中考数学二轮培优训练专题31 相似三角形模型（2份，原卷版+解析版）

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判定定理一：平行于三角形一边的直线和其两边相交（或其两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形相似。
判定定理二：三边成比例的两个三角形相似，即：
若，则∽
判定定理三：两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似。
即：若，且∠C＝ 则∽
判定定理四：两个角分别相等的两个三角形相似。
即：若，,则∽
判定定理五：斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似。
即：在中，
若或,
则
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。
3）相似三角形周长的比等于相似比。
4）相似三角形面积比等于相似比的平方。
【总结】
三角形相似就意味着对应线段的比值相等，所以就能建立等式关系。因此，题目中只要看到线段比例已知，就要首先考虑构建三角形相似来利用这个已知条件，为进一步完成解题创下基础。
口诀：线段比例若知道，三角相似解题巧。
【专项练习】
【A字模型】
1．（四川省遂宁市2020年中考数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021年陕西省宝鸡市金台区中考一模数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（江苏省南通市2020年中考数学试题）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
4．（2020年浙江省金华市、丽水市中考数学试题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
5．如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．
6（辽宁省丹东市东港市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
7．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．（结果精确到．
【8字模型】
1．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________．
2．（山西省2021年中考数学真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．
3．（广东省2020年中考数学试题）如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．
4．（安徽省2020年中考数学试题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
5．（辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷）如图，在中，，，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．
②如图2，当时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当，时，若是直角三角形，直接写出AF的长．
6．（四川省广元市2021年中考数学试题）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
【母子型】（含射影定理）
1．（安徽省阜阳市阜阳实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．
2．（江苏省南京市联合体2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
3．（上海市金山初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
4（辽宁省葫芦岛市连山区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图：中，，以为直径作交于点，交于点，点在的延长线上，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
5．（江苏省苏州工业园区星海实验中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
【一线三等角】
1．（2022年湖北省襄阳市初中毕业生“新中考”文化课模拟（一模）数学试题）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．
2．（江苏省宿迁市2020年中考数学试题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
3．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
4．（吉林省长春市绿园区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
5．（山东省泰安市东平县2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
【旋转模型】
1．（河南省2019年中考数学试题）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
2．（广东省深圳市2021年中考数学真题）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．
（1）①__________；
②__________；
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：
①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）
3．（山东省威海市2020年中考数学试题）发现规律：
（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数
（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数
应用结论：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值
4．（河南省周口市西华县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）观察猜想
(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．
【三角形内接矩形模型】
1．（人教版九年级27.7相似三角形的应用举例）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________．
2．（【区级联考】吉林省长春市南关区2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
3．已知的余切值为2，，点D是线段上一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，连接，并延长交射线于点P．

(1)连接，求证：；
(2)如图1，当点P在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长；
(3)连接，当为等腰三角形时，求线段的长．
模型
图形
结论
证明过程（思路）
A字模型
①∆ADE~∆ABC
②
1)已知DE∥BC 则∠ADE=∠ABC
而∠A=∠A 所以∆ADE~∆ABC
2) 已知∠1=∠2 ∠A=∠A
所以∆ADE~∆ABC
共边反A字模型
①∆ABC~∆ACD ②
③AC2=AB•AD
剪刀反A字模型
①∆ABC~∆ADE ②
证明过程参照按照2）
8字模型
正8字模型
①∆AOB~∆COD ②
反8字模型
①∆AOB~∆DOC ②
3)已知AB∥DC 则∠A=∠C
而∠AOB=∠DOC 所以∆AOB~∆COD
4) 已知∠1=∠2 ∠AOB=∠DOC
所以∆AOB~∆DOC
射影定理
①∆ABC~∆ADB~∆BDC
②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD （口诀：公共边的平方=共线边的乘积）
③AB•BC=BD•AC（面积法）
5)已知∠ABC=∠ADB=90°
∠ABD=∠C ∠A= ∠DBC
∴∆ABC~∆ADB~∆BDC
一线三垂直
①∆ABC~∆CDE
②
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
6)∵∠B=∠D=∠ACE=90°
∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°
则∠1=∠3 由此可得∆ABC~∆CDE
7)∵ ∆ABC~∆CDE
∴而点C为BD中点
则 又∵∠B=∠ACE=90°
∴∆ABC~∆ACE 则∆ABC~∆CDE~∆ACE
一线三等角
①∆ABC~∆CDE
②
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
8）∵∠B=∠D=∠ACE=α
∴∠ACD=∠1+∠B=∠1+α
而∠ACD=∠ACE+∠DCE=∠3+α
则∠1=∠3 由此可得∆ABC~∆CDE
结论③证明过程参照7）
线束模型
(一)
① （左图）
②（右图）
9）∵DE∥BC
∴∆ADF~∆ABG，∆AFE~∆AGC
∴
∴
同理右图结论
线束模型
(二)
①（左图）
②（右图）
10）∵AB∥CD
∴∆AOE~∆DOF，∆BOE~∆COF
∴
∴
同理右图结论
三角形内接矩形
①∆ABC~∆ADG
②
③若四边形DEFG为正方形
即= 若假设DG=x
则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值
11)∵四边形DEFG为矩形
∴DG∥BC 而AN⊥BC
∴∆ABC~∆ADG ∠AMG=∠ANC=90°
=
三平行模型
①
②
12)∵AB∥EF∥CD
∴∆ABC~∆EFC，∆BEF~∆BDC
∴
①+②得=
两边同除EF得,
13)作AM⊥BC于点M,EN⊥BC于点N,DP⊥BC于点P
同理可得
则
∴
旋转相似模型
①∆ABD~∆ACE
∵∆ADE~∆ABC
∴∠BAC=∠DAE
而∠1+∠DAC=∠BAC ∠2+∠DAC=∠DAE
∴∠1=∠2
∴∆ABD~∆ACE