中考数学二轮培优训练专题29 阿基米德折弦定理（2份，原卷版+解析版）

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如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D,则AD=DB+BC，AB-BC=2DB。
证明过程：
（方法一：截长补短法-截长）
在AD上取一点E，使AE=BC,连接AM、EM、BM、CM
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC
在△AEM和△CBM中
AM=MC
∠EAM=∠BCM(同弧所对的圆周角相等)
AE=BC
∴△AEM≌△CBM ∴EM=BM
又∵MD⊥BE ∴DE=DB
则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
（方法二：截长补短法-截长）
在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM
则EM=BM ∠BEM=∠MBE
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC ∴∠MAC=∠MCA
∵∠MCA=∠MBA ∴∠AMC=∠EMB 则∠AME=∠BMC
在△AEM和△CBM中
AM=MC
∠AME=∠BMC
EM=BM
∴△AEM≌△CBM ∴AE=BC
则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
（方法三：截长补短法-截长）
在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM
延长EM交圆O于点F，连接AF、FC
则EM=BM 而∠BAF=∠BMF ∴∠MBE=∠MEB=∠AEF=∠AFE
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC ∠MFC=∠MBA
∴∠MEB=∠MFC 则AB∥FC
∴BC=AF=AE则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
（方法四：截长补短法-补短）
延长AB至点E，使BE=BC
∵点M是弧ABC的中点 ∴ eq \(AM,\s\up5(⌒)) = eq \(MC,\s\up5(⌒)) 则AM=MC ∠MAC=∠MBA
∵∠MBC+∠MAC=180° ∠MBA+∠MBE=180°
∴∠MBC=∠MBE
在△MBC和△MBE中
MB=MB
∠MBC=∠MBE
BE=BC
∴△MBC ≌△MBE ∴MC=ME 而AM=MC ∴AM=ME
又∵MD⊥AE ∴AD=DE
则AD=DE=DB+BE=DB+BC
（方法五：截长补短法-补短）(仅思路)
过点M作BC垂线交BC延长线于点E，并连接AM、BM、CM
∵MD⊥AB ME⊥EC ∴∠MDA=∠MDB=∠MEC=90°
而AM=MC ∠MAB=∠MCB ∴△MAD ≌△MCE ∴MD=ME AD=CE
∴△MDB ≌△MEB ∴BE=DB
则AD=EC=BE+BC=DB+BC
（方法六：截长补短法-补短）(仅思路)
在AD上取一点E，使DE=DB,连接AM、EM、BM、CM
延长BC至点F，使AB=BF,则∠BAF=∠BFA，连接AF交圆O于点G,连接CG
∵∠ABC=∠AMC ∴△AMC∽ △ABF ∴∠MAC=∠BAF ∴∠CAG=∠BAM 则BM=CG
又∵∠MAC=∠MBA ∠BAF=∠BFA ∴∠MBE=∠BFA
又∵∠BCG+∠GCF=180°∠BCG+∠BAG=180° ∴∠GCF=∠BAG ∴∠GCF=∠MEB
∴△BME ≌△FGC ∴BE=CF 而AB=BF ∴AE=BC
则AD=AE+DE=BC+DB
AB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB
或AB-BC=BF-BC=CF=BE=2DB
（方法七：作辅助圆法）(仅思路)
连接AM、CM，以点M为圆心，MA为半径作⊙M,延长AB交⊙M于点E，连接CE
在⊙O中，∠ABC=∠AMC
在⊙M中，∠AMC=2∠AEC
∴∠ABC=2∠AEC 又∵∠ABC=∠BCE+∠BEC
∴∠BCE=∠BEC 则BC=BE
∵在⊙M中DM⊥AE ∴AD=DE
则AD=DE=DB+BE=BC+DB
【培优过关练】
1．阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为( )
A．B．C．D．
2．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝_____°．
3．阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：
(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
4．阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
【定理模型】如图①，已知AB和BC是的两条弦（即折线ABC是的一条折弦），，M是的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
下面是运用“补短法”证明的部分证明过程：
如图②，延长DB至点F，使，连接MF，AB，MC，MA，AC，…
【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．
【问题解决】如图③，内接于，已知，D为上一点，连接AD，DC，，，求的周长．
5．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程
证明：如图2，在上截取，连接，，和
是弧的中点，
∴，
……
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.
(3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长.
6．【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和．
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即．

(1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ；
(2)【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ ．
7．【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．
(1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则 ；
(2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；
【变式探究】
(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则 ．
8．【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．
【理解应用】
（1）如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则______；
【定理证明】
（2）阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；
【变式探究】
（3）如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则______________．
9．请阅读下面材料，并完成相应的任务；
阿基米德折弦定理
阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．
∵M是的中点，
∴．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为上一点，，于点E，，连接AD，则的周长是______．
10．【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵MD⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
① ，
② ，
③ ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
11．阅读材料，并完成相应任务．
问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即．
(1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“”，于是他在CD上截取，连接MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；
(2)如图3，在中，，，若，则AE的长度为_______．
12．请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________；
(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
13．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG
∵M是的中点，
∴MA=MC
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE=CE+ACBE=CE+AC；
（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为上一点，连接DB，∠ACD=45°，AE⊥CD于点E，△BCD的周长为4+2，BC=2，请求出AC的长．
14．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Binmi的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．