的两边，为边向形外作正方形，，则称这两个正方形为外展双叶正方形．有以下5个结论：①面积与面积相等．②过点作边的垂线交于点，则．③为边的中点，延长线与交于点，则且．④连接、相交于点，则且．⑤连结，为的中点，则且．其中正确的结论是_________（填序号）．
9．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点作于，延长交于点．

（1）如图1，若，，易证：；
（2）如图2，；如图3，，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．
10．（2020·福建·统考模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边．
要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC于点E，并延长EP与AD交于点F，不写作法，保留作图痕迹
（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程．
11．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H．
求证：（1）AMEG （2）AH⊥EG； （3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．
12．（2019秋·湖北十堰·九年级校联考期末）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，
(1)如图，若∠BAC＝90°，求证：AM＝EG，AM⊥EG；
(2)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．
13．（2019春·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图，分别以的边为腰向外作等腰和等腰，连是的中线．

（1）知识理解：图①所示，当时，则与的位置关系为______，数量关系为______；
（2）知识应用：图②所示，当时，M，N分别是BC，DE的中点，求证：且；
（3）拓展提高：图③所示，四边形中，，分别以边和为腰作等腰和等腰，连，分别取、的中点，连．
①求证：；
②直接写出之间的数量关系．
14．（2021秋·河南新乡·九年级统考期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：＝k．
（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，＝＝，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．
①求证：I是EG的中点．
②直接写出线段BC与AI之间的数量关系： ．
15．（2019·安徽合肥·校联考一模）如图，在△ABC中，分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，连接DC、EB相交于点O．
（1）求证：BE⊥DC；
（2）若BE＝BC．
①如图1，G、F分别是DB、EC中点，求 的值．
②如图2，连接OA，若OA＝2，求△DOE的面积．
16．（2020春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）（1）猜想发现
如图1，已知△ABC，分别以AB和AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接DE．设△ABC的面积是S1，△ADE的面积是S2，猜想S1和S2的数量关系为 ．
（2）猜想论证
如图2，已知△ABC，分别过点A作线段AD和AE，满足∠DAB+∠EAC＝180°，并且AD＝AC，AE＝AB，连接DE．设△ABC的面积是S1，△ADE的面积是S2，（1）中S1和S2的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓展探究
如图3，点D是锐角∠ABC角平分线上的一点，满足BD＝CD，点E在BC上，且DE⊥DC．请问在射线BA上是否存在点F，使得S△BDE＝S△CDF，如果存在，请确定点F的位置并证明；如果不存在，请说明理由．
17．（2019秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接DE.若M为BC中点，MA延长线交DE于点H，
(1) 求证：AH⊥DE.
(2) 若DE=4，AH=3，求△ABM的面积
18．（2021春·四川成都·八年级校考期中）请解答下列各题：
(1)如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，试猜想与的数量关系为_________．
(2)如图2，锐角中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接、，试猜想与的大小关系，并说明理由．
(3)如图3，在中，，以为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求长．
(4)如图4，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，则的最小值为___________．
19．（2017春·福建宁德·八年级统考期末）（1）观察发现：如图1，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以AB，BC为边，向外作正方形ABDE和正方形BCFG，连接DG．若M是DG的中点，不难发现：BM=AC．
请完善下面证明思路：①先根据 ，证明BM=DG；②再证明 ，得到DG=AC；所以BM=AC；
（2）数学思考：若将上题的条件改为：“已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACHI，N是EI的中点”，则相应的结论“AN=BC”成立吗？
小颖通过添加如图2所示的辅助线验证了结论的正确性．请写出小颖所添加的辅助线的作法，并由此证明该结论；
（3）拓展延伸：如图3，已知等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE．连接BE，CD，若P是CD的中点，探索：当∠BAC与∠DAE满足什么条件时，AP=BE，并简要说明证明思路．
20．（2022·江苏苏州·统考一模）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
(1)如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形；
(2)理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；
(3)如图3，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．
21．（2021·湖北十堰·统考模拟预测）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接、，点为的中点．
（1）观察图1，猜想线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；
（3）把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出线段长的取值范围．
22．（2022秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期中）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；
(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值．
23．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）我们定义：如图1，在看，把绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边B'C'上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
(1)在图2，图3中，是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为___________；
②如图3，当，时，则长为 ___________．
猜想论证：
(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
24．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）新定义：如图1（图2，图3），在中，把边绕点A顺时针旋转，把边绕点A逆时针旋转，得到，若，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【特例感知】
(1)①若是等边三角形（如图2），，则______________．
②若（如图3），， _____________．
【猜想论证】
(2)在图1中，当是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点作且，连接，则四边形是平行四边形）
【拓展应用】
(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且与不平行，，是的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．