专题01 集合综合归类（讲练）--2025年高考数学一轮复习高分冲刺

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题01 集合综合归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21644" 题型一：相等集合 PAGEREF _Tc21644 \h 1
\l "_Tc19265" 题型二：相等集合求参 PAGEREF _Tc19265 \h 2
\l "_Tc17221" 题型三：集合中的元素 PAGEREF _Tc17221 \h 2
\l "_Tc28224" 题型四：集合元素个数求参 PAGEREF _Tc28224 \h 3
\l "_Tc32235" 题型五：子集与真子集关系 PAGEREF _Tc32235 \h 4
\l "_Tc29653" 题型十：并集运算求参 PAGEREF _Tc29653 \h 8
\l "_Tc5404" 题型十一：补集与全集 PAGEREF _Tc5404 \h 9
\l "_Tc29414" 题型十二：补集与全集运算求参 PAGEREF _Tc29414 \h 10
\l "_Tc27354" 题型十三：韦恩图应用 PAGEREF _Tc27354 \h 11
\l "_Tc3196" 题型十四：交并补混合型运算 PAGEREF _Tc3196 \h 12
\l "_Tc4811" 题型十五：交并补综合运算求参 PAGEREF _Tc4811 \h 13
\l "_Tc26412" 题型十六：集合新定义型 PAGEREF _Tc26412 \h 14
题型一：相等集合
集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
1．（2023·浙江·三模）设函数的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，，则( )
A．B．C．A=BD．
2．（21-22高三上·浙江金华模拟）已知集合，则满足且的集合N的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知，，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
题型二：相等集合求参
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关）
1．（22-23高三 ·江苏苏州·阶段练习）设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（ ）
A．1000B．1297C．1849D．2020
2．（2022·上海杨浦·预测）已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知集合，，若，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三·北京·阶段练习）已知函数，集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：集合中的元素
集合中元素个数判断：
1.若集合是点集，则多是图像交点。
2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。
1．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
2．（23-24高三·上海嘉定·）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（ ）
A．若P有2个元素，则Q有3个元素
B．若P有2个元素，则有4个元素
C．若P有2个元素，则有1个元素
D．存在满足条件且有3个元素的集合P
3．（2022·全国·模拟预测）若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
4．（22-23高三·北京·模拟）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0B．1C．2D．3
5．（22-23高三·山东青岛·阶段练习）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有.下列结论中正确的是
A．若，则
B．若且，则
C．若，则
D．若且，则
题型四：集合元素个数求参
集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基础知识的积累和应用。
1．（23-24高三上·上海·模拟）设且，n为正整数，集合．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则，那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题D．①、②都是真命题
2．（22-23高三·北京·阶段练习）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
3．（22-23高三江西南昌·阶段练习）各项互不相等的有限正项数列，集合 ，集合,则集合中的元素至多有个（ ）.
A．B．C．D．
4．（22-23高三·上海杨浦·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为
A．508B．512C．1020D．1024
5．（2023高三·全国·阶段练习）已知函数，，，，集合只含有一个元素，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
题型五：子集与真子集关系
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
1．（20-21高三·江苏扬州·阶段练习）已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49B．48C．47D．46
2．（22-23高三·湖北武汉·强基 ）设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32B．56C．72D．84
3．（22-23高三·湖南常德·阶段练习）设集合,对的任意非空子集A，定义为集合A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则
A．B．C．D．
4．（21-22高三·福建福州·）给定全集，非空集合满足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，则称为的一个有序子集对，若，则的有序子集对的个数为
A．48B．49C．50D．51
5．（2022高三上·河北衡水·专题练习）对于任意两个正整数 ，定义某种运算，法则如下：当都是正奇数时， ；当不全为正奇数时， ，则在此定义下，集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
题型六：子集型求参
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。
1．（2023·广东深圳·模拟预测）已知且，若集合，，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高三·江苏常州·模拟）对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作．若集合，集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东广州·二模）已知且，若集合，且﹐则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（20-21高三上·湖北模拟）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高三·上海普陀·模拟）设.若对任意，都存在，使得，则可以是（ ）
A．B．C．D．
题型七：交集
交集：
1．（23-24高三·上海·模拟）已知函数，为高斯函数，表示不超过实数的最大整数，例如，.记，，则集合，的关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（22-23高三·上海浦东新·模拟）若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．（20-21高三·四川眉山·阶段练习）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．16B．9C．8D．4
4．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．0B．2C．4D．8
5．（21-22高三·上海模拟）设，则所有的交集为（ ）
A．B．C．D．
6.（2024年高考1卷）已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
题型八：交集运算求参
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B_A；
②A∩BB；
③A∩A＝A；
④A∩＝；
⑤A∩B=B∩A.
1．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三·江苏·模拟）设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ）
A．或B．
C．或D．或
3．（22-23高三·湖北荆门模拟）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·山西晋中·一模）函数，若存在正实数，其中且，使得，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．（2020高二·浙江·专题练习）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型九：并集
并集：
1．（22-23高三·辽宁·阶段练习）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（ ）
A．8B．6C．7D．4
2．（22-23高三北京·阶段练习）设全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三上·北京海淀·模拟）已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为
A．B．C．D．
4．（2022山东威海·模拟）若，，定义，
则
A．B．C．D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
题型十：并集运算求参
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
1．（22-23高三·湖南长沙·模拟）已知表示不超过的最大整数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三·北京海淀模拟）已知集合，，为使得，则实数a可以是（ ）
A．0B．1C．2D．e
4．（22-23高三·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
5．（22-23高三上海浦东新·模拟）已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型十一：补集与全集
全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
1．（2021·浙江杭州·模拟预测）定义集合，，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．若，，则由围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积一定相等
D．满足且的点构成区域的面积为
2．（23-24高三·湖北·阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·湖北·模拟）已知M，N均为的子集，若存在使得，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高三·北京·模拟）设全集，集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高三·福建福州·模拟）已知不等式解集为，若不等式解集为B，则（ ）
A．B．C．D．
6.（2024年全国甲卷理）集合，则（ ）
A. B. C. D.
题型十二：补集与全集运算求参
全集与补集运算的性质：
1．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）设集合或，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（20-21高三·江苏南京·模拟）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．
4．（22-23高三·全国·课后作业）设集合，全集,若,则有（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高三·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，若的元素的个数为4，则的取值范围为
A．B．C．D．
题型十三：韦恩图应用
韦恩图：
（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
1．（20-21高三·上海浦东新·阶段练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ）
A．充要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件
2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·河北·模拟预测）已知集合，，图中阴影部分为集合M，则M中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·四川南充·一模）已知全集，集合，，则能表示A，B，U关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
题型十四：交并补混合型运算
集合的并、交、补运算：
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
，或
，且
若全集为U，则集合A的补集记为
，且
Venn图表示(阴影部分)
意义
由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合
由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合
由全集中不属于集合的所有元素组成的集合
1．（22-23高三上·河北衡水模拟）若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（21-22高三上·河北保定模拟）设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．（2023·湖北·模拟预测）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2017·四川成都·一模）设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三·福建厦门·阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）（22-23高一上·浙江杭州·模拟）已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，中有m个元素，已知，则集合B中元素个数可能为（ ）
A．2B．6C．8D．12
题型十五：交并补综合运算求参
常用的数集及其记法
（1）全体非负整数 组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作或；
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R．
1．（23-24高三·北京东城·模拟）全集，，定义函数，．设全集为，，，则下列说法中正确的是（ ）．
①若，都有，则；
②若，都有，则；
③若，则，都有；
④若，则．
A．①②B．①③C．①②④D．③④
2．（22-23高三·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高三·湖北襄阳·阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（ ）
A．4B．2C．2或4D．1或2
4．（2022·云南·模拟预测）设集合，，，若点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型十六：集合新定义型
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”
1．（22-23高三·上海宝山·阶段练习）若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（ ）
A．能构成素域当且仅当是素数B．
C．是最小的素域（元素个数最少）D．
2．（2021高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1B．3C．5D．7
3．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x